Twierdzenie Krenera - Krener's theorem

W matematyce twierdzenie Krenera jest wynikiem przypisywanym Arthurowi J. Krenerowi w geometrycznej teorii sterowania o topologicznych właściwościach osiągalnych zbiorów skończenie wymiarowych systemów sterowania. Stwierdza, że ​​każdy osiągalny zbiór systemu generującego nawiasy ma niepuste wnętrze lub, równoważnie, każdy osiągalny zbiór ma niepuste wnętrze w topologii odpowiadającej mu orbity . Heurystycznie, twierdzenie Krenera zabrania osiągalnym zbiorom bycia włochatym .

Twierdzenie

Niech będzie gładkim systemem sterowania, gdzie należy do rozmaitości skończenie wymiarowej i należy do zbioru sterowania . Rozważ rodzinę pól wektorowych . ${\ Displaystyle {\ }{\ kropka {q}} = f (q, u)}$${\displaystyle {\q}}$${\ Displaystyle \ M}$${\ Displaystyle \ u}$${\ Displaystyle \ U}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f (\ cdot, u) \ średni u \ w U \}}$

Niech będzie algebrą Liego wygenerowaną przez w odniesieniu do nawiasu Liego pól wektorowych . Biorąc pod uwagę , jeśli przestrzeń wektorowa jest równa , to należy do domknięcia wnętrza zbioru osiągalnego z . ${\ Displaystyle \ \ operatorname {kłamstwo} \ {\ mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ q \ w M}$${\ Displaystyle \ \ operatorname {kłamstwo} _ {q} \ {\ mathcal {f}} = \ {g (q) \ średni g \ w \ operatorname {kłamstwo} \ {\ mathcal {f}} \} }$${\ Displaystyle \ T_ {q} M}$${\ Displaystyle \ q}$${\ Displaystyle \ q}$

Uwagi i konsekwencje

Nawet jeśli jest różny od , to osiągalny zbiór z ma niepuste wnętrze w topologii orbity, jak wynika z twierdzenia Krenera zastosowanego do układu sterowania ograniczonego do orbity przez . ${\ Displaystyle \ operatorname {kłamstwo} _ {q} \ {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ T_ {q} M}$${\ Displaystyle \ q}$${\ Displaystyle \ q}$

Gdy wszystkie pola wektorowe w są analityczne, wtedy i tylko wtedy, gdy należą do domknięcia wnętrza osiągalnego zbioru z . Jest to konsekwencja twierdzenia Krenera i twierdzenia o orbitach . ${\ Displaystyle \ {\ Mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ \ operatorname {kłamstwo} _ {q} \ {\ mathcal {F}} = T_ {q} M}$ ${\ Displaystyle \ q}$${\ Displaystyle \ q}$

W następstwie twierdzenia Krenera można udowodnić, że jeśli system generuje nawiasy i jeśli zbiór osiągalny od jest gęsty w , to zbiór osiągalny od jest w rzeczywistości równy . ${\ Displaystyle \ q \ w M}$${\ Displaystyle \ M}$${\ Displaystyle \ q}$${\ Displaystyle \ M}$

Bibliografia

• Agrachev, Andrei A.; Sachkov, Jurij L. (2004). Teoria sterowania z geometrycznego punktu widzenia . Springer-Verlag . s. XIV+412. Numer ISBN 3-540-21019-9.
• Jurdjević, Velimir (1997). Teoria sterowania geometrycznego . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . s. xviii+492. Numer ISBN 0-521-49502-4.
• Sussmann, Héctor J.; Jurdjević, Velimir (1972). „Sterowalność układów nieliniowych” . J. Równania różniczkowe . 12 (1): 95-116. doi : 10.1016/0022-0396(72)90007-1 .
• Krener, Arthur J. (1974). „Uogólnienie twierdzenia Chowa i twierdzenia bang-bang do nieliniowych problemów sterowania”. SIAM J. Sterowanie Optim . 12 : 43–52. doi : 10.1137/0312005 .