Wymiar krycia Lebesgue'a - Lebesgue covering dimension

W matematyce , Lebesgue'a obejmujące wymiar lub topologiczną wymiar o topologicznej przestrzeni jest jednym z kilku różnych sposobów definiowania wymiar przestrzeni w topologicznie niezmienny sposób.

Nieformalna dyskusja

Dla zwykłych przestrzeni euklidesowych wymiar pokrywający Lebesgue'a jest zwykłym wymiarem euklidesowym: zero dla punktów, jeden dla linii, dwa dla płaszczyzn i tak dalej. Jednak nie wszystkie przestrzenie topologiczne mają tego rodzaju „oczywisty” wymiar , dlatego w takich przypadkach potrzebna jest precyzyjna definicja. Definicja przebiega poprzez zbadanie, co się dzieje, gdy przestrzeń jest pokryta zbiorami otwartymi .

Ogólnie rzecz biorąc, przestrzeń topologiczna X może być pokryta zbiorami otwartymi , w tym sensie , że można znaleźć zbiór zbiorów otwartych taki, że X leży wewnątrz ich sumy . Wymiar pokrycia to najmniejsza liczba n taka, że ​​dla każdego pokrycia istnieje uściślenie, w którym każdy punkt w X leży na przecięciu nie więcej niż n  + 1 zestawów pokrycia. Oto sedno poniższej definicji formalnej. Celem definicji jest dostarczenie liczby ( liczby całkowitej ), która opisuje przestrzeń i nie zmienia się, gdy przestrzeń jest stale odkształcana; czyli liczba, która jest niezmienna w homeomorfizmach .

Ogólną ideę ilustrują poniższe diagramy, które pokazują okładkę i udoskonalenia koła i kwadratu.

Udoskonalenie okładki koła

Lewy diagram pokazuje udoskonalenie (po lewej) okładki (po prawej) okrągłej linii (czarnej). Zauważ, że w doprecyzowaniu żaden punkt na linii nie jest zawarty w więcej niż dwóch zestawach. Zwróć też uwagę, jak zestawy łączą się ze sobą, tworząc „łańcuch”.

Udoskonalenie okładki kwadratu

Na dole po lewej stronie znajduje się udoskonalenie okładki (góra) o płaskim kształcie (ciemny), tak aby wszystkie punkty kształtu zawierały co najwyżej trzy zestawy. Dolny prawy to próba dopracowania okładki, aby żaden punkt nie zawierał się w więcej niż dwóch zestawach. To zawodzi na przecięciu ustalonych granic. Zatem płaski kształt nie jest „pajęczynowy” ani nie może być pokryty „łańcuchami”, ale jest w pewnym sensie grubszy; tzn. jego wymiar topologiczny musi być wyższy niż jeden.

Formalna definicja

Pierwszą formalną definicję wymiaru zakrywającego podał Eduard Čech , opierając się na wcześniejszych wynikach Henri Lebesgue'a .

Współczesna definicja jest następująca. Otwarta osłona przestrzeni topologicznej X to rodzina zbiorów otwartych , których Unia obejmuje X . Warstwa lub zamówienie z pokrywą jest najmniejsza liczba n (jeżeli istnieje), tak, że każdy punkt przestrzeni należy do co najwyżej n odbiorników w pokrywie. Udoskonalenie z pokrywą C jest kolejną pokrywę, której każdy z zestawów jest podzbiorem zbioru w C . Wymiar pokrycia przestrzeni topologicznej X jest zdefiniowany jako minimalna wartość n , tak że każda otwarta pokrywa C z X (niezależnie od warstwy) ma otwarte udokładnienie z warstwą n  + 1 lub mniejszą. Jeśli takie minimalne n nie istnieje, mówi się, że przestrzeń ma nieskończony wymiar pokrycia.

W szczególnym przypadku, przestrzeń topologiczna jest zerowymiarowa w stosunku do wymiaru pokrycia, jeśli każda otwarta pokrywa przestrzeni ma udokładnienie składające się z rozłącznych otwartych zbiorów, tak że każdy punkt w przestrzeni jest zawarty dokładnie w jednym otwartym zbiorze tego uściślenia .

Często wygodnie jest powiedzieć, że wymiar pokrycia pustego zbioru wynosi -1.

Przykłady

Każda otwarta okładka koła jednostek będzie miała udoskonalenie składające się z kolekcji otwartych łuków. Okrąg ma, zgodnie z tą definicją, wymiar jeden, ponieważ każdą taką osłonę można dalej doprecyzować do etapu, w którym dany punkt x okręgu zawiera się co najwyżej w dwóch otwartych łukach. Oznacza to, że bez względu na zbiór łuków, od którego zaczniemy, niektóre z nich można odrzucić lub zmniejszyć, tak że reszta nadal pokrywa okrąg, ale z prostymi nakładami.

Podobnie, każda otwarta pokrywa dysku jednostkowego w płaszczyźnie dwuwymiarowej może być udoskonalona tak, że dowolny punkt dysku zawiera się w nie więcej niż trzech otwartych zestawach, podczas gdy dwa są na ogół niewystarczające. Wymiar pokrycia dysku wynosi zatem dwa.

Bardziej ogólnie, n- wymiarowa przestrzeń euklidesowa ma wymiar pokrycia n . ${\ Displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Nieruchomości

• Przestrzenie homeomorficzne mają ten sam wymiar pokrycia. Oznacza to, że wymiar pokrycia jest topologicznym niezmiennikiem .
• Wymiar pokrywający Lebesgue'a pokrywa się z wymiarem afinicznym skończonego simplicjalnego kompleksu ; to jest twierdzenie Lebesgue'a obejmującego .
• Wymiar pokrycia normalnej przestrzeni jest mniejszy lub równy dużemu wymiarowi indukcyjnemu .
• Wymiar pokrycia normalnej przestrzeni X jest wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zamkniętego podzbioru A z X , jeśli jest ciągły, to istnieje rozszerzenie do . Tutaj jest n wymiarowej kuli .${\ Displaystyle \ leq n}$ ${\ Displaystyle f: A \ rightarrow S ^ {n}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle g: X \ rightarrow S ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$
• (Twierdzenie Ostranda o wymiarze kolorowym.) Przestrzeń normalna spełnia nierówność wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie skończonej otwartej pokrywy przestrzeni istnieje otwarta pokrywa przestrzeni, którą można przedstawić jako związek rodzin , gdzie , tak, że każda zawiera zestawy rozłączne oraz dla każdego i .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle 0 \ leq \ dim X \ leq n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {\ alfa} \} _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\kropki,{\mathcal {V}}_ {n+1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} _ {i} = \ {V_ {i \ alfa} \} _ {\ alfa \ w {\ mathcal {A}}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {V}} _ {i}}$${\ Displaystyle V_ {i \ alfa} \ podseteq U_ {\ alfa}}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle \ alfa}$
• Wymiar pokrycia parakompaktowej przestrzeni Hausdorffa jest większy lub równy jej wymiarowi kohomologicznemu (w sensie snopów ), to znaczy, że na każdy snop grup abelowych przypada i każdy większy niż wymiar pokrycia .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, A) = 0}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle X}$

Zobacz też

• Twierdzenie Carathéodory'ego o rozszerzeniu
• Problem z okładką zestawu geometrycznego
• Teoria wymiarów
• Przestrzeń metakompaktowa
• Kolekcja punktowa skończona

Bibliografia

• Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Paryż: Hermann, MR  0345092
• Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. 2). Prentice-Hall. Numer ISBN 0-13-181629-2.

Dalsza lektura

Historyczny

• Karl Menger , Przestrzenie ogólne i przestrzenie kartezjańskie , (1926) Komunikaty do Akademii Nauk w Amsterdamie. Tłumaczenie angielskie przedrukowane w Classics on Fractal , Gerald A.Edgar, redaktor Addison-Wesley (1993) ISBN  0-201-58701-7
• Karl Menger , Dimensionstheorie , (1928) BG Teubner Publishers, Lipsk.
• AR Gruszki, Teoria wymiarów przestrzeni ogólnych , (1975) Cambridge University Press. ISBN  0-521-20515-8

Nowoczesny

• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , pojawiające się w Encyclopaedia of Mathematical Sciences, tom 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii i LS Pontryagin (red.), Springer-Verlag, Berlin ISBN  3-540-18178- 4 .

Linki zewnętrzne

• „Wymiar Lebesgue'a” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]