Algebra przemienności - Commutative algebra

Pocztówka z 1915 roku od jednej z pionierek algebry przemiennej, Emmy Noether , do E. Fischer, omawiająca jej pracę w zakresie algebry przemiennej.

Algebra przemienna jest gałęzią algebry, która bada pierścienie przemienne , ich ideały i moduły nad takimi pierścieniami. Zarówno geometria algebraiczna, jak i algebraiczna teoria liczb opierają się na algebrze przemiennej. Wybitne przykłady pierścieni przemiennych obejmują pierścienie wielomianowe ; pierścienie algebraicznych liczb całkowitych , w tym zwykłych liczb całkowitych ; i p -adyczne liczby całkowite . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Algebra przemienności jest głównym narzędziem technicznym w lokalnym badaniu schematów .

Badanie pierścieni, które niekoniecznie są przemienne, jest znane jako algebra nieprzemienna ; zawiera teorii pierścienia , teorii reprezentacji oraz teorię algebrach Banacha .

Przegląd

Algebra przemienności jest zasadniczo badaniem pierścieni występujących w algebraicznej teorii liczb i geometrii algebraicznej .

W algebraicznej teorii liczb pierścienie algebraicznych liczb całkowitych są pierścieniami Dedekinda , które stanowią zatem ważną klasę pierścieni przemiennych. Rozważania dotyczące arytmetyki modularnej doprowadziły do powstania pojęcia pierścienia wyceny . Ograniczenie rozszerzeń pola algebraicznego do podpierścieni doprowadziło do powstania pojęć rozszerzeń całkowych i dziedzin całkowito zamkniętych, a także pojęcia rozgałęzienia rozszerzenia pierścieni wartościujących.

Pojęcie lokalizacji pierścienia (w szczególności lokalizacji względem ideału pierwszego , lokalizacji polegającej na odwróceniu pojedynczego elementu i całkowitego ilorazu pierścienia ) jest jedną z głównych różnic między algebrą przemienną a teorią pierścieni nieprzemiennych . Prowadzi to do ważnej klasy pierścieni przemiennych, pierścieni lokalnych, które mają tylko jeden maksymalny ideał . Zbiór ideałów pierwszych pierścienia przemiennego jest oczywiście wyposażony w topologię , topologię Zariskiego . Wszystkie te pojęcia są szeroko stosowane w geometrii algebraicznej i są podstawowymi narzędziami technicznymi definicji teorii schematów , uogólnienia geometrii algebraicznej wprowadzonej przez Grothendiecka .

Wiele innych pojęć algebry przemiennej jest odpowiednikami pojęć geometrycznych występujących w geometrii algebraicznej. Jest to przypadek wymiar Krull , rozkładu pierwotnego , regularne pierścienie , pierścienie Cohen-Macaulay , pierścienie Gorenstein i wiele innych pojęć.

Historia

Temat, początkowo znany jako teoria ideałów , rozpoczął się od pracy Richarda Dedekinda o ideałach , opartej na wcześniejszych pracach Ernsta Kummera i Leopolda Kroneckera . Później David Hilbert wprowadził termin pierścień, aby uogólnić wcześniejszy termin numer pierścień . Hilbert wprowadził bardziej abstrakcyjne podejście, aby zastąpić bardziej konkretne i zorientowane obliczeniowo metody oparte na takich rzeczach, jak analiza zespolona i klasyczna teoria niezmiennicza . Z kolei Hilbert silnie wpłynął na Emmy Noether , która przekształciła wiele wcześniejszych wyników w postaci warunku łańcucha wstępującego , znanego obecnie jako warunek Noetherian. Kolejnym ważnym kamieniem milowym była praca studenta Hilberta Emanuela Laskera , który wprowadził podstawowe ideały i udowodnił pierwszą wersję twierdzenia Laskera-Noethera .

Główną postacią odpowiedzialną za narodziny algebry przemiennej jako dojrzałego podmiotu był Wolfgang Krull , który wprowadził podstawowe pojęcia lokalizacji i dopełniania pierścienia oraz regularnych pierścieni lokalnych . Ustanowił koncepcję wymiaru pierścienia Krulla , najpierw dla pierścieni Noetherian, zanim przeszedł do rozszerzenia swojej teorii na pierścienie wartości ogólnej i pierścienie Krulla . Do dziś główne idealne twierdzenie Krulla jest powszechnie uważane za najważniejsze podstawowe twierdzenie w algebrze przemiennej. Wyniki te utorowały drogę do wprowadzenia algebry przemiennej do geometrii algebraicznej, pomysłu, który zrewolucjonizowałby ten ostatni temat.

