Funkcja Lapunowa - Lyapunov function

W teorii równań różniczkowych zwyczajnych (ODE) funkcje Lapunowa są funkcjami skalarnymi, które można wykorzystać do udowodnienia stabilności równowagi ODE. Nazwany na cześć rosyjskiego matematyka Aleksandr Michajłowicz Lapunowa , funkcje Lapunowa (zwane też drugim sposobem Lapunowa dla stabilności) są ważne dla stabilności teorii z dynamicznych systemów i teorii sterowania . Podobna koncepcja pojawia się w teorii ogólnej przestrzeni stanów łańcuchów Markowa , zwykle pod nazwą funkcje Fostera-Lapunowa.

Dla pewnych klas ODE istnienie funkcji Lapunowa jest koniecznym i wystarczającym warunkiem stabilności. Podczas gdy nie istnieje ogólna technika konstruowania funkcji Lapunowa dla ODE, w wielu szczególnych przypadkach konstrukcja funkcji Lapunowa jest znana. Na przykład funkcje kwadratowe wystarczą dla systemów z jednym stanem; rozwiązanie określonej nierówności macierzy liniowej zapewnia funkcje Lapunowa dla układów liniowych; a prawa zachowania mogą być często używane do konstruowania funkcji Lapunowa dla układów fizycznych .

Definicja

Funkcja Lapunowa dla autonomicznego układu dynamicznego

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} g: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n} i \ \ {\ kropka {y}} = g (y) \ koniec {przypadki }}}$

z punktem równowagi na jest funkcją skalarną, która jest ciągła, ma ciągłe pierwsze pochodne, jest ściśle dodatnia i dla której jest również ściśle dodatnia. Warunek, który jest ściśle dodatnia jest czasami określa się jako to lokalnie dodatnio określona , czy jest lokalnie ujemna definitywna . ${\ Displaystyle y = 0}$ ${\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$${\ Displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$${\ Displaystyle - \ nabla {V} \ cdot g}$${\ Displaystyle \ nabla {V} \ cdot g}$

Dalsze omówienie terminów pojawiających się w definicji

Funkcje Lapunowa powstają w badaniu punktów równowagi układów dynamicznych. W dowolnym autonomicznym układzie dynamicznym można zapisać jako ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {y}} = g (y)}$

dla jakiegoś gładkiego ${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}.$

Punkt równowagi to taki punkt , że dany punkt równowagi zawsze istnieje taka transformacja współrzędnych , że: ${\ Displaystyle y ^ {*}}$${\ Displaystyle g \ lewo (y ^ {*} \ prawo) = 0.}$${\ Displaystyle y ^ {*},}$${\ Displaystyle x = yy ^ {*},}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} {\ kropka {x}} = {\ kropka {y}} = g (y) = g \ lewo (x + Y ^ {*} \ prawej) = f (x) \ \f(0)=0\end{przypadki}}}$

Tak więc, badając punkty równowagi, wystarczy założyć, że punkt równowagi występuje w . ${\ Displaystyle 0}$

Zgodnie z regułą łańcucha, dla dowolnej funkcji pochodna po czasie funkcji ocenianej wzdłuż rozwiązania układu dynamicznego wynosi ${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {H}} = {\ Frac {d} {dt}} H (x (t)) = {\ Frac {\ częściowy H} {\ częściowy x}} \ cdot {\ Frac {dx }{dt}}=\nabla H\cdot {\dot {x}}=\nabla H\cdot f(x).}$

Funkcję definiuje się jako funkcję lokalnie dodatnio określoną (w sensie układów dynamicznych), jeśli zarówno i istnieje sąsiedztwo początku, , takie, że: ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H (0) = 0}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$

${\ Displaystyle H (x)> 0 \ quad \ forall x \ w {\ mathcal {B}} \ setminus \ {0 \}}.$

Podstawowe twierdzenia Lapunowa dla systemów autonomicznych

Niech będzie równowaga układu autonomicznego ${\ Displaystyle x ^ {*} = 0}$

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x).}$

i użyj notacji do oznaczenia pochodnej czasu funkcji kandydata Lapunowa : ${\ Displaystyle {\ kropka {V}} (x)}$${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ kropka {V}} (x) = {\ Frac {d} {dt}} V (x (t)) = {\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy x}} \ cdot {\ frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x).}$

Równowaga lokalnie asymptotycznie stabilna

Jeśli równowaga jest izolowana, funkcja kandydata Lapunowa jest lokalnie dodatnia, a pochodna funkcji kandydata Lapunowa w czasie jest określona lokalnie ujemnie: ${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ kropka {V}} (x) <0 \ quad \ forall x \ w {\ mathcal {B}} \ setminus \ {0 \}}$

dla pewnego sąsiedztwa pochodzenia okazuje się, że równowaga jest lokalnie asymptotycznie stabilna. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$

Stabilna równowaga

Jeśli jest funkcją Lapunowa, to równowaga jest stabilna Lapunowa . Odwrotność też jest prawdziwa, co udowodnił JL Massera . ${\ Displaystyle V}$

Globalnie asymptotycznie stabilna równowaga

Jeśli funkcja kandydata Lapunowa jest globalnie dodatnio określona, promieniowo nieograniczona , równowaga izolowana i pochodna czasu funkcji kandydata Lapunowa jest globalnie określona ujemnie: ${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ kropka {V}} (x) <0 \ quad \ forall x \ w \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$

wtedy równowaga okazuje się być globalnie asymptotycznie stabilna .

Funkcja kandydata Lapunowa jest promieniowo nieograniczona, jeśli ${\ Displaystyle V (x)}$

${\ Displaystyle \ | x \ | \ do \ infty \ Rightarrow V (x) \ do \ infty.}$

(Jest to również określane jako przymus normowy).

Przykład

Rozważ następujące równanie różniczkowe z rozwiązaniem na : ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

Biorąc pod uwagę, że jest to zawsze pozytywne wokół pochodzenia, jest naturalnym kandydatem na funkcję Lapunowa, która pomoże nam w nauce . Warto więc na . Następnie, ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle V (x) = x ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {V}} (x) = V '(x) {\ kropka {x}} = 2x \ cdot (-x) = -2x ^ {2} <0.}$

To poprawnie pokazuje, że powyższe równanie różniczkowe jest asymptotycznie stabilne względem pochodzenia. Zauważ, że używając tego samego kandydata Lapunowa można wykazać, że równowaga jest również globalnie asymptotycznie stabilna. ${\displaystyle x}$

Zobacz też

• Stabilność Lapunowa
• Równania różniczkowe zwyczajne
• Funkcja sterowania-Lapunowa
• Funkcja Czetajewa
• Twierdzenie Fostera
• Optymalizacja Lapunowa

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. „Funkcja Lapunowa” . MatematykaŚwiat .
• Khalil, HK (1996). Systemy nieliniowe . Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.
• La Salle, Józefie; Lefschetz, Salomon (1961). Stabilność metodą bezpośrednią Liapunowa: z aplikacjami . Nowy Jork: prasa akademicka.
• Ten artykuł zawiera materiał z funkcji Lapunowa w PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Zewnętrzne linki

• Przykład wyznaczania stabilności rozwiązania równowagowego układu ODE z funkcją Lapunowa