Przekształcenie Laplace'a - Laplace transform

W matematyce The Laplace'a , nazwany wynalazcy Pierre Simon Laplace'a ( / L ə P l ɑː e / ), jest integralną przekształcenia , która przekształca funkcję zmiennej rzeczywistej (często czas ) do pełnienia funkcji zmiennej zespolonej ( częstotliwość zespolona ). Transformacja ma wiele zastosowań w nauce i technice, ponieważ jest narzędziem do rozwiązywania równań różniczkowych . W szczególności przekształca liniowe równania różniczkowe w równania algebraiczne, a splot w mnożenie. $t$ $s$

Dla odpowiednich funkcji f transformata Laplace'a jest całką

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-st} \ dt.}

Historia

Transformata Laplace'a została nazwana na cześć matematyka i astronoma Pierre-Simona Laplace'a , który użył podobnej transformacji w swojej pracy nad teorią prawdopodobieństwa. Laplace obszernie pisał o wykorzystaniu funkcji generujących w Essai philosophique sur les probabilités (1814), a integralna forma transformacji Laplace'a ewoluowała naturalnie w rezultacie.

Użycie funkcji generowania przez Laplace'a było podobne do tego, co jest obecnie znane jako transformacja z i poświęcił niewiele uwagi przypadkowi zmiennej ciągłej, który został omówiony przez Nielsa Henrika Abla . Teoria ta została dalej rozwinięta w XIX i na początku XX wieku przez Mathiasa Lercha , Olivera Heaviside'a i Thomasa Bromwicha .

Obecne szerokie zastosowanie transformacji (głównie w inżynierii) nastąpiło podczas i wkrótce po II wojnie światowej, zastępując wcześniejszy rachunek operacyjny Heaviside'a. Zalety transformacji Laplace'a podkreślał Gustav Doetsch , któremu najwyraźniej należy się nazwa Transformata Laplace'a.

Od 1744 Leonhard Euler badał całki postaci

{\ Displaystyle Z = \ int X (x) e ^ {ax} \ dx \ quad {\ tekst { i}} \ quad z = \ int X (x) x ^ {A} \ dx}

jako rozwiązania równań różniczkowych, ale nie zajmował się tą sprawą zbyt daleko. Joseph Louis Lagrange był wielbicielem Eulera i w swojej pracy nad całkowaniem funkcji gęstości prawdopodobieństwa badał wyrażenia formy

{\ Displaystyle \ int X (x) e ^ {-ax} a ^ {x} \ dx}

które niektórzy współcześni historycy zinterpretowali we współczesnej teorii transformacji Laplace'a.

Wydaje się, że tego typu całki po raz pierwszy przyciągnęły uwagę Laplace'a w 1782 r., kiedy podążał on w duchu Eulera, używając samych całek jako rozwiązań równań. Jednak w 1785 roku Laplace zrobił decydujący krok naprzód, kiedy zamiast po prostu szukać rozwiązania w postaci całki, zaczął stosować transformacje w sensie, który później stał się popularny. Użył całki formy

{\ Displaystyle \ int x ^ {s} \ varphi (x) \ dx}

podobne do transformacji Mellina , aby przekształcić całe równanie różnicowe , w celu znalezienia rozwiązań przekształconego równania. Następnie zastosował transformację Laplace'a w ten sam sposób i zaczął czerpać niektóre z jej właściwości, zaczynając doceniać jej potencjalną moc.

Laplace uznał również, że metoda szeregu Fouriera stosowana przez Josepha Fouriera do rozwiązywania równania dyfuzji może mieć zastosowanie tylko do ograniczonego obszaru przestrzeni, ponieważ rozwiązania te były okresowe . W 1809 roku Laplace zastosował swoją transformację, aby znaleźć rozwiązania, które rozprzestrzeniały się w nieskończoność w przestrzeni.

Formalna definicja

Transformata Laplace'a funkcji $f (t)$ , zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych $t \geq 0$ , jest funkcją $F (s)$ , która jest transformacją jednostronną określoną przez

{\ Displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-st} \ dt}

( Równanie 1 )

gdzie s jest parametrem częstości liczby zespolonej

s=\sigma +i\omega,

z liczbami rzeczywistymi

σ

i

ω

.

Alternatywną notacją dla przekształcenia Laplace'a jest ${\mathcal {L}}\{f\}$ zamiast $F$ .

Znaczenie całki zależy od typów interesujących nas funkcji. Warunkiem koniecznym istnienia całki jest to, że $f$ musi być lokalnie całkowalna na $[0, \infty)$ . W przypadku funkcji całkowalnych lokalnie, które zanikają w nieskończoności lub są typu wykładniczego , całka może być rozumiana jako (właściwa) całka Lebesgue'a . Jednak dla wielu zastosowań jest to niezbędne do uznania go jako warunkowo zbieżnym całka niewłaściwa na $\infty$ . Jeszcze bardziej ogólnie, całka może być rozumiana w słabym sensie i jest to omówione poniżej.

Można zdefiniować transformatę Laplace'a skończonej miary borelowskiej $μ$ całką Lebesgue'a

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ mu \} (s) = \ int _ {[0, \ infty}} e ^ {-st} \ d \ mu (t).}

Ważnym szczególnym przypadkiem jest sytuacja, w której $μ$ jest miarą prawdopodobieństwa , na przykład funkcją delta Diraca . W rachunku operacyjnym transformata Laplace'a miary jest często traktowana tak, jakby miara pochodziła z funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f$ . W takim przypadku, aby uniknąć potencjalnego zamieszania, często pisze się

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-st} \ dt}

gdzie dolna granica

0 -

jest notacją skróconą dla

{\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0 ^ {+}} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.}

Ten limit podkreśla, że każda masa punktowa znajdująca się w punkcie $0$ jest całkowicie uchwycona przez transformatę Laplace'a. Chociaż w przypadku całki Lebesgue'a nie jest konieczne przyjmowanie takiej granicy, pojawia się ona bardziej naturalnie w połączeniu z transformacją Laplace'a-Stieltjesa .

Dwustronna transformata Laplace'a

Kiedy mówi się "transformacja Laplace'a" bez określenia, zwykle zamierzona jest transformacja jednostronna lub jednostronna. Transformację Laplace'a można alternatywnie zdefiniować jako dwustronną transformację Laplace'a lub dwustronną transformację Laplace'a , rozszerzając granice integracji na całą oś rzeczywistą. Jeśli tak się stanie, wspólna jednostronna transformacja staje się po prostu szczególnym przypadkiem dwustronnej transformacji, w której definicja przekształcanej funkcji jest mnożona przez funkcję kroku Heaviside'a .

