Intuicjonizm - Intuitionism

Ten artykuł dotyczy intuicjonizmu w matematyce i logice filozoficznej. Termin w epistemologii moralnej można znaleźć w Intuicjonizm etyczny .

W filozofii matematyki , intuicjonizmu lub neointuitionism (w przeciwieństwie do preintuitionism ), to podejście gdzie matematyka jest uważana za czysto wynikiem konstruktywnej aktywności umysłowej ludzi zamiast odkrycia podstawowych zasad twierdzili, że istnieje w obiektywnej rzeczywistości. Oznacza to, że logiki i matematyki nie uważa się za czynności analityczne, w których ujawnia się i stosuje głębokie właściwości obiektywnej rzeczywistości, lecz za zastosowanie wewnętrznie spójnych metod wykorzystywanych do realizacji bardziej złożonych konstrukcji umysłowych, niezależnie od ich możliwego niezależnego istnienia w obiektywnej rzeczywistości. .

Prawda i dowód

Podstawową cechą wyróżniającą intuicjonizm jest interpretacja tego, co oznacza, że ​​zdanie matematyczne jest prawdziwe. W pierwotnym intuicjonizmie Brouwera prawdziwość twierdzenia matematycznego jest twierdzeniem subiektywnym: twierdzenie matematyczne odpowiada konstrukcji myślowej, a matematyk może potwierdzić prawdziwość twierdzenia jedynie poprzez weryfikację słuszności tej konstrukcji za pomocą intuicji . Niejasność intuicjonistycznego pojęcia prawdy często prowadzi do błędnych interpretacji jej znaczenia. Kleene formalnie zdefiniował prawdę intuicjonistyczną z pozycji realistycznej, jednak Brouwer prawdopodobnie odrzuciłby tę formalizację jako bezsensowną, biorąc pod uwagę jego odrzucenie stanowiska realistyczno-platońskiego. Dlatego prawda intuicjonistyczna pozostaje nieco niejasna. Ponieważ jednak intuicjonistyczne pojęcie prawdy jest bardziej restrykcyjne niż klasyczna matematyka, intuicjonista musi odrzucić niektóre założenia klasycznej logiki, aby upewnić się, że wszystko, co udowadniają, jest w rzeczywistości intuicjonistycznie prawdziwe. Daje to początek logice intuicjonistycznej .

Dla intuicjonisty twierdzenie, że istnieje przedmiot o określonych właściwościach, jest twierdzeniem, że można skonstruować przedmiot o tych właściwościach. Każdy przedmiot matematyczny uważany jest za wytwór konstrukcji umysłu , a zatem istnienie przedmiotu jest równoznaczne z możliwością jego zbudowania. Kontrastuje to z podejściem klasycznym, które stwierdza, że ​​istnienie bytu można udowodnić, obalając jego nieistnienie. Dla intuicjonisty nie jest to ważne; obalenie nieistnienia nie oznacza, że ​​możliwe jest znalezienie konstrukcji przedmiotu domniemanego, jak jest to wymagane do stwierdzenia jego istnienia. Jako taki, intuicjonizm jest odmianą matematycznego konstruktywizmu ; ale to nie jedyny rodzaj.

Interpretacja negacji jest inna w logice intuicjonistycznej niż w logice klasycznej. W logice klasycznej negacja zdania zakłada, że ​​zdanie jest fałszywe ; dla intuicjonisty oznacza to, że stwierdzenie to można obalić . Istnieje zatem asymetria między pozytywnym a negatywnym stwierdzeniem w intuicjonizmie. Jeśli zdanie P jest dowodliwe, to z pewnością P nie może być obalone. Ale nawet jeśli można wykazać, że P nie może być obalone, nie stanowi to dowodu na P . Zatem P jest silniejszym stwierdzeniem niż not-not-P .

Podobnie, w celu stwierdzenia, że lub B posiada, na intuicjonisty, jest stwierdzenie, że albo lub B może być udowodnione . W szczególności prawo wyłączonego środka , „ A or not A ”, nie jest akceptowane jako obowiązująca zasada. Na przykład, jeśli A jest jakimś matematycznym stwierdzeniem, którego intuicjonista jeszcze nie udowodnił ani nie obalił, to ten intuicjonista nie zapewni prawdziwości „ A czy nie A ”. Jednak intuicjonista zaakceptuje, że „ A i nie A ” nie może być prawdą. Tak więc spójniki „i” i „lub” logiki intuicjonistycznej nie spełniają praw de Morgana, tak jak w logice klasycznej.

