Numer skrzyżowania - Intersection number

W matematyce , a zwłaszcza w geometrii algebraicznej , liczba przecięcia uogólnia intuicyjne pojęcie liczenia, ile razy dwie krzywe przecinają się z wyższymi wymiarami, wieloma (więcej niż 2) krzywymi i właściwie uwzględnia styczność . Potrzebna jest definicja numeru przecięcia, aby uzyskać wyniki, takie jak twierdzenie Bézouta .

Numer przecięcia jest oczywisty w niektórych przypadkach, takich jak przecięcie osi x i y, które powinno być jednością. Złożoność pojawia się podczas obliczania przecięć w punktach styczności i przecięć wzdłuż dodatnich zestawów wymiarowych. Na przykład, jeśli płaszczyzna jest styczna do powierzchni wzdłuż linii, numer przecięcia wzdłuż linii powinien wynosić co najmniej dwa. Te pytania są systematycznie omawiane w teorii skrzyżowań .

Definicja powierzchni Riemanna

Niech X będzie powierzchnią Riemanna . Wtedy numer przecięcia dwóch zamkniętych krzywych na X ma prostą definicję w kategoriach całki. Dla każdej krzywej zamkniętej c na X (tj. funkcji gładkiej ) możemy powiązać formę różniczkową podpory zwartej z własnością, że całki wzdłuż c można obliczyć całkami po X : ${\ Displaystyle c: S ^ {1} \ do X}$ ${\ Displaystyle \eta _ {c}}$

${\ Displaystyle \ int _ {c} \ alfa = - \ iint _ {X} \ alfa \ klin \ eta _ {c} = (\ alfa, * \ eta _ {c})}$, dla każdej zamkniętej (1-)różnicy na X ,${\ Displaystyle \ alfa}$

gdzie jest iloczynem klina różniczek , a jest gwiazdą Hodge'a . Wtedy numer przecięcia dwóch zamkniętych krzywych a i b na X jest określony jako ${\ Displaystyle \ klin}$${\ Displaystyle *}$

${\ Displaystyle a \ cdot b: = \ iint _ {X} \ eta _ {a} \ klin \ eta _ {b} = (\ _ eta {a}, - * \ _ eta {b}) = - \ int _{b}\eta _{a}}$.

Posiada intuicyjny definicję następująco. Są one swego rodzaju deltą diraca wzdłuż krzywej c , osiągniętą przez wzięcie różniczki funkcji skoku jednostkowego, która spada od 1 do 0 w poprzek c . Bardziej formalnie, zaczniemy od zdefiniowania dla prostej zamkniętej krzywej c na X , funkcji f _c przez przyjęcie małego paska wokół c w kształcie pierścienia. Nazwij lewą i prawą część as i . Następnie weź mniejszy podpasek wokół c , , z lewą i prawą częścią oraz . Następnie zdefiniuj f _c przez ${\ Displaystyle \eta _ {c}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ setminus c}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {+}}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {-}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {0}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {0} ^ {-}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {0} ^ {+}}$

${\ Displaystyle f_ {c} (x) = {\ zacząć {przypadki} 1, & x \ w \ Omega _ {0} ^ {-} \ \ 0, & x \ w X \ setminus \ Omega ^ {-} \ \ {\mbox{płynna interpolacja}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

Definicja jest następnie rozszerzana na dowolne krzywe zamknięte. Każda zamknięta krzywa c na X jest homologiczna do niektórych prostych zamkniętych krzywych c _i , to znaczy ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} c_ {i}}$

${\ Displaystyle \ int _ {c} \ omega = \ int _ {\ suma _ {i} k_ {i} c_ {i}} \ omega = \ suma _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} \int _{c_{i}}\omega }$, dla każdej różnicy .${\ Displaystyle \ omega}$

Zdefiniuj według ${\ Displaystyle \eta _ {c}}$

${\ Displaystyle \ eta _ {c} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} \ eta _ {c_ {i}}}$.

Definicja dla rozmaitości algebraicznych

Zwykła definicja konstruktywna w przypadku rozmaitości algebraicznych przebiega etapami. Definicja podana poniżej dotyczy liczby przecięcia dzielników w nieosobliwej odmianie X .