Dwustronna transformata Laplace'a $F (s)$ jest zdefiniowana w następujący sposób:

{\ Displaystyle F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-st} f (t) \ dt}

( Równanie 2 )

Alternatywną notacją dla dwustronnej transformacji Laplace'a jest , zamiast . ${\mathcal {B}}\{f\}$ ${\ Displaystyle F}$

Odwrotna transformata Laplace'a

Dwie funkcje całkowalne mają tę samą transformatę Laplace'a tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue'a zero. Oznacza to, że w zakresie transformacji istnieje transformacja odwrotna. W rzeczywistości, oprócz funkcji całkowalnych, transformata Laplace'a jest mapowaniem jeden do jednego z jednej przestrzeni funkcyjnej na inną w wielu innych przestrzeniach funkcyjnych, chociaż zwykle nie ma łatwej charakterystyki zakresu.

Typowe przestrzenie funkcyjne, w których jest to prawdą, obejmują przestrzenie ograniczonych funkcji ciągłych, przestrzeń $L \infty (0, \infty)$ lub ogólniej rozkłady temperowane na $(0, \infty)$ . Transformata Laplace'a jest również zdefiniowana i iniektywna dla odpowiednich przestrzeni rozkładów temperowanych .

W tych przypadkach obraz Laplace'a przekształca życie w przestrzeni funkcji analitycznych w rejonie konwergencji . Odwrotna transformata Laplace'a jest określona następującym złożonej całki, który jest znany pod różnymi nazwami, (The integralnych Bromwich The integralnych Fouriera Mellin , a odwrotna wzorze Mellin w )

{\ Displaystyle f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {F \} (t) = {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ Lim _ {T \ do \ infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}

( Równanie 3 )

gdzie $γ$ jest liczbą rzeczywistą , tak że konturowa ścieżka całkowania znajduje się w obszarze zbieżności $F (s)$ . W większości zastosowań kontur można zamknąć, co pozwala na użycie twierdzenia o pozostałościach . Alternatywną formułę dla odwrotnej transformacji Laplace'a podaje formuła inwersji Posta . Ograniczenie tutaj jest interpretowane w topologii słabej-* .

W praktyce zwykle wygodniej jest rozłożyć transformatę Laplace'a na znane transformaty funkcji uzyskanych z tabeli i skonstruować odwrotność przez inspekcję.

Teoria prawdopodobieństwa

W czystym i stosowanym prawdopodobieństwie transformację Laplace'a definiuje się jako wartość oczekiwaną . Jeśli $X$ jest zmienną losową z funkcją gęstości prawdopodobieństwa $f$ , to transformata Laplace'a $f$ jest dana przez oczekiwanie

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ nazwa operatora {E} \! \ lewo [e ^ {-sX} \ prawo] \!.}

Przez konwencję , to jest określane jako transformata Laplace'a zmiennej losowej $X$ samego. Tutaj, zastępując $S$ o $- t$ daje funkcja tworząca momenty z $X$ . Transformata Laplace'a ma zastosowania całej teorii prawdopodobieństwa, w tym pierwszych czasach przelotowych z procesów stochastycznych , takich jak łańcuchy Markowa i teoria odnowy .

Szczególnie przydatna jest możliwość odzyskania funkcji rozkładu skumulowanego ciągłej zmiennej losowej $X$ za pomocą transformacji Laplace'a w następujący sposób:

{\ Displaystyle F_ {X} (x) = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \! \ lewo \ {{\ Frac {1} {s}} \ operatorname {E} \ lewo [e ^ { -sX}\right]\right\}\!(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L} }\{f\}(s)\prawo\}\!(x).}

Region zbieżności

Jeśli $f$ jest na miejscu zabudowy funkcja (lub, bardziej ogólnie, do oceny Borel lokalnie o wahaniu), a transformata Laplace'a $F (S)$ o $f$ zbieżny pod warunkiem, że na granicy

{\ Displaystyle \ lim _ {R \ do \ infty} \ int _ {0} ^ {R} f (t) e ^ {-st} \ dt}

istnieje.

Przekształcenie Laplace'a jest zbieżne bezwzględnie, jeśli całka

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lewo | f (t) e ^ {-st} \ prawo | \ dt}

istnieje jako właściwa całka Lebesgue'a. Przekształcenie Laplace'a jest zwykle rozumiane jako warunkowo zbieżne , co oznacza, że jest zbieżne w pierwszym, ale nie w drugim sensie.

Zbiór wartości, dla których $F (s) jest$ zbieżny bezwzględnie, ma postać $Re(s) > a$ lub $Re(s) \geq a$ , gdzie $a$ jest rozszerzoną stałą rzeczywistą z $-\infty \leq a \leq \infty$ (konsekwencja zdominowane twierdzenie o zbieżności ). Stała $a$ jest znana jako odcięta zbieżności absolutnej i zależy od zachowania wzrostu $f (t)$ . Analogicznie, transformata dwustronna zbiega się bezwzględnie w pasku postaci $a < Re(s) < b$ i ewentualnie obejmującą linie $Re(s) = a$ lub $Re(s) = b$ . Podzbiór wartości $s,$ dla których transformata Laplace'a jest zbieżna bezwzględnie, nazywa się obszarem zbieżności absolutnej lub obszarem zbieżności absolutnej. W przypadku dwustronnym bywa nazywany paskiem zbieżności absolutnej. Transformata Laplace'a jest analityczna w regionie konwergencji absolutnej: jest to konsekwencją twierdzenie fubiniego i twierdzenie morery .

Podobnie zbiór wartości, dla których $F (s) jest$ zbieżny (warunkowo lub bezwzględnie) jest znany jako region zbieżności warunkowej lub po prostu region zbieżności (ROC). Jeśli transformacja Laplace'a zbiega się (warunkowo) w $s = s 0$ , to automatycznie zbiega się dla wszystkich $s$ z $Re(s) > Re(s 0)$ . W związku z tym obszar zbieżności jest półpłaszczyzną postaci $Re(s) > a$ , być może obejmującą niektóre punkty linii granicznej $Re(s) = a$ .

W obszarze zbieżności $Re(s) > Re (s 0)$ transformatę Laplace'a $f$ można wyrazić przez całkowanie przez części jako całkę

{\ Displaystyle F (s) = (s-s_ {0}) \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (s-s_ {0}) t} \ beta (t) \ dt, \quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}

Oznacza to, że $F (s)$ można skutecznie wyrazić, w obszarze zbieżności, jako absolutnie zbieżną transformatę Laplace'a jakiejś innej funkcji. W szczególności ma charakter analityczny.

Istnieje kilka twierdzeń Paleya-Wienera dotyczących związku między właściwościami rozpadu $f$ , a właściwościami transformaty Laplace'a w obszarze zbieżności.

W zastosowaniach inżynierskich funkcja odpowiadająca systemowi liniowemu niezmiennemu w czasie (LTI) jest stabilna, jeśli każde ograniczone wejście daje ograniczone wyjście. Odpowiada to bezwzględnej zbieżności transformaty Laplace'a funkcji odpowiedzi impulsowej w obszarze $Re(s) \geq 0$ . W efekcie układy LTI są stabilne pod warunkiem, że bieguny transformaty Laplace'a funkcji odpowiedzi impulsowej mają ujemną część rzeczywistą.

Ten ROC służy do poznania przyczynowości i stabilności systemu.