Znaczna część współczesnego rozwoju algebry przemiennej kładzie nacisk na moduły . Oba ideały pierścienia R i R -algebr są szczególnymi przypadkami modułów R , więc teoria modułów obejmuje zarówno teorię ideałów, jak i teorię rozszerzeń pierścienia . Chociaż było to już początkowe w pracy Kroneckera , nowoczesne podejście do algebry przemiennej przy użyciu teorii modułów jest zwykle przypisywane Krullowi i Noetherowi .

Główne narzędzia i wyniki

Noetherian pierścienie

W matematyce , a dokładniej w dziedzinie nowoczesnej algebry zwanej teorii pierścienia , a pierścień noetherowski , nazwany Emmy Noether , to pierścień, w którym każdy niepusty zbiór ideałów ma element maksymalny. Równoważnie pierścień jest Noetherian, jeśli spełnia warunek łańcucha wznoszącego się na ideałach; to znaczy, biorąc pod uwagę dowolny łańcuch:

{\ Displaystyle I_ {1} \ podseteq \ cdots I_ {k-1} \ podseteq I_ {k} \ podseteq I_ {k + 1} \ podseteq \ cdots}

istnieje n takie, że:

{\ Displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = \ cdots}

Aby pierścień przemienny był Noetherian wystarczy, że każdy pierwszy ideał pierścienia jest skończony generowany. (Wynik zawdzięczamy IS Cohen .)

Pojęcie pierścienia Noetherian ma fundamentalne znaczenie zarówno w przemiennej, jak i nieprzemiennej teorii pierścieni, ze względu na rolę, jaką odgrywa w uproszczeniu idealnej struktury pierścienia. Na przykład, pierścień z liczb całkowitych , a wielomian pierścień na polu są zarówno pierścień noetherowski, a co za tym idzie, takie jak twierdzenia twierdzenia Lasker-Noether , tym Krull przecięcia twierdzenie , a Hilberta podstaw twierdzenie chwyt dla nich. Co więcej, jeśli pierścień jest Noetherian, to spełnia warunek łańcucha zstępującego na ideałach pierwszych . Własność ta sugeruje głęboką teorię wymiaru pierścieni Noetherian, rozpoczynającą się od pojęcia wymiaru Krulla .

Bazowe twierdzenie Hilberta

Twierdzenie. Jeśli R jest lewym (lub prawym) pierścieniem Noetherian , to wielomianowy pierścień R [ X ] jest również lewym (lub prawym) pierścieniem Noetherian.

Podstawowe twierdzenie Hilberta ma kilka bezpośrednich konsekwencji:

Poprzez indukcję widzimy, że będzie to również Noetherian. ${\ Displaystyle R [X_ {0}, \ kropki, X_ {n-1}]}$
Ponieważ każda odmiana afiniczna powyżej (tj. zbiór miejsc zbioru wielomianów) może być zapisana jako miejsce ideału, a dalej jako miejsce jej generatorów, wynika z tego, że każda odmiana afiniczna jest miejscem skończenie wielu wielomianów — tj. przecięcie skończonych wielu hiperpowierzchni . ${\ Displaystyle R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ podzbiór R [X_ {0}, \ kropki, X_ {n-1}]}$
Jeśli jest skończenie generowaną -algebrą, to wiemy, że , gdzie jest ideałem. Twierdzenie o bazie implikuje, że musi być skończenie wygenerowane, powiedzmy , tj. jest skończenie przedstawione . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle A \ simeq R [X_ {0}, \ kropki, X_ {n-1}] / {\ mathfrak {a}}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = (p_ {0}, \ kropki, p_ {N-1})}$ ${\ Displaystyle A}$

Pierwotny rozkład

Idealnym P pierścienia mówi się, że podstawowym jeśli P jest właściwe i gdy xy ∈ P , albo x ∈ P lub y ⁿ ∈ P jakiegoś dodatnia n . W Z ideały pierwotne są dokładnie ideałami postaci ( p ^e ), gdzie p jest liczbą pierwszą, a e jest dodatnią liczbą całkowitą. Zatem pierwotna dekompozycja ( n ) odpowiada przedstawianiu ( n ) jako części przecięcia skończenie wielu pierwotnych ideałów.

