G _δ zestaw -G_δ set

W zakresie matematycznym topologii , A G _{hemibursztynianu} zestaw jest podgrupa o topologii powierzchni , która jest policzalny przecięcia z otwartych odbiorników . Zapis pochodzi z niemieckiego z G na Gebiet ( niemiecki : obszar lub sąsiedztwo) Znaczenie zbiór otwarty w tym przypadku i hemibursztynianu do durchschnitt ( niemiecki : przecięcia). Używany jest również termin wewnętrzny zestaw ograniczający . Zbiory G _δ i ich podwójne zbiory F _𝜎 są drugim poziomem hierarchii borelowskiej .

Definicja

W topologicznej przestrzeni A G _{hemibursztynianu} zestaw jest policzalny przecięcia z otwartych odbiorników . Zbiory G _δ są dokładnie na poziomie Π⁰
₂zbiory hierarchii borelowskiej .

Przykłady

• Każdy otwarty zbiór jest trywialnie zbiorem G _δ .
• Te numery nieracjonalne są G _{hemibursztynianu} ustawione w liczb rzeczywistych . Można je zapisać jako policzalne przecięcie zbiorów otwartych (indeks górny oznaczający dopełnienie ), gdzie jest wymierne .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ {q \} ^ {c}}$${\displaystyle q}$
• Zbiór liczb wymiernych jest nie G _{hemibursztynianu} ustawione w . Gdyby przecięcie zbiorów otwartych każdy byłby gęsty w bo jest gęsty w . Jednak powyższa konstrukcja dała liczby niewymierne jako policzalne przecięcie otwartych gęstych podzbiorów. Biorąc przecięcie obu tych zbiorów daje zbiór pusty jako policzalne przecięcie zbiorów otwartych gęstych w , co jest naruszeniem twierdzenia Baire'a o kategorii .${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Zestaw ciągłość jakiejkolwiek funkcji wartościach rzeczywistych jest G _{hemibursztynianu} podzbiór tych kategorii (patrz sekcja właściwości bardziej ogólnego i całkowitego Statement).
• Zbiór zerowy pochodnej wszędzie różniczkowalnej funkcji o wartościach rzeczywistych na jest zbiorem G _δ ; może to być gęsta zabudowa z pustym wnętrzem, jak pokazuje konstrukcja Pompeiu .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Bardziej rozbudowany przykład zbioru G _δ podaje następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Zbiór zawiera gęsty podzbiór G _δ przestrzeni metrycznej . (Patrz funkcja Weierstrassa § Gęstość funkcji nigdzie nie różniczkowalnych .) ${\ Displaystyle D = \ lewo \ {f \ w C ([0,1]): f {\ tekst { nie jest różniczkowalny w dowolnym punkcie}} [0,1] \ prawej \}}$${\displaystyle C([0,1])}$

Nieruchomości

Pojęcie zbiorów G _δ w przestrzeniach metrycznych (i topologicznych ) jest związane z pojęciem zupełności przestrzeni metrycznej oraz z twierdzeniem Baire'a o kategorii . Zobacz wyniki dotyczące całkowicie metryzowalnych przestrzeni na poniższej liście właściwości.

${\ Displaystyle \ operatorname {G_ {\ delta}}}$zbiory i ich uzupełnienia mają również znaczenie w analizie rzeczywistej , zwłaszcza w teorii miary .

Podstawowe właściwości

• Dopełniacza z G _{hemibursztynianu} sceny jest F _Ď zestaw, i vice versa.
• Przecięcie policzalnie wielu zbiorów G _δ jest zbiorem G _δ .
• Związek skończenie wiele do G _{hemibursztynianu} zbiorów jest G _{hemibursztynianu} zestawu.
• Przeliczalna _suma zbiorów G _δ (która byłaby nazwana _zbiorem G _δσ ) nie jest _ogólnie zbiorem G _δ . Na przykład liczby wymierne nie tworzą zbioru G _δ w .${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• W przestrzeni topologicznej zbiór zerowy każdej rzeczywistej funkcji ciągłej o wartościach rzeczywistych jest zbiorem G _δ , ponieważ jest przecięciem zbiorów otwartych , .${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (0)}$${\ Displaystyle \ {x \ w X: -1 / n < f (x) < 1 / n \}}$${\ Displaystyle (n = 1,2, \ ldots )}$
• W przestrzeni metryzowalnej każdy zbiór domknięty jest zbiorem G _δ i, w dwojaki sposób, każdy zbiór otwarty jest zbiorem F _σ . Rzeczywiście, zbiór domknięty jest zbiorem zerowym funkcji ciągłej , gdzie wskazuje odległość od punktu do zbioru . To samo dotyczy przestrzeni pseudometryzowalnych .${\displaystyle F\subseteq X}$${\ Displaystyle f (x) = d (x, F)}$${\displaystyle d}$
• W pierwszej policzalnej przestrzeni T ₁ , każdy singleton jest zbiorem G _δ .
• Podprzestrzeń z całkowicie metryzowalnej przestrzeni znajduje się całkowicie metryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest G _{hemibursztynianu} ustawione w .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$