Własności i twierdzenia

Transformacja Laplace'a ma wiele właściwości, które czynią ją użyteczną do analizy liniowych układów dynamicznych . Najważniejszą zaletą jest to, że różnicowanie staje się mnożeniem, a całkowanie dzieleniem przez $s$ (przypominając sposób, w jaki logarytmy zmieniają mnożenie na dodawanie logarytmów).

Ze względu na tę właściwość zmienna Laplace'a $s$ jest również znana jako zmienna operatora w domenie $L$ : operator pochodnej lub (dla $s -1)$ operator całkowania . Transformacji zamienia równań i równań różniczkowych do równań wielomianowych , które są znacznie łatwiejsze do rozwiązania. Po rozwiązaniu, użycie odwrotnej transformacji Laplace'a przywraca pierwotną domenę.

Biorąc pod uwagę funkcje $f (t)$ i $g (t)$ oraz odpowiadające im transformaty Laplace'a $F (s)$ i $G (s)$ ,

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f (t) i = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {F \} (s), \ \ g (t) i = {\ mathcal {l} }^{-1}\{G\}(s),\end{wyrównany}}}

poniższa tabela zawiera listę właściwości jednostronnej transformacji Laplace'a:

Własności jednostronnej transformacji Laplace'a
Nieruchomość	Domena czasu	$s$ domena	Komentarz
Liniowość	${\ Displaystyle af (t) + bg (t) \ }$	${\ Displaystyle aF (s) + bG (s) \ }$	Można udowodnić za pomocą podstawowych zasad całkowania.
Pochodna w dziedzinie częstotliwości	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	$F'$ jest pierwszą pochodną $F$ po $s$ .
Ogólna pochodna w dziedzinie częstotliwości	${\ Displaystyle t ^ {n} f (t) \}$	${\ Displaystyle (-1) ^ {n} F ^ {(n)} (s) \}$	Bardziej ogólna forma, $n-$ ta pochodna $F (s)$ .
Pochodna	$f'(t)\$	${\ Displaystyle SF (s)-f (0 ^ {-}) \ }$	Zakłada się, że $f$ jest funkcją różniczkowalną , a jej pochodna jest typu wykładniczego. Można to następnie uzyskać przez całkowanie przez części
Druga pochodna	$f''(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	Zakłada się, że $f$ jest podwójnie różniczkowalna, a druga pochodna jest typu wykładniczego. Następuje przez zastosowanie właściwości Różnicowanie do $f'(t)$ .
Pochodna ogólna	${\ Displaystyle f ^ {(n)} (t) \ }$	${\ Displaystyle s ^ {n} F (s) - \ suma _ {k = 1} ^ {n} s ^ {nk} f ^ {(k-1)} (0 ^ {-}) \}$	Zakłada się, że $f$ jest $n$ -krotnie różniczkowalna, z $n-$ tą pochodną typu wykładniczego. Następuje indukcja matematyczna .
Integracja w dziedzinie częstotliwości	${\frac {1}{t}}f(t)\$	${\ Displaystyle \ int _ {s} ^ {\ infty} F (\ sigma) \ d \ sigma \}$	Wynika to z natury różnicowania częstotliwości i zbieżności warunkowej.
Integracja w dziedzinie czasu	${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \ d \ tau = (u * f) (t)}$	${\ Displaystyle {1 \ przez s} F (s)}$	$U (t)$ jest funkcją skoku Heaviside i $(U * m) (t)$ jest splatanie z $U (t)$ i $f (t)$ .
Przesunięcie częstotliwości	${\ Displaystyle e ^ {w} f (t) \}$	$F(sa)\$
Przesunięcie czasu	$f(ta)u(ta)\$	${\ Displaystyle e ^ {-jako} F (s) \ }$	$a>0\$ , $u (t)$ jest funkcją kroku Heaviside'a
Skalowanie czasu	$f(at)$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {a}} F \ lewo ({s \ nad a} \ po prawej)}$	$a>0\$
Mnożenie	${\ Displaystyle f (t) g (t)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ do \ infty} \ int _ {c-iT} ^ {c + iT} F (\ sigma) G (s-\ sigma )\,d\sigma \ }$	Całkowanie odbywa się wzdłuż linii pionowej Re( σ ) = c , która leży całkowicie w obszarze zbieżności $F$ .
Skręt	${\ Displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t - \ tau) \ d \ tau}$	${\ Displaystyle F (s) \ cdot G (s) \ }$
Złożona koniugacja	${\ Displaystyle f ^ {*} (t)}$	${\ Displaystyle F ^ {} (s ^ {})}$
Korelacja krzyżowa	$f(t)\gwiazda g(t)$	${\ Displaystyle F ^ {} (-s ^ {}) \ cdot G (s)}$
Funkcja okresowa	$f(t)$	${\ Displaystyle {1 \ ponad 1-e ^ {-Ts}} \ int _ {0} ^ {T} e ^ {-st} f (t) \ dt}$	$f (t)$ jest funkcją okresową okresu $T$ tak , że $f (t) = f (t + T)$ , dla wszystkich $t \geq 0$ . Jest to wynik właściwości przesunięcia w czasie i szeregu geometrycznego .

Twierdzenie o wartości początkowej: ${\ Displaystyle f (0 ^ {+}) = \ lim _ {s \ do \ infty} {SF (s)}.}$
Twierdzenie o wartości końcowej: ${\ Displaystyle f (\ infty) = \ lim _ {s \ do 0} {sF (s)}}$ Jeśli wszystkie słupy z są w lewej półpłaszczyźnie. $SF(s)$; Twierdzenie o wartości końcowej jest przydatne, ponieważ daje długoterminowe zachowanie bez konieczności wykonywania rozkładu na częściowe ułamki (lub innej trudnej algebry). Jeśli $F (s)$ ma biegun w płaszczyźnie prawej lub bieguny na urojonej osi (np. if lub ), to zachowanie tego wzoru jest niezdefiniowane. ${\ Displaystyle f (t) = e ^ {t}}$ ${\ Displaystyle f (t) = \ grzech (t)}$

Związek z szeregiem potęgowym

Transformację Laplace'a można postrzegać jako ciągły analog szeregu potęgowego . Jeżeli $a (n)$ jest funkcją dyskretną dodatniej liczby całkowitej $n$ , to szereg potęgowy związany z $a (n)$ jest szeregiem

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a (n) x ^ {n}}

gdzie

x

jest zmienną rzeczywistą (patrz transformacja Z ). Zastępując sumowanie po

n

całkowaniem po

t

, ciągła wersja szeregu potęgowego staje się

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) x ^ {t} \ dt}

gdzie funkcję dyskretną

a (n)

zastępuje się funkcją ciągłą

f (t)

.

Zmiana podstawy potęgi z $x$ na $e$ daje

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ lewo (e ^ {\ ln {x}} \ prawej) ^ {t} \ dt}

Aby to było zbieżne dla, powiedzmy, wszystkich funkcji ograniczonych $f$ , konieczne jest wymaganie, aby $ln x < 0$ . Dokonanie podstawienia $- s = ln x$ daje tylko transformatę Laplace'a:

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-st} \ dt}

Innymi słowy, transformata Laplace'a jest ciągłym analogiem szeregu potęgowego, w którym dyskretny parametr $n$ jest zastępowany parametrem ciągłym $t$ , a $x$ jest zastępowane przez $e - s$ .