Logika intuicjonistyczna zastępuje prawdę abstrakcyjną konstruowalnością i wiąże się z przejściem od dowodu teorii modeli do prawdy abstrakcyjnej we współczesnej matematyce . Rachunek logiczny zachowuje uzasadnienie, a nie prawdę, w przekształceniach prowadzących do twierdzeń pochodnych. Została ona traktowana jako udzielanie wsparcia filozoficznego do kilku szkół filozofii, przede antyrealizm of Michael Dummett . Tak więc, wbrew pierwszemu wrażeniu, jakie może wywoływać jego nazwa, i jak urzeczywistnia się w określonych podejściach i dyscyplinach (np. Zbiory i systemy rozmyte ), matematyka intuicjonistyczna jest bardziej rygorystyczna niż matematyka konwencjonalnie uzasadniona, gdzie, jak na ironię, fundamentalne elementy, które intuicjonizm próbuje zbudować /refute/refound są traktowane jako podane intuicyjnie.

nieskończoność

Wśród różnych sformułowań intuicjonizmu istnieje kilka różnych stanowisk dotyczących znaczenia i rzeczywistości nieskończoności.

Termin potencjalna nieskończoność odnosi się do procedury matematycznej, w której istnieje niekończąca się seria kroków. Po zakończeniu każdego kroku zawsze należy wykonać kolejny krok. Rozważmy na przykład proces liczenia: 1, 2, 3, ...

Termin nieskończoność rzeczywista odnosi się do ukończonego obiektu matematycznego, który zawiera nieskończoną liczbę elementów. Przykładem jest zbiór liczb naturalnych , N = {1, 2, ...}.

W sformułowaniu teorii mnogości Cantora istnieje wiele różnych zbiorów nieskończonych, z których niektóre są większe od innych. Na przykład zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R jest większy niż N , ponieważ każda procedura, której spróbujesz umieścić liczby naturalne w korespondencji jeden do jednego z liczbami rzeczywistymi, zawsze zawiedzie: zawsze będzie nieskończona liczba liczb rzeczywistych „pozostałych”. Każdy nieskończony zbiór, który można umieścić w korespondencji jeden do jednego z liczbami naturalnymi, jest określany jako „policzalny” lub „przeliczalny”. Nieskończone zbiory większe od tego są uważane za „niepoliczalne”.

Teoria mnogości Cantora doprowadziła do powstania systemu aksjomatycznego teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZFC), obecnie najpowszechniejszej podstawy współczesnej matematyki . Intuicjonizm powstał po części jako reakcja na teorię mnogości Cantora.

Współczesna konstruktywna teoria mnogości zawiera aksjomat nieskończoności z ZFC (lub poprawioną wersję tego aksjomatu) oraz zbiór N liczb naturalnych. Większość współczesnych matematyków konstruktywnych akceptuje rzeczywistość zbiorów przeliczalnie nieskończonych (jednak kontrprzykład można znaleźć w Alexander Esenin-Volpin ).

Brouwer odrzucił koncepcję rzeczywistej nieskończoności, ale przyznał ideę potencjalnej nieskończoności.

„Według Weyla 1946, 'Brouwer wyjaśnił, jak sądzę, ponad wszelką wątpliwość, że nie ma dowodów wspierających wiarę w egzystencjalny charakter całości wszystkich liczb naturalnych… ciąg liczb, który rośnie poza jakikolwiek etap już osiągnięty przez przejście do następnej liczby, jest wielorakością możliwości otwartych na nieskończoność, pozostaje na zawsze w statusie stworzenia, ale nie jest zamkniętą sferą rzeczy istniejących w sobie.To, że ślepo przemieniliśmy jedno w drugie, jest prawdą źródło naszych trudności, w tym antynomie – źródło bardziej fundamentalnej natury niż wskazywała na to zasada błędnego koła Russella. Brouwer otworzył nam oczy i pokazał, jak daleko jest matematyka klasyczna, karmiona wiarą w „absolut”, który przekracza wszelkie ludzkie możliwości realizacja wykracza poza takie stwierdzenia, które mogą domagać się prawdziwego znaczenia i prawdy opartej na dowodach”. (Kleene (1952): Wprowadzenie do metamatematyki , s. 48-49)

Historia

Historia intuicjonizmu wywodzi się z dwóch kontrowersji w dziewiętnastowiecznej matematyce.

Pierwszym z nich było wynalezienie arytmetyki pozaskończonej przez Georga Cantora i jej późniejsze odrzucenie przez wielu wybitnych matematyków, w tym najsłynniejszego jego nauczyciela Leopolda Kroneckera — zatwierdzonego finitystę .

