Przejście Kosterlitza–Thoulessa - Kosterlitz–Thouless transition

Przejście Bereziński-Kosterlitz-Thoulless ( przejście BKT ) jest przejściem fazowym dwuwymiarowego (2-D) modelu XY w fizyce statystycznej . Jest to przejście od związanych par wir-antywir w niskich temperaturach do niesparowanych wirów i antywirów w pewnej krytycznej temperaturze. To przejście zostało nazwane na cześć fizyków materii skondensowanej Vadima Berezinskiego , Johna M. Kosterlitza i Davida J. Thoulessa . Przejścia BKT można znaleźć w kilku systemach 2-D w fizyce materii skondensowanej, które są aproksymowane przez model XY, w tym w macierzach połączeń Josephsona i cienkich nieuporządkowanych ziarnistych warstwach nadprzewodzących . Niedawno termin ten został zastosowany przez społeczność zajmującą się przejściem izolatorów nadprzewodnikowych 2D do łączenia par Coopera w systemie izolacyjnym, ze względu na podobieństwa do oryginalnego przejścia wirowego BKT.

Prace nad przejściem doprowadziły do ​​przyznania Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki w 2016 roku Thoulessowi i Kosterlitzowi; Bereziński zmarł w 1980 roku.

Model XY

Model XY to dwuwymiarowy model spinu wektorowego, który posiada symetrię U(1) lub kołową. Nie oczekuje się, aby system ten posiadał normalne przejście fazowe drugiego rzędu . Dzieje się tak, ponieważ oczekiwana uporządkowana faza systemu jest niszczona przez fluktuacje poprzeczne, tj. mody Nambu-Goldstone (patrz bozon Goldstone'a ) związane z tą złamaną symetrią ciągłą , które logarytmicznie rozchodzą się z rozmiarem systemu. Jest to szczególny przypadek tak zwanego twierdzenia Mermina-Wagnera w układach spinowych.

Ściśle rzecz biorąc, przejście nie jest w pełni zrozumiałe, ale istnienie dwóch faz zostało udowodnione przez McBryana i Spencera (1977) oraz Fröhlicha i Spencera (1981) .

Fazy ​​nieuporządkowane z różnymi korelacjami

W modelu XY w dwóch wymiarach nie widać przejścia fazowego drugiego rzędu. Jednak można znaleźć niskotemperaturową fazę quasi-uporządkowaną z funkcją korelacji (patrz mechanika statystyczna ), która maleje wraz z odległością jak moc, która zależy od temperatury. Przejście z fazy nieuporządkowanej w wysokiej temperaturze z korelacją wykładniczą do tej fazy quasi-uporządkowanej w niskiej temperaturze jest przejściem Kosterlitza-Thoulessa. Jest to przejście fazowe nieskończonego porządku.

Rola wirów

W modelu 2-D XY wiry są topologicznie stabilnymi konfiguracjami. Stwierdzono, że wysokotemperaturowa faza nieuporządkowana z wykładniczym zanikiem korelacji jest wynikiem powstawania wirów. Generowanie wirów staje się termodynamicznie korzystne w krytycznej temperaturze przejścia Kosterlitza-Thoullessa. W niższych temperaturach generowanie wirów ma korelację z prawem potęgowym. ${\displaystyle T_{c}}$

Przejścia Kosterlitza–Thoulessa są opisane jako dysocjacja związanych par wirowych o przeciwnych cyrkulacjach, zwanych parami wir–antywir, po raz pierwszy opisana przez Vadima Berezinskiego . W tych systemach termiczne wytwarzanie wirów wytwarza parzystą liczbę wirów o przeciwnym znaku. Pary wir-antywir mają niższą energię niż wiry swobodne, ale mają również niższą entropię. W celu zminimalizowania energii swobodnej, układ przechodzi przejście w temperaturze krytycznej, . Poniżej znajdują się tylko związane pary wir-antywir. Powyżej znajdują się wolne wiry. ${\ Displaystyle F = E-TS}$${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle T_{c}}$

Nieformalny opis

Istnieje elegancki termodynamiczny argument za przejściem Kosterlitza-Thoullessa. Energia pojedynczego wiru to , gdzie jest parametrem zależnym od systemu, w którym znajduje się wir, jest rozmiarem systemu i jest promieniem rdzenia wiru. Zakłada się . W systemie 2D liczba możliwych pozycji wiru wynosi około . Ze wzoru na entropię Boltzmanna , (gdzie W jest liczbą stanów), entropia wynosi , gdzie jest stałą Boltzmanna . Zatem energia swobodna Helmholtza wynosi ${\ Displaystyle \ kappa \ ln (R / a)}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle R \ gg a}$${\ Displaystyle (R/a) ^ {2}}$${\ Displaystyle S = k_ {\ rm {B}} \ ln W}$${\ Displaystyle S = 2k_ {\ rm {B}} \ ln (R / a)}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