Stosunek do momentów

Ilości

{\ Displaystyle \ mu _ {n} = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {n} f (t) \ dt}

są momentami funkcji $f$ . Jeżeli pierwsze $n$ momentów $f jest$ zbieżne bezwzględnie, to przez wielokrotne różniczkowanie pod całką ,

{\ Displaystyle (-1) ^ {n} ({\ mathcal {L}} f) ^ {(n)} (0) = \ mu _ {n}.}

Ma to szczególne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa, gdzie momenty zmiennej losowej

X

są podane przez wartości oczekiwane . Wtedy relacja utrzymuje się

{\ Displaystyle \ mu _ {n} = \ nazwa operatora {E} [X ^ {n}]}

{\ Displaystyle \ mu _ {n} = (-1) ^ {n} \ Frac {d ^ {n}} {ds ^ {n}}} \ operatorname {E} \ lewo [e ^ {-sX} \prawo](0).}

Obliczanie transformaty Laplace'a pochodnej funkcji

Często wygodnie jest użyć właściwości różniczkowania transformaty Laplace'a, aby znaleźć transformatę pochodnej funkcji. Można to wyprowadzić z podstawowego wyrażenia dla przekształcenia Laplace'a w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {L}} \ lewo \ {f (t) \ prawo \} & = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {-st }f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^ {\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{ (częściami)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{ \mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}

wydajność

{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '(t) \} = s \ cdot {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} -f (0 ^ {-})}

a w przypadku dwustronnym,

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f '(t) \} = s \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-st} f (t) \ dt = s \ cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}

Ogólny wynik

{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {f ^ {(n)} (t) \ prawej \} = s ^ {n} \ cdot {\ mathcal {l}} \ {f (t) \ }-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}

gdzie oznacza $n-$ ^tą pochodną $f$ , można następnie ustalić za pomocą argumentu indukcyjnego. ${\ Displaystyle f ^ {(n)}}$

Obliczanie całek po dodatniej osi rzeczywistej

Przydatna właściwość przekształcenia Laplace'a jest następująca:

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) g (x) \ dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} ({\ mathcal {L}} f) (s) \cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}

przy odpowiednich założeniach na zachowanie się w prawym sąsiedztwie i na szybkość zaniku w lewym sąsiedztwie . Powyższy wzór jest odmianą całkowania przez części, z operatorami i zastąpionymi przez i . Udowodnijmy równoważne sformułowanie: $f,g$ ${\ Displaystyle 0}$ $f,g$ $\infty$ ${\frac {d}{dx}}$ $\int \dx$ ${\mathcal {L}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {-1}}$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} ({\ mathcal {L}} f) (x) g (x) \ dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (s) ({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}

Podłączając lewą stronę zamienia się w: ${\ Displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (s) e ^ {-sx} \ ds}$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (s) g (x) e ^ {-sx} \ ds \ dx}

ale zakładając, że twierdzenie Fubiniego jest prawdziwe, odwracając kolejność całkowania otrzymujemy pożądaną prawą stronę.

Ta metoda może być używana do obliczania całek, które w innym przypadku byłyby trudne do obliczenia przy użyciu elementarnych metod rachunku rzeczywistego. Na przykład,

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin x} {x}} dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathcal {L}} (1) ( x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin t)(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\ frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}

Związek z innymi przekształceniami

Przekształcenie Laplace'a-Stieltjesa

(Jednostronna) transformata Laplace'a-Stieltjesa funkcji $g : R \to R$ jest określona przez całkę Lebesgue'a-Stieltjesa

{\ Displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \ DG (t).}

Zakłada się, że funkcja $g$ ma ograniczoną zmienność . Jeśli $g$ jest pierwotna z $f$ :

{\ Displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \ dt}

następnie transformata Laplace'a-Stieltjesa $g$ i transformata Laplace'a $f$ pokrywają się. Ogólnie rzecz biorąc, transformacja Laplace'a-Stieltjesa jest transformacją Laplace'a środka Stieltjes związanego z $g$ . Tak więc w praktyce jedyną różnicą między tymi dwiema transformacjami jest to, że transformata Laplace'a jest uważana za działającą na funkcji gęstości miary, podczas gdy transformata Laplace'a-Stieltjesa jest uważana za działającą na swojej skumulowanej funkcji dystrybucji .

Transformata Fouriera

Transformacja Laplace'a jest podobna do transformacji Fouriera . Podczas gdy transformata Fouriera funkcji jest funkcją złożoną zmiennej rzeczywistej (częstotliwości), transformata Laplace'a funkcji jest funkcją złożoną zmiennej złożonej . Transformacja Laplace'a jest zwykle ograniczona do przekształcenia funkcji $t$ z $t \geq 0$ . Konsekwencją tego ograniczenia jest to, że transformata Laplace'a funkcji jest holomorficzną funkcją zmiennej $s$ . W przeciwieństwie do transformacji Fouriera, transformata Laplace'a rozkładu jest ogólnie dobrze zachowaną funkcją. Techniki zmiennych złożonych można również wykorzystać do bezpośredniego badania przekształceń Laplace'a. Jako funkcja holomorficzna transformata Laplace'a ma reprezentację szeregu potęgowego . Ten szereg potęgowy wyraża funkcję jako liniową superpozycję momentów funkcji. Ta perspektywa ma zastosowanie w teorii prawdopodobieństwa. Ciągła transformata Fouriera jest równoważna ocenie dwustronnej transformacji Laplace'a z wyimaginowanym argumentem $s = iω$ lub $s = 2 πfi,$ gdy spełniony jest warunek wyjaśniony poniżej,

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ widehat {f}} (\ omega) i = {\ mathcal {f}} \ {f (t) \} \ \ [4 pkt] i = {\ mathcal {l} }\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\ infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{wyrównany}}}

Ta definicja transformaty Fouriera wymaga prefaktora $1/(2 π)$ w odwrotnej transformacji Fouriera. Związek między transformat Fouriera, Laplace'a, a często jest stosowany w celu określenia pasma częstotliwości o sygnał lub układu dynamicznego.

Powyższa relacja jest ważna, jak stwierdzono wtedy i tylko wtedy, gdy obszar zbieżności (ROC) $F (s)$ zawiera oś urojoną, $σ = 0$ .

Na przykład funkcja $f (t) = cos (ω 0 t)$ ma transformację Laplace'a $F (s) = s / (s 2 + ω 02),$ której ROC wynosi $Re(s) > 0$ . Ponieważ $s = iω$ jest biegunem $F (s)$ , zastąpienie $s = iω$ w $F (s)$ nie daje transformaty Fouriera $f (t) u (t)$ , która jest proporcjonalna do funkcji delta Diraca $δ (ω - ω 0)$ .