Twierdzenie Lasker-Noether , podane tutaj mogą być postrzegane jako pewnego uogólnienia Podstawowe twierdzenie arytmetyki:

Twierdzenie Laskera-Noetha. Niech R będzie przemiennym pierścieniem noetheryjskim i niech ja będę ideałem R . Wtedy mogę być napisany jako skrzyżowanie skończenie wielu ideałów pierwotnych z odrębnymi radykałami ; to jest:

${\ Displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {t} Q_ {i}}$

z Q _i podstawowym dla wszystkich i oraz Rad( Q _i ) ≠ Rad( Q _j ) dla i ≠ j . Ponadto, jeżeli:

${\ Displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {k} P_ {i}}$

jest dekompozycja I z Rad( P _i ) ≠ Rad( P _j ) dla i ≠ j , a obie dekompozycje I są zbędne (co oznacza, że nie ma odpowiedniego podzbioru ani { Q ₁ , ..., Q _t } ani { P ₁ , ..., p _k } daje przecięcie równą i ), t = k oraz (być może po numeracji z Q _i ) Rad ( Q _i ) = Rad ( P _i ) dla wszystkich i .

Dla dowolnego pierwotnego rozkładu I , zbiór wszystkich pierwiastków, to znaczy zbiór {Rad( Q ₁ ), ..., Rad( Q _t )} pozostaje taki sam według twierdzenia Laskera-Noethera. W rzeczywistości okazuje się, że (jak na pierścień Noetherian) zestaw jest właśnie zabójcą modułu R / I ; to znaczy, że zestaw wszystkich annihilators z R / I (patrząc jako moduł na R ), które są głównymi.

Lokalizacja

Lokalizacja jest formalnym sposobem na wprowadzenie „mianownika” do danego pierścienia lub moduł. Oznacza to, że wprowadza nowy pierścień/moduł z istniejącego tak, aby składał się z ułamków

{\ Displaystyle {\ Frac {m} {s}}}

.

gdzie mianowniki s mieszczą się w danym podzbiorze S z R . Archetypowym przykładem jest konstrukcja pierścienia Q liczb wymiernych z pierścienia Z liczb całkowitych.

Ukończenie

Ukończenie jest jedną z kilku powiązanych funktorów na pierścieniach i modułów , które skutkują kompletnych pierścieni topologicznych i modułów. Uzupełnianie jest podobne do lokalizacji i razem są jednymi z najbardziej podstawowych narzędzi w analizie pierścieni przemiennych . Kompletne pierścienie przemienne mają prostszą budowę niż pierścienie ogólne i dotyczy ich lemat Hensela .

Topologia Zariskiego na ideałach pierwotnych

Topologia Zariski określa topologię na spektrum pierścienia (układ głównych idei). W tym sformułowaniu za zbiory uznaje się zbiory Zariskiego-zamknięte

{\ Displaystyle V (I) = \ {P \ w \ operatorname {spec} \ (A) \ mid I \ podseteq P \}}

gdzie A jest ustalonym pierścieniem przemiennym, a I jest ideałem. Jest to definiowane analogicznie do klasycznej topologii Zariskiego, gdzie zbiory domknięte w przestrzeni afinicznej są zbiorami zdefiniowanymi przez równania wielomianowe. Aby zobaczyć związek z klasycznym obrazem, zauważ, że dla dowolnego zbioru S wielomianów (nad ciałem algebraicznie domkniętym), z Nullstellensatz Hilberta wynika, że punkty V ( S ) (w starym sensie) są dokładnie krotkami ( a ₁ , ..., _n ) w taki sposób, że ( x ₁ - ₁ , ..., x _n - _n ) zawiera S ; ponadto są to ideały maksymalne i przez „słabego” Nullstellensatza ideał dowolnego afinicznego pierścienia współrzędnych jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma taką formę. Zatem V ( S ) jest „to samo co” maksymalne ideały zawierające S . Innowacją Grothendiecka w definiowaniu Spec było zastąpienie ideałów maksymalnych wszystkimi ideałami pierwszymi; w tym sformułowaniu naturalne jest po prostu uogólnienie tej obserwacji na definicję zbioru domkniętego w widmie pierścienia.

Przykłady

Podstawowym przykładem algebry przemiennej jest pierścień liczb całkowitych . Istnienie liczb pierwszych i unikalnego twierdzenia o faktoryzacji położyło podwaliny pod takie koncepcje, jak pierścienie noetherowskie i rozkład pierwotny . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Inne ważne przykłady to:

Pierścienie wielomianowe ${\ Displaystyle R [x_ {1}, ..., x_ {n}]}$
Te liczby całkowite p-adic
Pierścienie liczb algebraicznych .