${\ Displaystyle F = E-TS = (\ kappa -2k_ {\ rm {B}} T) \ ln (R / a).}$

Kiedy system nie będzie miał wiru. Z drugiej strony, gdy względy entropiczne sprzyjają tworzeniu się wiru. Temperaturę krytyczną, powyżej której mogą tworzyć się wiry, można znaleźć przez ustawienie i jest wyrażona wzorem${\ Displaystyle F> 0}$${\displaystyle F<0}$${\ Displaystyle F = 0}$

${\ Displaystyle T_ {c} = {\ Frac {\ kappa} {2k_ {\ rm {B}}}}.}$

Przejście Kosterlitza-Thoullessa można zaobserwować eksperymentalnie w systemach, takich jak dwuwymiarowe macierze złącz Josephsona, wykonując pomiary prądu i napięcia (IV). Powyżej relacja będzie liniowa . Tuż poniżej relacja będzie wyglądać tak, jak liczba wolnych wirów będzie wynosić . Ten skok z zależności liniowej wskazuje na przejście Kosterlitza–Thoulessa i może być użyty do określenia . To podejście zostało zastosowane w Resnick et al. w celu potwierdzenia przejścia Kosterlitza-Thoullessa w sprzężonych zbliżeniowo układach połączeń Josephsona . ${\displaystyle T_{c}}$${\ Displaystyle V \ SIM I}$${\displaystyle T_{c}}$${\ Displaystyle V \ SIM I ^ {3}}$${\ Displaystyle I ^ {2}}$${\displaystyle T_{c}}$

Analiza teoretyczna pola

Poniższa dyskusja wykorzystuje metody teorii pola. Załóżmy pole field(x) zdefiniowane w płaszczyźnie, które przyjmuje wartości w . Dla wygody pracy z powszechnego ubezpieczenia R w zamian jednak zidentyfikować dwie wartości cp (x), które różnią się od całkowitej wielokrotności 2n. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Energia jest przekazywana przez

${\ Displaystyle E = \ int {\ Frac {1} {2}} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ phi \ d ^ {2} x}$

a czynnik Boltzmanna to . ${\displaystyle \exp(-\beta E)}$

Biorąc całkę po konturze po dowolnej kurczliwej ścieżce zamkniętej , spodziewalibyśmy się, że będzie ona równa zero. Jednak tak nie jest ze względu na osobliwą naturę wirów. Możemy sobie wyobrazić, że teoria jest zdefiniowana do jakiejś energetycznej skali odcięcia , dzięki czemu możemy przebić płaszczyznę w punktach, w których znajdują się wiry, usuwając obszary o liniowej wielkości rzędu . Jeśli zawija się raz w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół przebicia, całka konturu jest całkowitą wielokrotnością . Wartość tej liczby całkowitej jest indeksem pola wektorowego . Załóżmy, że dana konfiguracja pola ma przebicia znajdujące się przy każdym z indeksem . Następnie rozkłada się na sumę konfiguracji pola bez przebić i , gdzie dla wygody przełączyliśmy się na złożone współrzędne płaszczyzny. Funkcja złożonego argumentu ma cięcie gałęzi, ale ponieważ jest zdefiniowana modulo , nie ma żadnych fizycznych konsekwencji. ${\displaystyle \oint_{\gamma}d\phi}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\displaystyle 1/\lambda}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\displaystyle \oint_{\gamma}d\phi}$${\ Displaystyle \ pm 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ nabla \ phi}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x_ {i}, i = 1, \ kropki, N}$${\ Displaystyle n_ {i} = \ pm 1}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi _{0}}$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ arg (z-z_ {i})}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle 2\pi}$

Teraz,

${\ Displaystyle E = \ int {\ Frac {1} {2}} \ nabla \ phi _ {0} \ cdot \ nabla \ phi _ {0} \ d ^ {2} + \ suma _ {1 \ leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\int {\frac {1}{2}}\nabla \ \arg(z-z_{i})\cdot \nabla \arg(z-z_ {j})\,d^{2}x}$

Jeśli , drugi wyraz jest dodatni i rozchodzi się w granicy : konfiguracje z niezrównoważoną liczbą wirów każdej orientacji nigdy nie są energetycznie faworyzowane. Kiedy jednak drugi człon jest równy , co jest całkowitą energią potencjalną dwuwymiarowego gazu kulombowskiego . Skala L jest skalą arbitralną, która sprawia, że ​​argument logarytmu jest bezwymiarowy. ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ neq 0}$${\ Displaystyle \ Lambda \ do \ Infty}$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} = 0}$${\ Displaystyle -2 \ pi \ suma _ {1 \ leq i <j \ leq N} n_ {i} n_ {j} \ ln (| x_ {j} -x_ {i} | / L)}$