Jednak relacja formy

{\ Displaystyle \ lim _ {\ sigma \ do 0 ^ {+}} F (\ sigma + i \ omega) = {\ widehat {f}} (\ omega)}

trzyma się w znacznie słabszych warunkach. Na przykład dotyczy to powyższego przykładu pod warunkiem, że granica jest rozumiana jako słaba granica miar (patrz niejasna topologia ). Ogólne warunki dotyczące granicy transformaty Laplace'a funkcji na granicy z transformatą Fouriera przyjmują postać twierdzeń Paleya-Wienera .

Transformacja Mellina

Transformacja Mellina i jej odwrotność są powiązane z dwustronną transformacją Laplace'a poprzez prostą zmianę zmiennych.

Jeśli w transformacji Mellina

{\ Displaystyle G (s) = {\ mathcal {M}} \ {g (\ theta) \} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ theta ^ {s} g (\ theta) \ { \frac {d\theta }{\theta }}}

ustalamy

θ = e - t

otrzymujemy dwustronną transformatę Laplace'a.

Transformacja Z

Jednostronna lub jednostronna transformacja Z jest po prostu transformacją Laplace'a idealnie próbkowanego sygnału z podstawieniem

{\ Displaystyle Z {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} e ^ {sT},}

gdzie

T = 1/ f s

jest okresem próbkowania (w jednostkach czasu, np. sekundach), a

f s

jest częstotliwością próbkowania (w próbkach na sekundę lub w hercach ).

Pozwolić

{\ Displaystyle \ Delta _ {T} (t) \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta (t-nT)}

być próbnym ciągiem impulsów (zwanym również grzebieniem Diraca ) i

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x_ {q} (t) i {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} x (t) \ Delta _ {T} (t) = x (t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT )=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{wyrównany}}}

być próbkowaną reprezentacją czasu ciągłego

x (t)

{\ Displaystyle x [n] {\ stackrel {\ operatorname {def}} {{} = {}}} x (nT) ~.}

Transformata Laplace'a próbkowanego sygnału $x q (t)$ to

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} X_ {q} (s) i = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} x_ {q} (t) e ^ {-st} \, dt \ \&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\, dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st} \,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}

Jest to dokładna definicja jednostronnego przekształcenia Z funkcji dyskretnej $x [n]$

{\ Displaystyle X (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {-n}}

z podstawieniem

z \to e st

.

Porównując dwa ostatnie równania, znajdujemy zależność między jednostronną transformacją Z a transformatą Laplace'a próbkowanego sygnału,

{\ Displaystyle X_ {q} (s) = X (z) {\ Big |} _ {z = e ^ {sT}}.}

Podobieństwo między transformatami $Z$ i Laplace'a jest rozwinięte w teorii rachunku skali czasu .

Transformata borelowska

Integralna forma przekształcenia borelowskiego

{\ Displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (z) e ^ {-sz} \ dz}

jest szczególnym przypadkiem przekształcenia Laplace'a do $f$ w całej funkcji wykładniczej typu, co oznacza, że

{\ Displaystyle | f (z) | \ leq Ae ^ {B | z |}}

dla niektórych stałych $A$ i $B$ . Uogólniona transformacja borelowska umożliwia użycie innej funkcji ważenia, a nie funkcji wykładniczej, do przekształcania funkcji niebędących typu wykładniczego. Twierdzenie Nachbina daje konieczne i wystarczające warunki, aby transformacja borelowska była dobrze zdefiniowana.

Podstawowe relacje

Ponieważ zwykłą transformatę Laplace'a można zapisać jako szczególny przypadek transformacji dwustronnej, a transformację dwustronną można zapisać jako sumę dwóch transformacji jednostronnych, teoria Laplace'a, Fouriera, Mellina - i transformaty Z są na dole tym samym tematem. Jednak z każdą z tych czterech głównych transformacji całkowych wiąże się inny punkt widzenia i różne charakterystyczne problemy.

Tabela wybranych przekształceń Laplace'a

Poniższa tabela zawiera przekształcenia Laplace'a dla wielu typowych funkcji jednej zmiennej. Definicje i wyjaśnienia znajdują się w Objaśnieniach na końcu tabeli.

Ponieważ transformata Laplace'a jest operatorem liniowym,

Przekształcenie Laplace'a sumy jest sumą przekształceń Laplace'a każdego terminu. ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f (t) + g (t) \} = {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} + {\ mathcal {l}} \ {g (T)\}}$

Transformacja Laplace'a wielokrotności funkcji to wielokrotność transformacji Laplace'a tej funkcji. ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {af (t) \} = a {\ mathcal {l}} \ {f (t) \}}$

Korzystając z tej liniowości i różnych właściwości i/lub tożsamości trygonometrycznych , hiperbolicznych i liczb zespolonych (itp.), niektóre transformaty Laplace'a można uzyskać od innych szybciej niż przy bezpośrednim użyciu definicji.

Jednostronna transformata Laplace'a przyjmuje jako dane wejściowe funkcję, której dziedzina czasu jest nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, dlatego wszystkie funkcje w dziedzinie czasu w poniższej tabeli są wielokrotnościami funkcji skokowej Heaviside'a, $u (t)$ .

Pozycje tabeli, które obejmują opóźnienie czasowe $τ,$ muszą być przyczynowe (co oznacza, że $τ > 0$ ). Układ przyczynowy to układ, w którym odpowiedź impulsowa $h (t)$ wynosi zero przez cały czas $t$ przed $t =0$ . Ogólnie rzecz biorąc, obszar zbieżności dla systemów przyczynowych nie jest taki sam jak dla systemów antykauzalnych .

Wybrane przekształcenia Laplace'a

Funkcjonować

Domena czasu

{\ Displaystyle f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {F (s) \}}

Laplace

s

-domena

{\ Displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f (t) \}}

Region zbieżności

Referencja

impuls jednostkowy

{\ Displaystyle \ delta (t) \ }

{\ Displaystyle 1}

wszystko

s

kontrola

opóźniony impuls

{\ Displaystyle \ delta (t-\ tau ) \ }

{\ Displaystyle e ^ {-\ tau s} \ }

przesunięcie czasowe
impulsu jednostkowego

krok jednostkowy

u(t)\

{\ Displaystyle {1 \ przez s}}

Re (s) > 0

zintegrować impuls jednostkowy

opóźniony krok jednostkowy

u(t-\tau)\

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {s}} e ^ {-\ tau s}}

Re (s) > 0

przesunięcie czasowe
kroku jednostkowego

rampa

t\cdot u(t)\

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {s ^ {2}}}}

Re (s) > 0

zintegruj
impuls jednostki dwukrotnie

n-

ta potęga
(dla liczby całkowitej

n

)

{\ Displaystyle t ^ {n} \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle {n! \ponad s^{n+1}}}

Re(s) > 0

(

n > -1

)

Integracja
kroku jednostkowego

n

razy

q

potęga
(dla zespolu

q

)

{\ Displaystyle t ^ {q} \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle {\ Gamma (q + 1) \ ponad s ^ {q + 1}}}