Drugim z nich były wysiłki Gottloba Fregego zmierzające do zredukowania całej matematyki do logicznego sformułowania poprzez teorię mnogości i jej wykolejenie przez młodego Bertranda Russella , odkrywcę paradoksu Russella . Frege zaplanował ostateczną pracę w trzech tomach, ale w chwili, gdy miał być drukowany drugi tom, Russell wysłał Frege'owi list opisujący jego paradoks, który dowodził, że jedna z reguł Fregego samoodniesienia jest wewnętrznie sprzeczna. W dodatku do drugiego tomu Frege przyznał, że jeden z aksjomatów jego systemu rzeczywiście prowadzi do paradoksu Russella.

Jak głosi opowieść, Frege popadł w depresję i nie wydał trzeciego tomu swojej pracy, jak planował. Więcej w Davis (2000) rozdziały 3 i 4: Frege: Od przełomu do rozpaczy i Cantor: Objazd przez nieskończoność. Zobacz van Heijenoort dla oryginalnych prac i komentarza van Heijenoorta.

Kontrowersje te są silnie ze sobą powiązane, ponieważ logiczne metody stosowane przez Cantora w udowadnianiu jego wyników w arytmetyce pozaskończonej są zasadniczo takie same, jak te stosowane przez Russella przy konstruowaniu jego paradoksu. Stąd sposób, w jaki ktoś zdecyduje się rozwiązać paradoks Russella, ma bezpośredni wpływ na status przyznany arytmetyce ponadskończonej Cantora.

Na początku XX wieku LEJ Brouwer reprezentował intuicjonisty pozycję i David Hilbert formalista pozycja zobaczyć van Heijenoort. Kurt Gödel wygłaszał opinie określane mianem platonistów (por. różne źródła dotyczące Gödla). Alan Turing uważa: „niekonstruktywne systemy logiki, w których nie wszystkie etapy dowodu są mechaniczne, a niektóre są intuicyjne”. (Turing 1939, przedruk w Davis 2004, s. 210). Później Stephen Cole Kleene przedstawił bardziej racjonalne rozważania na temat intuicjonizmu w swoim Wstępie do meta-matematyki (1952).

