Tłumienie Landaua - Landau damping

W fizyki , Landau tłumienia , nazwany odkrywcy, radziecki fizyka Lev Dawidowicz Landau (1908-68), to efekt tłumienia ( wykładniczy spadek jako funkcję czasu) w podłużnych fal ładunku przestrzennego w osoczu lub podobnego środowiska. Zjawisko to zapobiega rozwojowi niestabilności i tworzy obszar stabilności w przestrzeni parametrów . Później Donald Lynden-Bell argumentował, że podobne zjawisko występuje w dynamice galaktycznej, gdzie gaz elektronów oddziałujących siłami elektrostatycznymi jest zastępowany przez „gaz gwiazd” oddziałujący siłami grawitacyjnymi. Tłumienie Landaua można dokładnie manipulować w symulacjach numerycznych, takich jak symulacja cząstek w komórce . Zostało udowodnione eksperymentalnie przez Malmberga i Whartona w 1964 roku, prawie dwie dekady po jego przewidywaniu przez Landaua w 1946 roku.

Oddziaływania falowo-cząsteczkowe

Tłumienie Landaua występuje z powodu wymiany energii między falą elektromagnetyczną o prędkości fazowej a cząstkami w plazmie o prędkości w przybliżeniu równej , które mogą silnie oddziaływać z falą. Te cząstki o prędkościach nieco mniejszych niż będą przyspieszane przez pole elektryczne fali, aby poruszać się z prędkością fazy fali, podczas gdy cząstki o prędkościach nieco większych niż będą wyhamowywane, tracąc energię na fali: cząstki mają tendencję do synchronizowania się z falą. Udowodniono to eksperymentalnie z rurą o fali bieżącej . ${\displaystyle v_{\tekst{ph}}}$${\displaystyle v_{\tekst{ph}}}$${\displaystyle v_{\tekst{ph}}}$${\displaystyle v_{\tekst{ph}}}$

W idealnej plazmie magnetohydrodynamicznej (MHD) często przyjmuje się, że prędkości cząstek są w przybliżeniu funkcją rozkładu Maxwella . Jeżeli nachylenie funkcji jest ujemne, liczba cząstek o prędkościach nieco mniejszych od prędkości fazy falowej jest większa niż liczba cząstek o prędkościach nieco większych. Stąd więcej cząstek czerpie energię z fali niż traci na fali, co prowadzi do tłumienia fali. Jeżeli jednak nachylenie funkcji jest dodatnie, to liczba cząstek o prędkościach nieco mniejszych od prędkości fazy falowej jest mniejsza niż liczba cząstek o nieco większych prędkościach. Stąd jest więcej cząstek tracących energię na fali niż zyskujących na fali, co prowadzi do wypadkowego wzrostu energii fali.

Interpretacja fizyczna

Matematyczna teoria tłumienia Landaua jest nieco skomplikowana — patrz sekcja poniżej. Istnieje jednak prosta interpretacja fizyczna [przedstawiona w sekcji 7.5 z zastrzeżeniem], która, choć nie do końca poprawna, pomaga zobrazować to zjawisko.

Można sobie wyobrazić fale Langmuira jako fale na morzu, a cząstki jako surferów próbujących złapać falę, poruszających się w tym samym kierunku. Jeśli surfer porusza się po powierzchni wody z prędkością nieco mniejszą niż fala, w końcu zostanie złapany i popchnięty wzdłuż fali (zyska energię), podczas gdy surfer poruszający się nieco szybciej niż fala będzie pchał falę podczas ruchu pod górę (tracąc energię na fali).

Warto zauważyć, że tylko surferzy odgrywają ważną rolę w tych energetycznych interakcjach z falami; piłka plażowa unosząca się na wodzie (prędkość zerowa) będzie unosić się i opadać w miarę przechodzenia fali, nie zyskując w ogóle energii. Również łódź, która porusza się bardzo szybko (szybciej niż fale) nie wymienia dużej energii z falą.