Re(s) > 0

Re(q) > -1

n-

ty rdzeń

{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle {1 \ nad s ^ {{\ Frac {1} {n}} + 1}} \ Gamma \ lewo ({\ Frac {1} {n}} + 1 \ po prawej)}

Re (s) > 0

Ustaw

q = 1/ n

powyżej.

n-

ta moc z przesunięciem częstotliwości

{\ Displaystyle t ^ {n} e ^ {- \ alfa t} \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle {\ Frac {n!} {(s + \ alfa) ^ {n + 1}}}}

Re(s) > - α

Zintegruj krok jednostkowy,
zastosuj przesunięcie częstotliwości

opóźniona

n-

ta moc
z przesunięciem częstotliwości

{\ Displaystyle (t \ tau) ^ {n} e ^ {- \ alfa (t \ tau)} \ cdot u (t \ tau)}

{\ Displaystyle {\ Frac {n! \ cdot e ^ {-\ tau s}} {(s + \ alfa) ^ {n + 1}}}}

Re(s) > - α

Zintegruj krok jednostkowy,
zastosuj przesunięcie częstotliwości,
zastosuj przesunięcie czasu

wykładniczy rozpad

{\ Displaystyle e ^ {- \ alfa t} \ cdot u (t)}

{1 \nad s+\alfa}

Re(s) > - α

Przesunięcie częstotliwości
kroku jednostkowego

dwustronny rozkład wykładniczy
(tylko dla transformacji dwustronnej)

{\ Displaystyle e ^ {- \ alfa | t |} \ }

{\ Displaystyle {2 \ alfa \ nad \ alfa ^ {2}-s ^ {2}}}

- α < Re(s) < α

Przesunięcie częstotliwości
kroku jednostkowego

wykładnicze podejście

{\ Displaystyle (1-e ^ {- \ alfa t}) \ cdot u (t) \ }

{\frac {\alfa}{s (s+\alfa)}}

Re (s) > 0

Krok jednostkowy minus
zanik wykładniczy

sinus

{\ Displaystyle \ grzech (\ omega t) \ cdot u (t) \ }

{\ Displaystyle {\ omega \ nad s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}

Re (s) > 0

cosinus

{\ Displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot u (t) \ }

{\ Displaystyle {s \ nad s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}

Re (s) > 0

sinus hiperboliczny

{\ Displaystyle \ sinh (\ alfa t) \ cdot u (t) \ }

{\ Displaystyle {\ alfa \ nad s ^ {2} - \ alfa ^ {2}}}

Re(y) > | α |

cosinus hiperboliczny

{\ Displaystyle \ cosh (\ alfa t) \ cdot u (t) \ }

{\ Displaystyle {s \ nad s ^ {2} - \ alfa ^ {2}}}

Re(y) > | α |

wykładniczo zanikająca
fala sinusoidalna

{\ Displaystyle e ^ {- \ alfa t} \ grzech (\ omega t) \ cdot u (t) \ }

{\ Displaystyle {\ omega \ nad (s + \ alfa) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}

Re(s) > - α

wykładniczo zanikająca
fala cosinus

{\ Displaystyle e ^ {- \ alfa t} \ cos (\ omega t) \ cdot u (t) \ }

{\ Displaystyle {s + \ alfa \ nad (s + \ alfa) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}

Re(s) > - α

naturalny logarytm

{\ Displaystyle \ ln (t) \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle - {1 \ nad s} \ \ lewo [\ ln (s) + \ gamma \ prawej]}

Re (s) > 0

Funkcja Bessela
pierwszego rodzaju,
rzędu n

{\ Displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo ({\ sqrt {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}} - s \ prawej) ^ {n}} {\ omega ^ {n} {\ sqrt {s ^{2}+\omega ^{2}}}}}}

Re(s) > 0

(

n > -1

)

Funkcja błędu

{\ Displaystyle \ operatorname {erf} (t) \ cdot u (t)}

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {s}} e ^ {(1/4 s ^ {2}} \ lewo (1-\ nazwa operatora {erf} {\ Frac {s} {2}} \ prawej) }

Re (s) > 0

Notatki wyjaśniające:

$u (t)$ reprezentuje funkcję kroku Heaviside'a .
$δ$ reprezentuje funkcję delta Diraca .
$Γ(z)$ reprezentuje funkcję gamma .
$γ$ jest stałą Eulera-Mascheroni .

$t$ , liczba rzeczywista, zazwyczaj reprezentuje czas , chociaż może reprezentować dowolny niezależny wymiar.
$s$ jest złożonym parametrem w dziedzinie częstotliwości, a $Re(s)$ jest jego rzeczywistą częścią .
$α, β, τ i ω$ są liczbami rzeczywistymi .
$n$ jest liczbą całkowitą .

s -domenowe obwody równoważne i impedancje

Transformacja Laplace'a jest często używana w analizie obwodów i można dokonywać prostych konwersji do domeny $s$ elementów obwodów. Elementy obwodu można przekształcić w impedancje , bardzo podobne do impedancji fazorów .

Oto zestawienie odpowiedników:

Zauważ, że rezystor jest dokładnie taki sam w domenie czasu iw domenie $s$ . Źródła są wprowadzane, jeśli istnieją warunki początkowe na elementach obwodu. Na przykład, jeśli na kondensatorze jest napięcie początkowe lub jeśli przez cewkę indukcyjną przepływa prąd początkowy, uwzględniają to źródła umieszczone w domenie $s$ .

Odpowiedniki dla źródeł prądu i napięcia są po prostu wyprowadzone z przekształceń w powyższej tabeli.

Przykłady i zastosowania

Transformata Laplace'a jest często używana w inżynierii i fizyce ; wyjście liniowego systemu niezmiennego w czasie można obliczyć, łącząc jego jednostkową odpowiedź impulsową z sygnałem wejściowym. Wykonanie tego obliczenia w przestrzeni Laplace'a zamienia splot w mnożenie; ta ostatnia jest łatwiejsza do rozwiązania ze względu na formę algebraiczną. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz teoria sterowania . Przekształcenie Laplace'a jest odwracalne w dużej klasie funkcji. Biorąc pod uwagę prosty opis matematyczny lub funkcjonalny wejścia lub wyjścia do systemu , transformacja Laplace'a zapewnia alternatywny opis funkcjonalny, który często upraszcza proces analizy zachowania systemu lub syntezy nowego systemu w oparciu o zestaw specyfikacji.

Transformacja Laplace'a może być również używana do rozwiązywania równań różniczkowych i jest szeroko stosowana w inżynierii mechanicznej i elektrotechnice . Transformacja Laplace'a redukuje liniowe równanie różniczkowe do równania algebraicznego, które można następnie rozwiązać za pomocą formalnych reguł algebry. Pierwotne równanie różniczkowe można następnie rozwiązać, stosując odwrotną transformację Laplace'a. Angielski inżynier elektryk Oliver Heaviside jako pierwszy zaproponował podobny schemat, chociaż bez użycia przekształcenia Laplace'a; a wynikowy rachunek operacyjny jest uznawany za rachunek Heaviside'a.