Załóżmy przypadek, w którym występują tylko wiry wielości . Przy niskich i dużych temperaturach odległość między parą wirową i przeciwwirową jest zwykle bardzo mała, zasadniczo rzędu . Przy wysokich i małych temperaturach odległość ta wzrasta, a preferowana konfiguracja staje się efektywnie gazem o swobodnych wirach i antywirach. Przejściem między dwiema różnymi konfiguracjami jest przejście fazowe Kosterlitza-Thoulessa. ${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle \ beta}$${\displaystyle 1/\lambda}$${\ Displaystyle \ beta}$

Zobacz też

• Teoria KTHNY
• bozon Goldstone
• Ising model
• Przejście lambda
• Model doniczek
• Wir kwantowy
• Superciekły film
• Faza heksatyczna
• Wada topologiczna

Uwagi

Bibliografia

• ерезинский, В. . (1970), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I. Классические системы" ЖЭТФ (w języku rosyjskim), 59 (3): 907-920. Tłumaczenie dostępne: Bereziński, VL (1971), "Destrukcja porządku dalekiego zasięgu w układach jednowymiarowych i dwuwymiarowych posiadających ciągłą grupę symetrii I. Układy klasyczne" (PDF) , Sov. Fiz. JETP , 32 (3): 493–500, Kod Bib : 1971JETP...32..493B
• Березинский, В. . (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии II Квантовые системы." ЖЭТФ (w języku rosyjskim), 61 (3): 1144/56. Tłumaczenie dostępne: Berezinskii, VL (1972), "Destrukcja porządku dalekiego zasięgu w układach jednowymiarowych i dwuwymiarowych o ciągłej grupie symetrii II. Układy kwantowe" (PDF) , Sov. Fiz. JETP , 34 (3): 610–616, kod bib : 1972JETP...34..610B
• Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (1973), „Porządkowanie, metastabilność i przejścia fazowe w układach dwuwymiarowych”, Journal of Physics C: Solid State Physics , 6 (7): 1181-1203, Bibcode : 1973JPhC ....6.1181K , doi : 10.1088/0022-3719/6/7/010
• McBryan, O.; Spencer, T. (1977), „O rozpadzie korelacji w SO(n)-symetrycznych ferromagnesach”, Commun. Matematyka. Fiz. , 53 (3): 299, Kod Bib : 1977CMaPh..53..299M , doi : 10.1007/BF01609854 , S2CID  119587247
• BI Halperin , DR Nelson , Phys. Ks. 41, 121 (1978)
• AP Young, fiz. Ks. B 19, 1855 (1979)
• Resnick, DJ; Girlanda, JC; Boyda, JT; Szewc, S.; Newrock, RS (1981), „Kosterlitz Thouless Transition in Proximity Coupled Superconducting Arrays”, Phys. Ks. , 47 (21): 1542, Bibcode : 1981PhRvL..47.1542R , doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542
• Fröhlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), „Przejście Kosterlitza-Thoulessa w dwuwymiarowych układach spinu abelowego i gazie Coulomb”, Comm. Matematyka. Fiz. , 81 (4): 527-602, Bibcode : 1981CMaPh..81..527F , doi : 10.1007/bf01208273 , S2CID  73555642
• Z. Hadzibabic; i in. (2006), „Berezinskii–Kosterlitz–Thouless crossover in a trapped atomic gas”, Nature , 41 (7097): 1118–21, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode : 2006Natur.441.1118H , doi : 10.1038/nature04851 , PMID  16810249 , S2CID  4314014
• Mondala; i in. (2011), „Rola energii wiru-rdzenia w przejściu Beresinkii-Kosterlitz-Thoulless w cienkich warstwach NbN”, Phys. Ks. , 107 (21): 217003, arXiv : 1108.0912 , Bibcode : 2011PhRvL.107u7003M , doi : 10.1103/PhysRevLett.107.217003 , PMID  22181915 , S2CID  34729666

Książki

• JV Jose, 40 lat Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Theory , World Scientific , 2013, ISBN  978-981-4417-65-5
• H. Kleinert , Pola wskaźnikowe w materii skondensowanej , t. I, " SUPERFLOW AND VORTEX LINES", s. 1-742, World Scientific (Singapur, 1989) ; Oprawa miękka ISBN  9971-5-0210-0 (dostępne również w Internecie: Vol. I . Czytaj str. 618-688);
• H. Kleinert , Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics and Gravitation , World Scientific (Singapur, 2008) (dostępne również online: tutaj )