Omega i agemo podgrupa - Omega and agemo subgroup

W matematyce , a dokładniej teorii grup The omega i agemo podgrupy opisano tak zwany „strukturę moc” jest skończoną p -group . Zostały one wprowadzone w ( Hall 1933 ), w którym zostały one użyte do opisania klasę skończonych p -grupy których struktura jest wystarczająco podobny do skończonych abelian p -grupy, tak zwanych, regularnych p-grup . Zależność między siłą i komutatora struktury tworzy tematem we współczesnym studium p -grupy, jak opisano w pracach nad równomiernie potężnymi p-grup .

Słowo „agemo” jest po prostu „omega” wspak, a podgrupa agemo oznaczamy przez góry nogami omega.

Definicja

Omega podgrupami są seria podgrupa skończonego grupa P, G , indeksowanej liczb naturalnych:

${\ Displaystyle \ omega _ {i} (G) = \ langle \ {g: g ^ {P ^ {i}} = 1 \} \ rangle.}$

Podgrupy agemo to seria podgrupy:

${\ Displaystyle \ mho ^ {i} (G) = \ langle \ {g ^ {P ^ {i}}: G \ G \} \ rangle.}$

Kiedy i = 1, a p jest liczbą nieparzystą, a I jest zwykle pominięte w definicji. Gdy p jest parzysta, pominiętym i może oznaczać albo i = 1 lub I = 2 w zależności od lokalnej konwencji. W tym artykule używamy konwencję, że pominięto ja zawsze wskazuje i = 1.

Przykłady

Dwuściennej grupy porządku 8 , G , spełnia: ℧ ( G ) = Z ( G ) = [ G , G ] = Φ ( G ) = Soc ( G ) jest unikalny normalne podgrupę rzędu 2, zwykle wykonany jako podgrupy zawierający tożsamość i 180 ° obrotu. Jednakże Ω ( G ) = G jest cała grupa, ponieważ G jest generowany przez odbicia. To pokazuje, że Ω ( G ) nie musi być zbiorem elementów rzędu p .

Grupa kwaternion porządku 8 , H , spełnia Ω ( H ) = ℧ ( H ) = Z ( H ) = [ H , H ] = Φ ( H ) = Soc, ( H ) jest unikalny podgrupę rzędu 2, zwykle realizowane jako podgrupy zawierającej tylko 1 i -1.

Sylow P -subgroup , P , z grupy symetrycznie na str ² punktów jest produkt wieniec z dwóch grup cyklicznych od głównego celu. Gdy p = 2, to tylko dwuścienny grupa celu 8. też spełnia Ω ( P ) = P . Ponownie ℧ ( P ) = Z ( P ) = Soc ( P ) jest cykliczny kolejności P , ale [ P , P ] = Φ ( G ) jest elementarnym abelowa wnoszącego p ^{p -1} .

Iloczynów produkt cyklicznej grupy o uporządkowaniu 4, działającą nietrywialnie na grupę cykliczną o uporządkowaniu 4,

${\ Displaystyle K = \ langle A, B: ^ {4} = B ^ {4} = 1, BA = ab ^ {3} \ rangle}$

ma ℧ ( K ) elementarne abelowa o uporządkowaniu 4, a zestaw pól jest po prostu {1, aa , bb }. Tutaj element AABB z ℧ ( K ) nie jest kwadratem, pokazując, że ℧ nie jest po prostu zbiór kwadratów.

Nieruchomości

W tej sekcji, niech G będzie skończoną p -group z rzędu | G | = P ⁿ i wykładnik exp ( G ) = P ^K mają wiele przydatnych właściwości.

właściwości ogólne

• Zarówno Ω _i ( G ) i ℧ ⁱ ( G ) stanowią charakterystyczne podgrupy z G dla wszystkich liczb naturalnych i .
• Omega i agemo podgrupy tworzą dwa normalny cykl :

G = ℧ ⁰ ( G ) ≥ ℧ ¹ ( G ) ≥ ℧ ² ( G ) ≥ ... ≥ ℧ ^{K -2} ( G ) ≥ ℧ ^{k -1} ( G )> ℧ ^K ( G ) = 1

G = Ω _K ( G ) ≥ Ω _{k -1} ( G ) ≥ Ω _{K -2} ( G ) ≥ ... ≥ Ω ₂ ( G ) ≥ Ω ₁ ( G )> Ω ₀ ( G ) = 1

a serie są luźno ze sobą powiązane: Dla wszystkich i między 1 i K :

℧ ^I ( G ) ≤ Ω _{k - I} ( G ), ale

℧ ^{i -1} ( G ) nie jest zawarty w omów _{k - I} ( G ).

Zachowanie pod ilorazów i podgrup

Jeśli H ≤ G jest podgrupa o G i N ⊲ G jest normalnie podgrupy z G , a następnie:

• ℧ ^I ( H ) ≤ H ∩ ℧ ⁱ ( G )
• Ω _I ( H ) = H ∩ Ω _i ( G )
• ℧ ^I ( N ) ⊲ G
• Ω _I ( N ) ⊲ G
• ℧ ^I ( G / N ) = ℧ ⁱ ( G ), N / N
• Ω _i ( G / N ) ≥ Ω _i ( G ), N / N

Stosunek do innych ważnych podgrupach

• Soc ( G ) = Ω (Z ( G )), podgrupa składający się z elementów centralnego rzędu p jest cokół Soc ( G ), w G
• Φ ( G ) = ℧ ( G ) [ G , G ], podgrupa wygenerowanego przez p potęg i komutatorów jest podgrupa Frattini , Φ ( G ), w G .

Stosunki w klasach specjalnych grup

• W Abelowych p -group, lub bardziej ogólnie w regularny p -group:

| ℧ ^I ( G ) | ⋅ | Ω _i ( G ) | = | G |

[℧ ⁱ ( G ): ℧ ^{i + 1} ( G )] = [Ω _i ( G ): Ω _{i + 1} ( G )];

gdzie | H | jest zamówienie z H i [ H : K ] = | H | / | K | oznacza indeks podgrup K ≤ H .

Aplikacje

Pierwszy wniosek o omega i agemo podgrupy było wyciągnąć analogię regularnych p -grupy z abelian p -grupy w ( Hall 1933 ).

Grupy, w których Ω ( G ) ≤ Z ( G ) były badane przez Johna G. Thompson i widziałem kilka nowszych aplikacji.

Podwójny pojęcie grupy o [ G , G ] ≤ ℧ ( G ) nazywane są silnymi p grup i zostały wprowadzone Avinoam Mann . Grupy te są krytyczne dla potwierdzenia tych przypuszczeń coclass wprowadzających ważnym sposobem rozumieć strukturę i klasyfikacji skończonych s -grupy.

Referencje

• Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A .; Segal, D. (1991), analityczne pro-p-grupy , Cambridge University Press , ISBN  0-521-39580-1 , MR  1152800
• Hall, Philip (1933), "Przyczynek do teorii grup kolejności prime-Power", Proceedings of London Mathematical Society , 36 : 29-95, doi : 10,1112 / PLMS / s2-36.1.29
• Leedham-Green CR ; McKay, Susan (2002), Struktura grup głównego celu zasilania , London Mathematical Society monografii. Nowa seria, 27 , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-853548-5 , MR  1918951
• McKay, Susan (2000), skończone p-grupy , Queen Mary Maths Notatki, 18 , University of London, ISBN  978-0-902480-17-9 , MR  1802994