Obliczanie całek niewłaściwych

Niech . Następnie (patrz tabela powyżej) ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ lewo \ {f (t) \ prawo \} = F (s)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ lewo \ {{\ Frac {f (t)} { t}} \ prawo \} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {f (t )}{t}}e^{-st}\,dt=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}

W limicie dostaje się $s\rightarrow 0$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {f (t)} {t}} \ dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} F (p) \ dp, }

pod warunkiem, że zamiana limitów może być uzasadniona. Często jest to możliwe w wyniku twierdzenia o wartości końcowej . Nawet jeśli zamiana nie może być uzasadniona, kalkulacja może być sugestywna. Na przykład, z a ≠ 0 ≠ b , postępując formalnie mamy

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (at) - \ cos (BT)} {t}} \ dt & = \ int _ {0} ^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\ po prawej)\,dp\\[6pt]&=\lewo[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+ b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}} =\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}

Ważność tej tożsamości można udowodnić innymi sposobami. Jest to przykład całki Frullaniego .

Innym przykładem jest całka Dirichleta .

Złożona impedancja kondensatora

W teorii obwodów elektrycznych przepływ prądu w kondensatorze jest proporcjonalny do pojemności i szybkości zmian potencjału elektrycznego (w jednostkach SI ). Symbolicznie wyraża się to równaniem różniczkowym

{\ Displaystyle i = C {dv \ nad dt}}

gdzie $C$ to pojemność (w faradach ) kondensatora, $i = i (t)$ to prąd elektryczny (w amperach ) przepływający przez kondensator w funkcji czasu, a $v = v (t)$ to napięcie (w woltach ) na zaciskach kondensatora, również w funkcji czasu.

Biorąc transformatę Laplace'a tego równania, otrzymujemy

{\ Displaystyle I (s) = C (sV (s)-V_ {0})}

gdzie

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja (s) i = {\ mathcal {l}} \ {i (t) \} \ \ V (s) i = {\ mathcal {L}} \ {v ( t)\},\end{wyrównany}}}

oraz

V_{0}=v(0).

Rozwiązując $V (s)$ mamy

{\ Displaystyle V (s) = {ja (s) \ nad sC} + {V_{0} \ nad s}.}

Definicja impedancji zespolonej $Z$ (w omach ) to stosunek napięcia zespolonego $V$ podzielonego przez prąd zespolony $I$ przy utrzymywaniu stanu początkowego $V 0$ na poziomie zerowym:

{\ Displaystyle Z (s) = \ lewo. {V (s) \ nad ja (s)} \ prawo | _ {V_ {0}= 0}.}

Korzystając z tej definicji i poprzedniego równania, znajdujemy:

{\ Displaystyle Z (s) = {\ Frac {1} {sC}}}

co jest poprawnym wyrażeniem złożonej impedancji kondensatora. Ponadto transformata Laplace'a ma duże zastosowania w teorii sterowania.

Częściowa ekspansja frakcji

Rozważmy liniowy system niezmienniczy w czasie z funkcją transferu

{\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {1} {(s + \ alfa) (s + \ beta)}}.}

Odpowiedź impulsowa to po prostu odwrotna transformata Laplace'a tej transmitancji:

{\ Displaystyle h (t) = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {H (s) \}.}

Aby ocenić tę transformację odwrotną, zaczynamy od rozwinięcia $H (s)$ przy użyciu metody częściowego rozszerzenia ułamka,

{\frac {1}{(s+\alfa)(s+\beta)}}={P \nad s+\alfa}+{R \nad s+\beta}.

Nieznane stałe $P$ i $R$ to reszty znajdujące się na odpowiednich biegunach funkcji przenoszenia. Każda pozostałość reprezentuje względny udział tej osobliwości w ogólnym kształcie funkcji przenoszenia.

Według twierdzenia o pozostałościach odwrotna transformata Laplace'a zależy tylko od biegunów i ich reszt. Aby znaleźć resztę $P$ , mnożymy obie strony równania przez $s + α,$ aby uzyskać

{\frac {1}{s+\beta}}=P+{R(s+\alfa) \nad s+\beta}.

Następnie przyjmując $s = - α$ , wkład z $R$ znika i pozostaje

{\ Displaystyle P = \ lewo. {1 \ nad s + \ beta} \ prawo | _ {s = - \ alfa} = {1 \ nad \ beta - \ alfa}.}

Podobnie reszta $R$ jest dana przez

{\ Displaystyle R = \ lewo. {1 \ nad s + \ alfa} \ prawo | _ {s = - \ beta} = {1 \ nad \ alfa - \ beta}.}

Zauważ, że

{\ Displaystyle R = {-1 \ ponad \ beta - \ alfa} = - P}

i tak podstawienie

R

i

P

do rozszerzonego wyrażenia dla

H (s)

daje

{\ Displaystyle H (s) = \ lewo ({\ Frac {1} {\ beta - \ alfa}} \ prawej) \ cdot \ lewo ({1 \ nad s + \ alfa} - {1 \ nad s + \ beta} \Prawidłowy).}

Wreszcie, za pomocą właściwości liniowości i znany przekształcić do wykładniczej (patrz Item # 3 w Tabeli Transformacja Laplace'a powyżej), możemy podjąć Odwrotna transformata Laplace'a z $H (s)$ w celu uzyskania

{\ Displaystyle h (t) = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {H (s) \} = {\ Frac {1} {\ beta - \ alfa}} \ lewo (e ^ {- \alpha t}-e^{-\beta t}\right),}

który jest odpowiedzią impulsową systemu.

Skręt

Ten sam wynik można osiągnąć używając własności konwolucji, jak gdyby układ był szeregiem filtrów o transmitancjach $1/(s + a)$ i $1/(s + b)$ . To znaczy odwrotność

{\ Displaystyle H (s) = {\ Frac {1} {(s + a) (s + b)}} = {\ Frac {1} {s + a}} \ cdot {\ Frac {1} {s +b}}}

jest

{\ Displaystyle {\ mathcal {l}} ^ {-1} \! \ lewo \ {{\ Frac {1} {s + a}} \ prawo \} * {\ mathcal {L}} ^ {-1} \!\left\{{\frac {1}{s+b}}\right\}=e^{-at}*e^{-bt}=\int _{0}^{t}e^{ -ax}e^{-b(tx)}\,dx={\frac {e^{-at}-e^{-bt}}{ba}}.}

Opóźnienie fazy

Funkcja czasu	Transformata Laplace'a
$\sin {(\omega t+\varphi)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {s \ sin (\ varphi ) + \ omega \ cos (\ varphi ) {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}$
${\ Displaystyle \ cos {(\ omega t + \ varphi )}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {s \ cos (\ varphi) - \ omega \ sin (\ varphi)} {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}.}$

