Twierdzenie Gelfonda-Schneidera - Gelfond–Schneider theorem

W matematyce , Gelfond-Schneider twierdzenie ustala transcendencję dużej klasy liczb.

Historia

Pierwotnie udowodnili to niezależnie w 1934 roku Aleksandr Gelfond i Theodor Schneider .

Oświadczenie

Jeśli a i b są liczbami algebraicznymi z a  ≠ 0, 1 i b niewymiernymi , to każda wartość a ^b jest liczbą przestępną .

Uwagi

• Wartości a i b nie są ograniczone do liczb rzeczywistych ; dozwolone są liczby zespolone (w tym przypadku liczby zespolone nie są uważane za wymierne, jeśli mają część urojoną nie równą 0, nawet jeśli zarówno część rzeczywista, jak i urojona są wymierne).

• Ogólnie rzecz biorąc, a ^b = exp( b ln a ) jest wielowartościowe , gdzie ln oznacza logarytm naturalny . Stanowi to frazę „dowolna wartość” w stwierdzeniu twierdzenia.

• Równoważne sformułowanie twierdzenia jest następujące: jeśli α i γ są niezerowymi liczbami algebraicznymi i weźmiemy dowolny niezerowy logarytm z α , to (log γ )/(log α ) jest albo wymierne, albo przestępne. Można to wyrazić jako stwierdzenie, że jeśli log α , log γ są liniowo niezależne od wymiernych, to są liniowo niezależne od liczb algebraicznych. Uogólnienie tego twierdzenia do bardziej ogólnych form liniowych w logarytmach kilku liczb algebraicznych należy do dziedziny transcendentalnej teorii liczb .

• Jeżeli ograniczenie, że i b być algebraiczny jest usuwany, oświadczenie nie pozostaje prawdą w ogóle. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ lewo ({\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} \ prawej)} ^ {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

Tutaj a jest √ 2 ^{√ 2} , co (jak dowodzi samo twierdzenie) jest raczej transcendentalne niż algebraiczne. Podobnie, jeśli a = 3 i b = (log 2)/(log 3) , co jest transcendentalne, to a ^b = 2 jest algebraiczne. Charakterystykę wartości dla i B , które dostarczają Transcendentalnych do ^B , nie jest znany.

• Kurt Mahler potwierdziły p -adic analog Twierdzenie jeśli i b są C _p , w zakończeniu części algebraicznej zamknięcia z Q, _P , i są algebraiczne przez Q , a jeśli i następnie jest albo racjonalne lub nadzmysłowy, gdzie ln _p jest funkcją logarytmu p- adycznego .${\ Displaystyle | a-1 | _ {p} <1}$${\ Displaystyle | b-1 | _ {p} < 1,}$${\ Displaystyle (\ log _ {p} a) / (\ log _ {p} b)}$

Następstwa

Transcendencja następujących liczb wynika bezpośrednio z twierdzenia:

• Stała Gelfonda-Schneidera i jej pierwiastek kwadratowy${\ Displaystyle 2 ^ {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}}.}$
• Stała Gelfonda ${\ Displaystyle e ^ {\ pi} = \ lewo (e ^ {i \ pi} \ prawej) ^ {-i} = (-1) ^ {-i} = 23.14069263 \ ldots}$
• ${\ Displaystyle i ^ {i} = \ lewo (e ^ {\ Frac {i \ pi} {2}} \ prawej) ^ {i} = e ^ {- {\ Frac {\ pi} {2}}} =0.207879576\ldots }$

Aplikacje

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera odpowiada twierdząco na siódmy problem Hilberta .

Zobacz też

• Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa
• twierdzenie Bakera ; rozszerzenie wyniku
• przypuszczenie Schanuela ; jeśli zostanie udowodnione, oznaczałoby to zarówno twierdzenie Gelfonda-Schneidera, jak i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa

Bibliografia

Dalsza lektura

• Baker, Alan (1975), Teoria liczb transcendentalnych , Cambridge University Press , s. 10, numer ISBN 978-0-521-20461-3, Zbl  0297.10013
• Feldman, NI; Niestierenko, Yu. V. (1998), Liczby transcendentalne , Encyklopedia nauk matematycznych, 44 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-61467-2, MR  1603604
• Gel'fond, AO (1960) [1952], liczby transcendentalne i algebraiczne , wydania Dover Phoenix, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, numer MR  0057921
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Tematy teorii liczb, tomy I i II . Nowy Jork: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-42539-9.
• Niwen, Iwan (1956). Liczby niewymierne . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne. Numer ISBN 0-88385-011-7.
• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Gelfonda-Schneidera” . MatematykaŚwiat .

Zewnętrzne linki

• Dowód twierdzenia Gelfonda-Schneidera