Prosty mechaniczny opis dynamiki cząstek zapewnia ilościowe oszacowanie synchronizacji cząstek z falą [Równanie (1) z ]. Bardziej rygorystyczne podejście pokazuje, że najsilniejsza synchronizacja występuje dla cząstek, których prędkość w ramce falowej jest proporcjonalna do szybkości tłumienia i niezależna od amplitudy fali [sekcja 4.1.3 z ]. Ponieważ tłumienie Landaua występuje dla fal o dowolnie małych amplitudach, pokazuje to, że najbardziej aktywne cząstki w tym tłumieniu są dalekie od uwięzienia. Jest to naturalne, ponieważ wychwytywanie obejmuje rozbieżne skale czasowe dla takich fal (w szczególności dla amplitudy fali ). ${\ Displaystyle T_ {\ tekst {pułapka}} \ SIM A ^ {-1/2}}$${\ Displaystyle A}$

Fizyka teoretyczna: teoria zaburzeń w układzie własowskim

Teoretyczne traktowanie rozpoczyna się od równania Własowa w nierelatywistycznej granicy zerowego pola magnetycznego, układu równań Własowa-Poissona. Wyraźne rozwiązania uzyskuje się w granicach małego pola. Funkcja i pole rozkładu są rozwijane w serii: , a terminy równego rzędu są zbierane. ${\ Displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle f=f_{0}(v)+f_{1}(x,v,t)+\cdots}$${\ Displaystyle E = E_ {1} (x, t) + E_ {2} (x, t) + \ cdots }$

Aby najpierw odczytać równania Własowa-Poissona

${\ Displaystyle (\ częściowy _ {t} + v \ częściowy _ {x}) f_ {1} + {e \ nad m} E_ {1} f'_ {0} = 0, \ quad \ częściowy _ {x }E_{1}={e \over \epsilon _{0}}\int f_{1}\mathrm {d} v}$.

Landau obliczył falę wywołaną przez początkowe zakłócenie i za pomocą transformaty Laplace'a i integracji konturu znalazł tłumioną falę biegnącą postaci z liczbą falową i dekrementem tłumienia ${\displaystyle f_{1}(x,v,0)=g(v)\exp(ikx)}$${\ Displaystyle \ exp [ik (x-v_ {\ tekst {ph}} t) - \ gamma t]}$ ${\displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ gamma \ około - {\ pi \ omega _ {p} ^ {3} \ ponad 2k ^ {2} N} f'_ {0} (v_ {\ tekst {f}}), \ quad N =\int f_{0}\mathrm {d} v}$.

Tutaj jest oscylacja osoczu częstość i gęstość elektronów. Później Nico van Kampen udowodnił, że ten sam wynik można uzyskać stosując transformatę Fouriera . Wykazał, że linearyzowane równania Własowa-Poissona mają ciągłe spektrum osobliwych modów normalnych, obecnie znanych jako tryby van Kampena${\ Displaystyle \ omega _ {p}}$${\ Displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {\omega_{p}^{2}}{kN}}f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{kv-\omega}}+\epsilon \delta \left(v-{\frac {\omega }{k}}\right)}$

w którym oznacza wartość główną, jest funkcją delta (patrz funkcja uogólniona ) i ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ epsilon =1+ {\ Frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {kN}} \ int f ' {0}{\ Frac {\ mathcal {P}} {\ omega -kv }}\mathrm {d} w}$

jest przenikalność plazmy. Rozkładając początkowe zaburzenie w tych modach uzyskał widmo Fouriera powstałej fali. Tłumienie tłumaczy się mieszaniem faz tych modów Fouriera z nieco różnymi częstotliwościami w pobliżu . ${\ Displaystyle \ omega _ {p}}$

Nie było jasne, w jaki sposób może wystąpić tłumienie w bezzderzeniowej plazmie: dokąd zmierza energia fal? W teorii płynów, w której plazma jest modelowana jako dyspersyjny ośrodek dielektryczny, znana jest energia fal Langmuira: energia pola pomnożona przez współczynnik Brillouina . Ale w tym modelu nie można wyprowadzić tłumienia. Aby obliczyć wymianę energii fali z elektronami rezonansowymi, teoria plazmy Własowa musi zostać rozszerzona do drugiego rzędu i pojawiają się problemy dotyczące odpowiednich warunków początkowych i terminów świeckich. ${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ omega} (\ omega \ epsilon)}$

W ref. te problemy są badane. Ponieważ obliczenia dla fali nieskończonej są niewystarczające w drugim rzędzie, analizowany jest pakiet fal . Znaleziono warunki początkowe drugiego rzędu, które tłumią zachowania sekularne i pobudzają pakiet fal, którego energia jest zgodna z teorią płynów. Rysunek przedstawia gęstość energii paczki falowej poruszającej się z prędkością grupową , której energia jest odprowadzana przez elektrony poruszające się z prędkością fazową. Całkowita energia, obszar pod krzywymi, jest zachowana.

Teoria matematyczna: problem Cauchy'ego dla rozwiązań perturbacyjnych

Rygorystyczna teoria matematyczna opiera się na rozwiązaniu problemu Cauchy'ego dla równania ewolucji (tutaj równanie różniczkowe cząstkowe Własowa-Poissona) i udowodnieniu szacunków rozwiązania.

Najpierw od Landaua rozwinięto dość kompletną linearyzowaną teorię matematyczną.

Wyjście poza zlinearyzowane równanie i radzenie sobie z nieliniowością jest od dawna problemem matematycznej teorii tłumienia Landaua. Wcześniej jednym z wyników matematycznych na poziomie nieliniowym było istnienie w okręgu klasy wykładniczo tłumionych rozwiązań równania Własowa–Poissona, co zostało udowodnione za pomocą techniki rozpraszania (wynik ten został ostatnio rozszerzony). Jednak te wyniki istnienia nie mówią nic o tym, jakie dane wyjściowe mogłyby prowadzić do takich stłumionych rozwiązań.

W niedawnym artykule rozwiązano problem z danymi początkowymi i po raz pierwszy ustalono matematycznie tłumienie Landaua dla nieliniowego równania Własowa. Udowodniono, że rozwiązania zaczynające się w pewnym sąsiedztwie (dla topologii analitycznej lub Gevreya) liniowo stabilnego jednorodnego rozwiązania stacjonarnego są (orbitalnie) stabilne przez cały czas i są tłumione globalnie w czasie. Zjawisko tłumienia zreinterpretowano w warunkach przeniesienia prawidłowość jako funkcji i , odpowiednio, zamiast wymiany energii. Zmiany o dużej skali przechodzą w zmiany o coraz mniejszej skali w przestrzeni prędkości, odpowiadające przesunięciu widma Fouriera w funkcji . To przesunięcie, dobrze znane w teorii liniowej, sprawdza się w przypadku nieliniowym. ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v}$

Fizyka teoretyczna: teoria zaburzeń w układzie N-ciał

Wyrażenie przenikalności plazmy analogiczne do powyższego, ale odpowiadające transformacji Laplace'a stosowanej przez Landaua, można uzyskać po prostu w ramce N-ciałowej. Rozważa się (jednoskładnikową) plazmę, w której tylko elektrony są obecne jako cząstki, a jony zapewniają tylko jednolite neutralizujące tło. Zasadę obliczeń zapewnia uwzględnienie fikcyjnego linearyzowanego ruchu pojedynczej cząstki w pojedynczej składowej Fouriera jej własnego pola elektrycznego. Pełne obliczenie sprowadza się do zsumowania odpowiedniego wyniku dla wszystkich cząstek i wszystkich składowych Fouriera. Ekspresja Własowa dla przenikalności plazmy jest ostatecznie odzyskiwana przez podstawienie całki po funkcji gładkiego rozkładu dla dyskretnej sumy po cząstkach w przenikalności plazmy N-ciał. Wraz z tłumieniem Landau, to mechaniczne podejście zapewnia również obliczenie ekranowania Debye'a lub ekranowania pola elektrycznego w plazmie. ${\ Displaystyle N}$

Zobacz też

• Lista artykułów dotyczących plazmy (fizyki)

Uwagi i referencje