Poniższe wyniki dotyczą polskich przestrzeni :

• Bądźmy polską przestrzenią. Wtedy podzbiór z topologią podprzestrzeni jest polski wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem G _δ w .${\ Displaystyle X}$${\displaystyle G\subseteq X}$${\ Displaystyle X}$
• Przestrzeń topologiczna jest polska wtedy i tylko wtedy, gdy jest homeomorficzna z podzbiorem G _δ zwartej przestrzeni metrycznej .${\ Displaystyle X}$

Zestaw ciągłości funkcji o wartościach rzeczywistych

Własnością zbiorów jest to, że są to możliwe zbiory, w których funkcja z przestrzeni topologicznej do przestrzeni metrycznej jest ciągła . Formalnie: zbiór punktów, w których taka funkcja jest ciągła, jest zbiorem. Dzieje się tak dlatego, że ciągłość w punkcie można zdefiniować wzorem, a mianowicie: Dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich istnieje zbiór otwarty zawierający taki, że dla wszystkich w . Jeżeli wartość o jest stała, zbiór, dla którego istnieje takie odpowiadające otwarcie, sam jest zbiorem otwartym (będącym sumą zbiorów otwartych), a uniwersalny kwantyfikator on odpowiada (przeliczalnemu) przecięciu tych zbiorów. W prawdziwej linii odwrotność również obowiązuje; dla dowolnego podzbioru G _δ prostej rzeczywistej istnieje funkcja, która jest ciągła dokładnie w punktach w . W konsekwencji, chociaż niewymierne liczby mogą być zbiorem punktów ciągłości funkcji (patrz funkcja popcorn ), niemożliwe jest skonstruowanie funkcji, która jest ciągła tylko na liczbach wymiernych. ${\ Displaystyle \ operatorname {G_ {\ delta}}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ operatorname {G_ {\ delta}}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Pi _ {2} ^ {0}}$${\displaystyle n}$${\ Displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d(f(x),f(y))<1/n}$${\displaystyle x,y}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle A}$

G _δ spacja

A G _{hemibursztynianu} przestrzeń jest topologiczna przestrzeń, w której każdy zamknięty zestaw jest G _{hemibursztynianu} zestaw ( Johnson 1970 ). Normalny odstęp , który jest również G _{hemibursztynianu} przestrzeń nazywa całkiem normalne . Na przykład każda metryzowalna przestrzeń jest całkowicie normalna.

Zobacz też

• zbiór F _σ , pojęcie dualne ; zauważ, że „G” to niemiecki ( Gebiet ), a „F” to francuski ( fermé ).
• P -przestrzeń , dowolna przestrzeń mająca właściwość, że każdyzbiórG _δ jest otwarty

Uwagi

Bibliografia

• Engelking Ryszard (1989). Ogólna topologia . Heldermann Verlag, Berlin. Numer ISBN 3-88538-006-4.
• Kelley, John L. (1955). Ogólna topologia . van Nostranda . P. 134 .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Kontrprzykłady w topologii ( przedruk Dover z 1978 r. ed.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446 .
• Fremlin, DH (2003) [2003]. „4, Ogólna topologia”. Teoria miary, tom 4 . Petersburg, Anglia: Logistyka książek cyfrowych. Numer ISBN 0-9538129-4-4. Zarchiwizowane z oryginału w dniu 1 listopada 2010 . Źródło 1 kwietnia 2011 .
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topologia ogólna ( przedruk Dover z 1970 r.), Addison-Wesley
• Johnson, Roy A. (1970). „Kompaktowa przestrzeń niemierzalna, tak że każdy zamknięty podzbiór to G-Delta”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 77 (2): 172–176. doi : 10.2307/2317335 . JSTOR  2317335 .