1. Jedyną liczbą przecięcia, którą można obliczyć bezpośrednio z definicji, jest przecięcie hiperpowierzchni (pododmian X o współwymiarze pierwszym), które znajdują się w pozycji ogólnej w x . W szczególności, że mamy nieosobliwych odmiany, X , i n hiperpowierzchnie Z ₁ , ..., Z _n tego równania lokalnych f ₁ , ..., f _n pobliżu x dla wielomianu f _I ( t ₁ , ..., T _n ), tak, że obowiązuje:

• ${\displaystyle n=\słabe _{k}X}$.
• ${\ Displaystyle f_ {i} (x) = 0}$dla wszystkich ja . (tj. x znajduje się na przecięciu hiperpowierzchni).
• ${\ Displaystyle \ dim _ {x} \ czapka _ {i = 1} ^ {n} Z_ {i} = 0}$ (tj. dzielniki są w ogólnej pozycji).
• Są nieosobliwa w x .${\displaystyle f_{i}}$

Wtedy numer przecięcia w punkcie x (zwany krotnością przecięcia w x ) to

${\ Displaystyle (Z_ {1} \ cdots Z_ {n}) _ {x}: = \ dim _ {k} {\ mathcal {O}} _ {X, x} / (f_ {1} \ kropki, f_{n})}$,

gdzie jest lokalnym pierścieniem X w punkcie x , a wymiar jest wymiarem w przestrzeni k- wektorowej. Można go obliczyć jako lokalizacji , w którym jest maksymalne idealnym wielomianów ginących w X i U jest otwarty zestaw afinicznej zawierający X i zawierający żadnej z osobliwości Spośród f _I . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {X, x}}$ ${\ Displaystyle k [U] _ {{\ mathfrak {m}} _ {x}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}}$

2. Liczba przecięcia hiperpowierzchni w pozycji ogólnej jest następnie definiowana jako suma numerów przecięcia w każdym punkcie przecięcia.

${\ Displaystyle (Z_ {1} \ cdots Z_ {n}) = \ suma _ {x \ w \ cap _ {i} Z_ {i}} (Z_ {1} \ cdots Z_ {n}) _ {x} }$

3. Rozszerz definicję na efektywne dzielniki przez liniowość, tj.

${\ Displaystyle (nZ_ {1} \ cdots Z_ {n}) = n (Z_ {1} \ cdots Z_ {n})}$i .${\ Displaystyle ((Y_ {1} + Z_ {1}) Z_ {2} \ cdots Z_ {n}) = (Y_ {1} Z_ {2} \ cdots Z_ {n}) + (Z_ {1} Z_ {2}\cdots Z_{n})}$

4. Rozszerz definicję na dowolne dzielniki w ogólnym położeniu, zauważając, że każdy dzielnik ma unikalne wyrażenie jako D = P - N dla niektórych efektywnych dzielników P i N . Niech więc D _i = P _i - N _i , i zastosujmy reguły postaci

${\ Displaystyle ((P_ {1}-N_ {1}) P_ {2} \ cdots P_ {n}) = (P_ {1} P_ {2} \ cdots P_ {n}) - (N_ {1} P_ {2}\cdots P_{n})}$

przekształcić skrzyżowanie.

5. Liczbę przecięcia dowolnych dzielników definiuje się następnie za pomocą „ ruchomego lematu Chowa ”, który gwarantuje znalezienie liniowo równoważnych dzielników znajdujących się w ogólnym położeniu, które następnie możemy przeciąć.

Zauważ, że definicja numeru przecięcia nie zależy od kolejności, w jakiej dzielniki pojawiają się podczas obliczania tej liczby.