Połączenia z geometrią algebraiczną

Algebra przemienności (w postaci pierścieni wielomianowych i ich ilorazów stosowanych w definicji rozmaitości algebraicznych ) zawsze była częścią geometrii algebraicznej . Jednak pod koniec lat pięćdziesiątych rozmaitości algebraiczne zostały włączone do koncepcji schematu Aleksandra Grothendiecka . Ich lokalnymi obiektami są schematy afiniczne lub widma pierwsze, które są lokalnie obrączkowanymi przestrzeniami, które tworzą kategorię antyrównoważną (dualną) kategorii przemiennych unitarnych pierścieni, rozszerzając dualność między kategorią afinicznych rozmaitości algebraicznych na ciało k , oraz kategoria skończenie generowanych zredukowanych k- algebr. Klejenie przebiega wzdłuż topologii Zariskiego; można wkleić się w kategorię przestrzeni obrączkowanych lokalnie, ale także, wykorzystując osadzanie Yoneda, w bardziej abstrakcyjnej kategorii snopów zbiorów nad kategorię schematów afinicznych. Topologia Zariskiego w sensie mnogościowym zostaje następnie zastąpiona przez topologię Zariskiego w sensie topologii Grothendiecka . Grothendieck wprowadził topologie Grothendiecka mając na uwadze bardziej egzotyczne, ale geometrycznie subtelniejsze i bardziej czułe przykłady niż prymitywna topologia Zariskiego, mianowicie topologia étale oraz dwie płaskie topologie Grothendiecka: fppf i fpqc. Obecnie wyróżnia się kilka innych przykładów, w tym topologia Nisnevicha . Snopy można ponadto uogólnić na stosy w sensie Grothendiecka, zwykle z pewnymi dodatkowymi warunkami reprezentacyjności, prowadzącymi do stosów Artina, a nawet lepszych, stosów Deligne-Mumford , często nazywanych stosami algebraicznymi.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Michael Atiyah i Ian G. Macdonald , Wprowadzenie do algebry przemiennej , Massachusetts: Addison-Wesley Publishing, 1969.
Bourbaki, Nicolas , Algebra przemienności. Rozdziały 1--7 . Przetłumaczone z francuskiego. Przedruk tłumaczenia angielskiego z 1989 roku. Elementy matematyki (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. XXIV+625 s. ISBN 3-540-64239-0
Bourbaki, Nicolas , Elementy matematyczne. Algèbre przemienny. Rozdziały 8 i 9 . (Elementy matematyki. Algebra przemienna. Rozdziały 8 i 9) Przedruk oryginału z 1983 roku. Springer, Berlin, 2006. II+200 s. ISBN 978-3-540-33942-7
Eisenbud, Dawid (1995). Algebra przemienności z uwzględnieniem geometrii algebraicznej . Teksty magisterskie z matematyki . 150 . Nowy Jork: Springer-Verlag . xvi+785. Numer ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960 .
Remi Goblot, „Algèbre przemienny, cours et exercices corrigés”, wydanie 2e, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
Ernst Kunz, „Wprowadzenie do algebry przemiennej i geometrii algebraicznej”, Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
Matsumura, Hideyuki, Algebra przemienności . Druga edycja. Matematyka Wykład Uwaga Series, 56. Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv + 313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
Matsumura, Hideyuki, teoria pierścieni przemiennych . Druga edycja. Przetłumaczone z japońskiego. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
Nagata, Masayoshi , lokalne pierścienie . Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, nr 13. Interscience Publishers oddział John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 s.
Miles Reid, licencjat z algebry przemiennej (London Mathematical Society Student Texts) , Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, 1996.
Jean-Pierre Serre , Algebra lokalna . Przetłumaczone z francuskiego przez CheeWhye Chin i poprawione przez autora. (Pierwotny tytuł: Algèbre locale, multiplicités ) Monografie Springera w matematyce. Springer-Verlag, Berlin, 2000. XIV+128 s. ISBN 3-540-66641-9
Sharp, RY, Kroki w algebrze przemiennej . Druga edycja. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. XII + 355 s. ISBN 0-521-64623-5
Zariski, Oskar ; Samuel, Pierre , Algebra przemienności . Tom. 1, 2. Przy współpracy IS Cohen. Poprawione przedruk wydania z 1958, 1960. Teksty magisterskie z matematyki, nr 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

Languages

In other projects