Współtwórcy

Gałęzie matematyki intuicjonistycznej

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

W rozdziale 39 Podstawy Anglin podaje w odniesieniu do XX wieku bardzo precyzyjne, krótkie opisy platonizmu (w odniesieniu do Godla), formalizmu (w odniesieniu do Hilberta) i intuicjonizmu (w odniesieniu do Brouwera).
  • Martin Davis (red.) (1965), Nierozstrzygalni , Raven Press, Hewlett, NY. Kompilacja oryginalnych prac Gödla, Churcha, Kleene, Turinga, Rossera i Posta. Opublikowane jako Davis, Martin, wyd. (2004). Nierozstrzygnięty . Publikacje kurierskie Dover. Numer ISBN 978-0-486-43228-1.
  • Martina Davisa (2000). Silniki logiki: Matematycy i pochodzenie komputera (wyd. 1). WW Norton & Company, Nowy Jork. Numer ISBN 0-393-32229-7.
  • John W. Dawson Jr., Logiczne dylematy: życie i twórczość Kurta Gödla , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
Mniej czytelny niż Goldstein, ale w rozdziale III Excursis Dawson podaje znakomitą „Historię rozwoju logiki w kapsułkach do 1928 roku”.
  • Rebecca Goldstein , Niekompletność: dowód i paradoks Kurta Godla , Atlas Books, WW Norton, Nowy Jork, 2005.
W rozdziale II Hilbert i formaliści Goldstein podaje dalszy kontekst historyczny. Jako platonista Gödel był powściągliwy wobec logicznego pozytywizmu Koła Wiedeńskiego. Goldstein omawia wpływ Wittgensteina i wpływ formalistów. Goldstein zauważa, że ​​intuicjoniści byli nawet bardziej przeciwni platonizmowi niż formalizmowi .
  • van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Przedruk z poprawkami, 1977. W van Heijenoort ukazują się następujące artykuły:
  • LEJ Brouwer , 1923, O znaczeniu zasady wykluczonego środka w matematyce, zwłaszcza w teorii funkcji [przedruk z komentarzem, s. 334, van Heijenoort]
  • Andriej Nikołajewicz Kołmogorow , 1925, O zasadzie wykluczonego środka , [przedruk z komentarzem, s. 414, van Heijenoort]
  • LEJ Brouwer , 1927, O dziedzinach definicji funkcji , [przedruk z komentarzem, s. 446, van Heijenoort]
Chociaż nie ma to bezpośredniego związku, w swoim (1923) Brouwer używa pewnych słów zdefiniowanych w tym artykule.
  • LEJ Brouwer , 1927(2), Intuicjonistyczne refleksje nad formalizmem , [przedruk z komentarzem, s. 490, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), „O spójności arytmetyki” [przedruk z komentarzem, s. 618ff, van Heijenoort]
Z komentarza van Heijenoorta nie jest jasne, czy Herbrand był prawdziwym „intuicjonistą”; Gödel (1963) stwierdził, że rzeczywiście „… Herbrand był intuicjonistą”. Ale van Heijenoort mówi, że koncepcja Herbranda była „ogólnie znacznie bliższa tej ze słowa „finitary” („finit”) Hilberta niż „intuicjonistycznej” w zastosowaniu do doktryny Brouwera”.
  • Hesseling, Dennis E. (2003). Gnomy we mgle. Recepcja intuicjonizmu Brouwera w latach dwudziestych . Birkhäuser. Numer ISBN 3-7643-6536-6.
  • Arend Heyting : Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuicjonizm: wprowadzenie (3d rev. ed.). Amsterdam: Pub Północno-Hollandzki. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
  • Kleene, Stephen C. (1991) (1952). Wprowadzenie do Meta-matematyki (dziesiąte wrażenie 1991 ed.). Amsterdam NY: Pub Północno-Hollandzki. Co. ISBN 0-7204-2103-9.
W Rozdziale III Krytyka rozumowania matematycznego, §11. Paradoksy , Kleene szczegółowo omawia intuicjonizm i formalizm . W pozostałej części książki traktuje i porównuje zarówno logikę formalistyczną (klasyczną), jak i intuicjonistyczną, z naciskiem na tę pierwszą.
  • Stephen Cole Kleene i Richard Eugene Vesley , The Foundations of Intuitionistic Mathematics , North-Holland Publishing Co. Amsterdam, 1965. Pierwsze zdanie mówi wszystko: „Konstruktywna tendencja w matematyce…”. Tekst dla specjalistów, ale napisany w cudownie przejrzystym stylu Kleene.
  • Hilary Putnam i Paul Benacerraf , Filozofia matematyki: Wybrane odczyty , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN  0-521-29648-X
Część I. Podstawy matematyki , Sympozjum o podstawach matematyki
  • Rudolf Carnap , Logistyczne podstawy matematyki , s . 41
  • Arend Heyting , Intuicjonistyczne podstawy matematyki , s. 52
  • Johann von Neumann , Formalistyczne podstawy matematyki , s . 61
  • Arend Heyting, Dyskusja , s. 66
  • LEJ Brouwer, Intuicjonizm i formalizm , s. 77
  • LEJ Brouwer, Świadomość, filozofia i matematyka , s. 90
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus – Springer-Verlag, I wydanie 1970, II wydanie 1996.
Ostateczna biografia Hilberta umieszcza jego „Program” w kontekście historycznym wraz z późniejszymi, niekiedy zaciekłymi walkami między intuicjonistami a formalistami.
  • Paul Rosenbloom , Elementy logiki matematycznej , Dover Publications Inc, Mineola, Nowy Jork, 1950.
W stylu bardziej Principia Mathematica – wiele symboli, niektóre antyczne, niektóre z pisma niemieckiego. Bardzo dobre dyskusje na temat intuicjonizmu w następujących miejscach: strony 51–58 w rozdziale 4 Wiele cennych logik, logiki modalne, intuicjonizm; strony 69–73 Rozdział III Logika funkcji proponujących Sekcja 1 Wprowadzenie nieformalne; i p. 146-151 Rozdział 7 Aksjomat wyboru.
Przewartościowanie intuicjonizmu z punktu widzenia m.in. matematyki konstruktywnej i analizy niestandardowej .

Referencje wtórne

  • AA Markov (1954) Teoria algorytmów . [Tłumaczony przez Jacques J. Schorr-Kon i personel PST] Wydawnictwo Moskwa, Akademia Nauk ZSRR, 1954 [tj. Jerozolima, Izrael Program Tłumaczeń Naukowych, 1961; dostępne w Biurze Usług Technicznych, Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Waszyngton] Opis 444 str. 28 cm. Dodano tp w rosyjskim tłumaczeniu dzieł Instytutu Matematycznego Akademii Nauk ZSRR, t. 42. Tytuł oryginalny: Teoriya Algorifmov. [QA248.M2943 Biblioteka Dartmouth College. Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Biuro Usług Technicznych, numer OTS 60–51085.]
Wtórna wzmianka dla specjalistów: Markov wyraził opinię, że „Całe znaczenie dla matematyki uściślenia pojęcia algorytmu wyłania się jednak w związku z problemem konstruktywnych podstaw matematyki … [s. 3, kursywa dodana. ] Markow uważał, że dalsze zastosowania jego dzieła „zasługują na specjalną książkę, którą autor ma nadzieję napisać w przyszłości” (s. 3), niestety, praca ta najwyraźniej nigdy się nie ukazała.

Zewnętrzne linki