Formuła Serre'a Tora

Niech V i W będą dwiema pododmianami nieosobliwej rzutowej odmiany X takiej, że dim( V )+dim( W )=dim( X ). Wtedy oczekujemy, że przecięcie V ∩ W będzie skończonym zbiorem punktów. Jeśli spróbujemy je policzyć, mogą pojawić się dwa rodzaje problemów. Po pierwsze, nawet jeśli oczekiwany wymiar V ∩ W wynosi zero, rzeczywiste przecięcie może mieć duży wymiar. Na przykład, możemy spróbować znaleźć numer własny przecięcia projekcyjnej linii w płaszczyźnie rzutowej . Drugi potencjalny problem polega na tym, że nawet jeśli przecięcie jest zerowymiarowe, może nie być poprzeczne. Na przykład V może być linią styczną do krzywej płaskiej W .

Pierwszy problem wymaga szczegółowo omówionej wyżej maszynerii teorii skrzyżowań . Zasadniczą ideą jest zastąpienie V i W wygodniejszymi podrozmaitościami przy użyciu ruchomego lematu . Z drugiej strony, drugi problem można rozwiązać bezpośrednio, bez przesuwania V lub W . W 1965 Jean-Pierre Serre opisał jak znaleźć krotność każdego punktu przecięcia metodami algebry przemiennej i algebry homologicznej . To powiązanie pomiędzy geometrycznym pojęciem przecięcia a homologicznym pojęciem pochodnego iloczynu tensorowego miało wpływ i doprowadziło w szczególności do kilku homologicznych hipotez w algebrze przemiennej .

The Tor formuła Serre za to następujący wynik. Niech X będzie odmianą regularną , V i W dwiema pododmianami o wymiarze komplementarnym, takimi, że V ∩ W jest zerowymiarowe. Dla każdego punktu x ∈ V ∩ W niech być pierścień lokalny od x . Te krążki struktury z V i W w X odpowiadają idei I , J ⊆ A . Wtedy krotność V ∩ W w punkcie x wynosi ${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {X, x}}$

${\ Displaystyle e (X; V, W; x) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {i} \ operatorname {długość} _ {A} (\ nazwa operatora {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

gdzie długość jest długością modułu w lokalnym pierścieniu, a Tor jest funktorem Tora . Kiedy V i W można przesunąć do pozycji poprzecznej, ten wzór homologiczny daje oczekiwaną odpowiedź. Na przykład, jeśli V i W spotykają się poprzecznie w punkcie x , krotność wynosi 1. Jeśli V jest prostą styczną w punkcie x do paraboli W w płaszczyźnie w punkcie x , to krotność w x wynosi 2.

Jeśli zarówno V, jak i W są lokalnie wycięte przez regularne sekwencje , na przykład jeśli są nieosobliwe , to we wzorze znika przede wszystkim wyższy Tor, stąd krotność jest dodatnia. Pozytywność w arbitralnym przypadku jest jedną z wielości przypuszczeń Serre'a .

Dalsze definicje

Definicję można znacznie uogólnić, na przykład na przecięcia wzdłuż pododmian, a nie tylko w punktach, lub na dowolne pełne odmiany.

W topologii algebraicznej numer przecięcia pojawia się jako podwójna liczba Poincaré iloczynu kubka . W szczególności, w przypadku dwóch przewodów rozgałęźnych, X i Y , przecinają się poprzecznie w bloki M , klasa homologii przecięcia jest Poincare podwójnego produktu kubka z felg bliźniaczych Poincaré z X i Y . ${\ Displaystyle D_ {M} X \ uśmiech D_ {M} Y}$

Snapper-Kleiman definicja numeru przecięcia

Istnieje podejście do numeru skrzyżowania, wprowadzone przez Snappera w latach 1959-60 i rozwinięte później przez Cartiera i Kleimana, które definiuje numer skrzyżowania jako cechę Eulera.

Niech X jest schematem na schemacie S , PIC ( X ) grupa Picard z X i G grupę Grothendiecka z kategorii spójnych krążków na X , którego obsługa jest właściwa ponad Artinian podprogram z S .

Dla każdego L PIC ( X ), określa endomorfizm C ₁ ( L ) z G (zwany pierwszy Chem klasy z L ) przez

${\ Displaystyle c_ {1} (L) F = FL ^ {-1} \ czasami F.}$

Jest to addytywne na G, ponieważ tensorowanie z wiązką linii jest dokładne. Posiadamy również:

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1} (L_{1}\orazy L_{2})}$; w szczególności i dojeżdżać.${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$
• ${\ Displaystyle c_ {1} (L) c_ {1} (L ^ {-1}) = c_ {1} (L) + c_ {1} (L ^ {-1}).}$
• ${\ Displaystyle \ Dim \ Operatorname {Supp} C_ {1} (L) F \ Leq \ Dim \ Operatorname {Supp} F-1}$(jest to nietrywialne i wynika z argumentu dévissage .)

Numer skrzyżowania

${\ Displaystyle L_ {1} \ cdot {\ kropki} \ cdot L_ {r}}$

wiązek liniowych L _i s jest wtedy definiowana przez:

${\ Displaystyle L_ {1} \ cdot {\ kropki} \ cdot L_ {R} \ cdot F = \ chi (c_ {1} (L_ {1}) \ cdots c_ {1} (L_ {r}) F) }$

gdzie χ oznacza charakterystykę Eulera . Alternatywnie można uzyskać przez indukcję:

${\ Displaystyle L_ {1} \ cdot {\ kropki} \ cdot L_ {r} \ cdot F = \ suma _ {0} ^ {r} (-1) ^ {i} \ chi (\ klin ^ {i} (\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Za każdym razem, gdy F jest ustalone, jest funkcjonałem symetrycznym w L _i . ${\ Displaystyle L_ {1} \ cdot {\ kropki} \ cdot L_ {r} \ cdot F}$

Jeśli L _I = O _X ( D _I ) dla niektórych dzielnikami Cartier D _i jest, to będziemy pisać dla liczby przecięcia. ${\ Displaystyle D_ {1} \ cdot {\ kropki} \ cdot D_ {r}}$

Niech będzie morfizmem schematów S , wiązek liniowych na X i F w G z . Następnie ${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle L_ {i}, 1 \ równoważnik i \ równoważnik m}$${\ Displaystyle m \ geq \ dim \ operatorname {supp} F}$

${\ Displaystyle f ^ {*} L_ {1} \ cdots f ^ {*} L_ {m} \ cdot F = L_ {1} \ cdots L_ {m} \ cdot f_ {*} F}$.

Wielokrotności przecięcia dla krzywych płaskich

Jest unikalne funkcje przypisanie każdej trójki obejmującej parę krzywych rzutowej i w i temperaturę , liczbę zwany wielość przecięcia się i w tym celu następujące właściwości: ${\ Displaystyle (P, Q, p)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle K[x,y]}$${\ Displaystyle p \ w K ^ {2}}$${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle p}$

1. ${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q) = I_ {p} (Q, P)}$
2. ${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q) = \ infty}$wtedy i tylko wtedy, gdy i mają wspólny czynnik równy zero w zero${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle p}$
3. ${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q) = 0}$wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z lub jest niezerowy (tj. punkt znajduje się poza jedną z krzywych)${\ Displaystyle P (p)}$${\ Displaystyle Q(p)}$${\displaystyle p}$
4. ${\ Displaystyle I_ {p} (x, y) = 1}$ gdzie ${\ Displaystyle p = (0,0)}$
5. ${\ Displaystyle I_ {p} (P Q_ {1} Q_ {2}) = I_ {p} (P Q {1}) + I_ {p} (P Q_ {2})}$
6. ${\ Displaystyle I_ {p} (P + QR, Q) = I_ {p} (P, Q)}$ dla każdego ${\displaystyle R\wK[x,y]}$

Chociaż własności te całkowicie charakteryzują krotność przecięcia, w praktyce realizuje się to na kilka różnych sposobów.

Jedną z realizacji krotności przecięcia jest wymiar pewnej przestrzeni ilorazowej pierścienia szeregu potęgowego . Dokonując w razie potrzeby zmiany zmiennych, możemy założyć, że . Niech i bądź wielomianami definiującymi interesujące nas krzywe algebraiczne. Jeśli oryginalne równania są podane w postaci jednorodnej, można je otrzymać przez ustawienie . Pozwolić oznaczają ideał generowany przez a . Wielokrotność przecięcia jest wymiarem przestrzeni wektorowej nad . ${\displaystyle K[[x,y]]}$${\ Displaystyle p = (0,0)}$${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle z=1}$${\ Displaystyle I = (P, Q)}$${\displaystyle K[[x,y]]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle K[[x,y]]/I}$${\ Displaystyle K}$

Inna realizacja krotności przecięcia pochodzi z wypadkowej dwóch wielomianów i . We współrzędnych gdzie , krzywe nie mają innych przecięć z , a stopień w odniesieniu do jest równy całkowitemu stopniowi , można zdefiniować jako najwyższą potęgę, która dzieli wypadkową z i (z i postrzegane jako wielomiany przez ). ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle p = (0,0)}$${\ Displaystyle y = 0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle K[x]}$

Wielość przecięć może być również zrealizowana jako liczba odrębnych przecięć, które istnieją, jeśli krzywe są lekko zaburzone. Dokładniej, jeśli i definiować krzywe, które przecinają się tylko raz w zamknięciu zbioru otwartego , a następnie za pomocą gęstej zestaw , i są gładkie i przecinają poprzecznie (czyli mają różne linie styczne) na dokładnie określoną liczbę punktów . Mówimy wtedy, że . ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle (\epsilon, \ delta) \ w K ^ {2}}$${\displaystyle P-\epsilon}$${\displaystyle Q-\delta}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q) = n}$

Przykład

Rozważ przecięcie osi x z paraboli

${\ Displaystyle y = x ^ {2}. \ }$

Następnie

${\displaystyle P=y,\}$

i

${\displaystyle Q=yx^{2},\}$

więc

${\ Displaystyle I_ {p} (P, Q) = I_ {p} (y, yx ^ {2}) = I_ {p} (y, x ^ {2}) = I_ {p} (y, x) +I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

Zatem stopień przecięcia wynosi dwa; jest to zwykła styczność .

Samoskrzyżowania

Niektóre z najbardziej interesujących liczb przecięcia do obliczenia to liczby samoprzecięcia . Nie należy tego traktować w sposób naiwny. Chodzi o to, że w pewnej klasie równoważności dzielników określonego rodzaju przecinają się dwaj przedstawiciele, którzy znajdują się w ogólnym położeniu względem siebie. W ten sposób liczby samoprzecinające się mogą stać się dobrze zdefiniowane, a nawet ujemne.

Aplikacje

Numer przecięcia jest częściowo motywowany chęcią zdefiniowania przecięcia w celu spełnienia twierdzenia Bézouta .

Numer przecięcia pojawia się w badaniu punktów stałych , które można sprytnie zdefiniować jako przecięcia wykresów funkcji z przekątnymi . Obliczenie liczb przecięcia w punktach stałych liczy punkty stałe z krotnością i prowadzi do twierdzenia Lefschetza o punktach stałych w postaci ilościowej.

Uwagi

Bibliografia

• Williama Fultona (1974). Krzywe algebraiczne . Wykład z matematyki Seria notatek. WA Benjamin. s. 74–83. Numer ISBN 0-8053-3082-8.
• Robin Hartshorne (1977). Geometria algebraiczna . Teksty magisterskie z matematyki . 52 . Numer ISBN 0-387-90244-9. Załącznik A.
• Williama Fultona (1998). Teoria przecięcia (wyd. 2). Skoczek. Numer ISBN 9780387985497.
• Krzywe algebraiczne: wprowadzenie do geometrii algebraicznej , autorstwa Williama Fultona z Richardem Weissem. New York: Benjamin, 1969. Przedruk ed.: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN  0-201-51010-3 . Pełny tekst online .
• Herszel M. Farkas; Irwina Kra (1980). Powierzchnie Riemanna . Teksty magisterskie z matematyki . 71 . s. 40–41, 55–56. Numer ISBN 0-387-90465-4.
• Kleiman, Steven L. (2005), „Schemat Picarda: Dodatek B.”, Fundamentalna geometria algebraiczna , Matematyka. Surveys Mongr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR  2223410
• Kollár, János (1996), krzywe racjonalne na rozmaitościach algebraicznych , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR  1440180