Dystrybucja do najbliższego sąsiada - Nearest neighbour distribution

Prawdopodobieństwa i statystyki, o najbliższy funkcja sąsiad , najbliższa dystrybucja odległość sąsiad , funkcja rozkładu najbliższego sąsiedztwa lub najbliższy rozkład sąsiad jest funkcją matematyczną , która jest określona w odniesieniu do obiektów matematycznych zwanych procesów punktowych , które są często wykorzystywane jako modeli matematycznych właściwości fizyko zjawiska, które można przedstawić jako losowo rozmieszczone punkty w czasie, przestrzeni lub obu. Dokładniej, funkcje najbliższego sąsiada są definiowane w odniesieniu do pewnego punktu w procesie punktowym jako rozkład prawdopodobieństwa odległości od tego punktu do jego najbliższego sąsiedniego punktu w tym samym procesie punktowym, stąd są one używane do opisu prawdopodobieństwa innego punktu istniejący w pewnej odległości od punktu. Funkcję najbliższego sąsiada można przeciwstawić sferycznej funkcji rozkładu kontaktu , która nie jest zdefiniowana w odniesieniu do jakiegoś punktu początkowego, ale raczej jako rozkład prawdopodobieństwa promienia kuli, gdy po raz pierwszy napotyka lub styka się z punktem procesu punktowego .

Funkcje najbliższego sąsiada są wykorzystywane w badaniach procesów punktowych, a także pokrewnych dziedzin geometrii stochastycznej i statystyki przestrzennej , które znajdują zastosowanie w różnych dyscyplinach naukowych i inżynierskich, takich jak biologia , geologia , fizyka i telekomunikacja .

Notacja procesu punktowego

Procesy punktowe to obiekty matematyczne zdefiniowane w jakiejś podstawowej przestrzeni matematycznej . Ponieważ procesy te są często używane do reprezentowania zbiorów punktów losowo rozrzuconych w przestrzeni, czasie lub obu, podstawową przestrzenią jest zwykle d- wymiarowa przestrzeń euklidesowa oznaczona tutaj przez , ale można je zdefiniować na bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach matematycznych. ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Procesy punktowe mają wiele interpretacji, co znajduje odzwierciedlenie w różnych typach notacji procesów punktowych . Na przykład, jeśli punkt należy do procesu punktowego lub jest członkiem procesu punktowego, oznaczony przez , to można to zapisać jako: ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N},}$

i reprezentuje proces punktowy interpretowany jako zbiór losowy . Alternatywnie, liczba punktów znajdujących się w pewnym zbiorze borelowskim jest często zapisywana jako: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ textstyle {N} (B),}$

co odzwierciedla losową interpretację miar dla procesów punktowych. Te dwie notacje są często używane równolegle lub zamiennie.

Definicje

Funkcja najbliższego sąsiada

Funkcja najbliższego sąsiada, w przeciwieństwie do sferycznej funkcji rozkładu kontaktu , jest definiowana w odniesieniu do pewnego punktu procesu punktowego, który już istnieje w pewnym obszarze przestrzeni. Dokładniej, dla pewnego punktu procesu punktowego funkcja najbliższego sąsiada jest rozkładem prawdopodobieństwa odległości od tego punktu do najbliższego lub najbliższego sąsiedniego punktu. ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Aby zdefiniować tę funkcję dla punktu znajdującego się na przykład w początku , rozważana jest -wymiarowa kula o promieniu wyśrodkowana w początku o . Biorąc pod uwagę punkt istnienia w , najbliższą funkcję sąsiada definiuje się jako: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ textstyle o}$${\ displaystyle \ textstyle d}$ ${\ displaystyle \ textstyle b (o, r)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle o}$

${\ Displaystyle D_ {o} (r) = 1-P ({N} (b (o, r)) = 1 \ o połowie).}$

gdzie oznacza warunkowe prawdopodobieństwo, że istnieje jeden punkt znajdujący się w danym punkcie położonym w . ${\ Displaystyle \ textstyle P ({N} (b (o, r)) = 1 \ o połowie o)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle b (o, r)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle o}$

Punkt odniesienia nie musi znajdować się w początku i może znajdować się w dowolnym punkcie . Biorąc pod uwagę punkt istnienia w , najbliższą funkcję sąsiada definiuje się jako: ${\ displaystyle \ textstyle x \ in {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$

${\ Displaystyle D_ {x} (r) = 1-P ({N} (b (x, r)) = 1 \ mid x).}$

Przykłady

Wyrażenia matematyczne rozkładu najbliższego sąsiada istnieją tylko dla kilku procesów punktowych.

Proces punktowy Poissona

Dla procesu punktu Poissona na z miary intensywności najbliższy sąsiad jest funkcja: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle D_ {x} (r) = 1-e ^ {- \ Lambda (b (x, r))},}$

co staje się dla przypadku jednorodnego

${\ Displaystyle D_ {x} (r) = 1-e ^ {- \ lambda | b (x, r) |},}$

gdzie oznacza objętość (a dokładniej miarę Lebesgue'a ) (hiper) kuli o promieniu . W płaszczyźnie z punktem odniesienia znajdującym się w początku stanie się to ${\ Displaystyle \ textstyle | b (x, r) |}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {2}}$

${\ Displaystyle D_ {x} (r) = 1-e ^ {- \ lambda \ pi r ^ {2}}.}$

Związek z innymi funkcjami

Sferyczna funkcja dystrybucji styków

Na ogół funkcja rozkładu sferycznego kontaktu i odpowiadająca jej funkcja najbliższego sąsiada nie są równe. Jednak te dwie funkcje są identyczne dla procesów punktu Poissona. W rzeczywistości ta cecha wynika z wyjątkowej właściwości procesów Poissona i ich rozkładów Palmowych, która stanowi część wyniku znanego jako twierdzenie Slivnyak- Mecke lub Slivnyak .

Funkcja J.

Fakt, że funkcja rozkładu sferycznego H _s ( r ) i funkcja najbliższego sąsiada D _o ( r ) są identyczne dla procesu punktu Poissona, można wykorzystać do statystycznego sprawdzenia, czy dane procesu punktowego wydają się być procesem punktu Poissona. Na przykład w statystyce przestrzennej funkcja J jest zdefiniowana dla wszystkich r  ≥ 0 jako:

${\ Displaystyle J (r) = {\ Frac {1-D_ {o} (r)} {1-H_ {s} (r)}}}$

W przypadku procesu punktowego Poissona funkcja J jest po prostu J ( r )  = 1, dlatego jest używana jako nieparametryczny test sprawdzający, czy dane zachowują się tak, jakby pochodziły z procesu Poissona. Uważa się jednak, że możliwe jest skonstruowanie procesów innych niż punkty Poissona, dla których J ( r )  = 1, ale takie kontrprzykłady są uważane przez niektórych za nieco „sztuczne” i istnieją dla innych testów statystycznych.

Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja J służy jako jeden ze sposobów (inne obejmują użycie miar momentów silni ) do pomiaru interakcji między punktami w procesie punktowym.

Zobacz też

• Silnia moment
• Lokalny rozmiar elementu
• Chwilowa miara
• Sferyczna funkcja dystrybucji styków

Bibliografia