Począwszy od przekształcenia Laplace'a,

{\ Displaystyle X (s) = {\ Frac {s \ sin (\ varphi) + \ omega \ cos (\ varphi) {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}

znajdujemy odwrotność, przestawiając najpierw wyrazy w ułamku:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} X (s) i = {\ Frac {s \ sin (\ varphi)} {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}} + {\ Frac {\ omega \ cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^ {2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}} }

Jesteśmy teraz w stanie przyjąć odwrotną transformację Laplace'a naszych terminów:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x (t) i = \ grzech (\ varphi ) {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ lewo \ {{\ Frac {s} {s ^ {2}+ \omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\ omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\cos(\varphi ).\end{aligned}}}

To tylko sinus sumy argumentów, dający:

{\ Displaystyle x (t) = \ grzech (\ omega t + \ varphi).}

Możemy zastosować podobną logikę, aby to znaleźć

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ lewo \ {\ Frac {s \ cos \ varphi - \ omega \ sin \ varphi {s ^ {2} + \ omega ^ {2}} }\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}

Mechanika statystyczna

W mechanice statystycznej funkcję podziału definiuje transformacja Laplace'a gęstości stanów . Oznacza to, że funkcja podziału kanonicznego jest dana przez $g(E)\,dE$ $Z(\beta)$

{\ Displaystyle Z (\ beta ) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta e} g (e) \ dE}

a odwrotność jest podana przez

{\ Displaystyle g (E) = {\ Frac {1} {2 \ pi ja}} \ int _ {\ beta _ {0}-i \ infty} ^ {\ beta _ {0} + ja \ infty} e ^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }

Galeria

Przykładowa krzywa e ^t cos(10 t ), która jest dodawana razem z podobnymi krzywymi w celu utworzenia transformacji Laplace'a.
Animacja pokazująca, jak sumowanie krzywych może przybliżyć funkcję.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Nowoczesny

Bracewell, Ronald N. (1978), Transformata Fouriera i jej zastosowania (2nd ed.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
Bracewell, RN (2000), Transformacja Fouriera i jej zastosowania (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
Feller, William (1971), Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań. Tom. II. , Wydanie drugie, Nowy Jork: John Wiley & Sons , MR 0270403
Korn, GA; Korn, TM (1967), Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
Widder, David Vernon (1941), Transformacja Laplace'a , Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press , MR 0005923
Williams, J. (1973), Laplace Transforms , Rozwiązywanie problemów , George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5
Takacs, J. (1953), „Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal” Magyar Hiradastechnika (po węgiersku), IV (7-8): 93-96

Historyczny

Euler, L. (1744), "De constructione aequationum" [Konstrukcja równań], Opera Omnia , 1. seria (po łacinie), 22 : 150-161
Euler, L. (1753), "Methodus aequationes różniczkowych" [Metoda rozwiązywania równań różniczkowych] , Opera Omnia , 1 seria (w języku łacińskim), 22 : 181-213
Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, tom 2" [Institutiones of Integral Calculus], Opera Omnia , 1. seria (po łacinie), Bazylea: Birkhäuser, 12 , ISBN 978-3764314743, rozdziały 3–5
Euler, Leonhard (1769), Institutiones kamicy Integralis [ Instytucje całkowy ] (w języku łacińskim), II , Paris: Petrópolis, rozdz. 3–5, s. 57–153
Grattan-Guinness, I (1997), „całkowite rozwiązania Laplace'a do równań różniczkowych cząstkowych”, w Gillispie, CC (red.), Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
Lagrange, JL (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode , Œuvres de Lagrange, 2 , s. 171–234

Dalsza lektura

Arendt, Wolfgang; Batty, Charles JK; Hieber, Maciej; Neubrander, Frank (2002), Przekształcenia Laplace'a o wartościach wektorowych i problemy Cauchy'ego , Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3.
Davies, Brian (2002), przekształcenia całkowe i ich zastosowania (wyd. trzecie), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4
Deakin, MAB (1981), "Rozwój transformaty Laplace'a", Archiwum Historii Nauk Ścisłych , 25 (4): 343-390, doi : 10.1007/BF01395660 , S2CID 117913073
Deakin, MAB (1982), "Rozwój transformaty Laplace'a", Archiwum Historii Nauk Ścisłych , 26 (4): 351-381, doi : 10.1007/BF00418754 , S2CID 123071842
Doetsch, Gustav (1974), Wprowadzenie do teorii i zastosowania transformacji Laplace'a , Springer, ISBN 978-0-387-06407-9
Mateusz, Jon; Walker, Robert L. (1970), Matematyczne metody fizyki (2nd ed.), New York: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998), Podręcznik równań całkowych , Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
Schwartz, Laurent (1952), „Transformation de Laplace des distributions”, Comm. Sem. Matematyka. Uniw. Lund [med. Uniwersytet w Lunds Mata. Sem.] (w języku francuskim), 1952 : 196-206, MR 0052555
Schwartz, Laurent (2008) [1966], Matematyka dla nauk fizycznych , Dover Books on Mathematics , New York: Dover Publications, s. 215-241, ISBN 978-0-486-46662-0- patrz rozdział VI. Transformacja Laplace'a.
Siebert, William McC. (1986), Obwody, sygnały i systemy , Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3
Widder, David Vernon (1945), „Co to jest transformata Laplace'a?”, The American Mathematical Monthly , 52 (8): 419-425, doi : 10.2307/2305640 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2305640 , MR 0013447

Zewnętrzne linki

"Transformacja Laplace'a" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Obliczanie online przekształcenia lub przekształcenia odwrotnego, wims.unice.fr
Tablice przekształceń całkowych w EqWorld: Świat równań matematycznych.
Weisstein, Eric W. "Transformacja Laplace'a" . MatematykaŚwiat .
Dobre wyjaśnienia twierdzeń o wartości początkowej i końcowej
Transformacje Laplace'a w MathPages
Computational Knowledge Engine umożliwia łatwe obliczanie transformacji Laplace'a i jej odwrotnej transformacji.
Kalkulator Laplace'a do łatwego obliczania transformacji Laplace'a online.
Kod do wizualizacji transformacji Laplace'a i wiele przykładowych filmów.

Languages

In other projects

Przekształcenie Laplace'a - Laplace transform

Zawartość

Historia

Formalna definicja

Dwustronna transformata Laplace'a

Odwrotna transformata Laplace'a

Teoria prawdopodobieństwa

Region zbieżności

Własności i twierdzenia

Związek z szeregiem potęgowym

Stosunek do momentów

Obliczanie transformaty Laplace'a pochodnej funkcji

Obliczanie całek po dodatniej osi rzeczywistej

Związek z innymi przekształceniami

Przekształcenie Laplace'a-Stieltjesa

Transformata Fouriera

Transformacja Mellina

Transformacja Z

Transformata borelowska

Podstawowe relacje

Tabela wybranych przekształceń Laplace'a

s -domenowe obwody równoważne i impedancje

Przykłady i zastosowania

Obliczanie całek niewłaściwych

Złożona impedancja kondensatora

Częściowa ekspansja frakcji

Opóźnienie fazy

Mechanika statystyczna

Galeria

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Nowoczesny

Historyczny

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki