Liczba pentatopów - Pentatope number

Wyprowadzenie liczb pentatopów z lewego trójkąta Pascala

Pentatope liczba jest liczbą w piątym komórki każdego wiersza trójkąt Pascala wychodząc z rzędu 5 okresie 1 4 6 4 1 , albo z lewej strony na prawą, albo ze strony prawej na lewą.

Kilka pierwszych tego typu liczb to:

1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210, 330, 495 , 715, 1001 , 1365 (sekwencja A000332 w OEIS )

Pentatope o długości bocznej 5 zawiera 70 3 sfer . Każda warstwa reprezentuje jedną z pierwszych pięciu liczb czworościennych . Na przykład dolna (zielona) warstwa zawiera łącznie 35 kulek .

Liczby pentatopów należą do klasy liczb figuralnych , które można przedstawić jako regularne, dyskretne wzory geometryczne.

Formuła

Wzór na n p liczba pentatope jest reprezentowany przez 4 wzrasta czynnikowe z N podzielone przez silnia 4:

${\ Displaystyle P_ {n} = {\ Frac {n ^ {\ overline {4}}} {4!}} = {\ Frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} { 24}}.}$

Liczby pentatopów można również przedstawić jako współczynniki dwumianowe :

${\ Displaystyle P_ {n} = {\ binom {n + 3} {4}},}$

która jest liczbą odrębnych poczwórnych, które można wybrać z n + 3 obiektów, i jest odczytywana na głos jako „ n plus trzy wybierz cztery”.

Nieruchomości

Dwie z każdych trzech liczb pentatopów są również liczbami pięciokątnymi . Mówiąc ściślej , (3 k - 2) liczba pentatopów jest zawsze ( 3 k ² - k / 2 ) th liczba pentagonalna, a (3 k - 1) ta liczba pentatopowa jest zawsze ( 3 k ² + k / 2 ) pentagonalna liczba. Liczba pentatopów (3 k ) jest uogólnioną liczbą pięciokątną otrzymaną z ujemnego indeksu - 3 k ² + k / 2 we wzorze na liczby pięciokątne. (Te wyrażenia zawsze dają liczby całkowite ).

Nieskończona suma z odwrotności wszystkich liczb pentatope jest 4 / 3 . Można to uzyskać za pomocą serii teleskopów .

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {4!} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}} = {\ Frac {4} { 3}}.}$

Liczby pentatopów można przedstawić jako sumę pierwszych n liczb czworościennych :

${\ Displaystyle P_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} Te_ {n},}$

i są również związane z liczbami czworościennymi:

${\ Displaystyle P_ {n} = {\ tfrac {1} {4}} (n + 3) Te_ {n}.}$

Żadna liczba pierwsza nie jest poprzednikiem liczby pentatopowej, a największą półpierwszą, która jest poprzednikiem liczby pentatopowej, jest 1819.

Podobnie, jedyne liczby pierwsze poprzedzające liczbę 6-simplex to 83 i 461.

Sprawdź liczby pentatopów

Możemy wyprowadzić ten test ze wzoru na n- tą liczbę pentatopową.

Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę całkowitą x , aby sprawdzić, czy jest to liczba pentatopowa, możemy obliczyć

${\ Displaystyle n = {\ Frac {{\ sqrt {5 + 4 {\ sqrt {24x + 1}}}} - 3} {2}}.}$

Liczba x jest pięciokątem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą naturalną . W takim przypadku x jest n- tą liczbą pentatopu.

Funkcja generująca

Funkcja generująca dla liczb pentatopów to

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {(1-x) ^ {5}}} = x + 5x ^ {2} + 15x ^ {3} + 35x ^ {4} + \ kropki.}$

Aplikacje

W biochemii liczby pentatopów reprezentują liczbę możliwych układów n różnych podjednostek polipeptydowych w tetramerycznym (tetraedrycznym) białku.

Bibliografia

Ten artykuł o numerze to skrót . Możesz pomóc Wikipedii, rozbudowując ją .

• v
• t
• mi