3-kulowy - 3-sphere

Rzut stereograficzny równoleżników hipersfery (czerwony), meridianów (niebieski) i hipermeridianów (zielony). Ponieważ ten rzut jest konforemny , krzywe przecinają się ze sobą prostopadle (w żółtych punktach) jak w 4D. Wszystkie krzywe są okręgami: krzywe, które przecinają ⟨0,0,0,1⟩ mają nieskończony promień (= linia prosta). Na tym zdjęciu cała przestrzeń 3D mapuje powierzchnię hipersfery, podczas gdy na poprzednim zdjęciu przestrzeń 3D zawierała cień hipersfery objętościowej.

Bezpośrednie rzutowanie 3-sfery na przestrzeń 3D i pokrytą siatką powierzchni, pokazującą strukturę jako stos sfer 3D ( 2-sfery )

W matematyce , A 3-kula jest wyższe wymiary analogiem dziedzinie . Może być osadzony w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jako zbiór punktów równoodległych od ustalonego punktu centralnego. Analogicznie do tego, jak granicą kuli w trzech wymiarach jest zwykła kula (lub 2- kulowa, dwuwymiarowa powierzchnia ), granicą kuli w czterech wymiarach jest 3-kula (obiekt o trzech wymiarach ). 3-sfera jest przykładem 3-rozmaitości i n- sfery .

Definicja

We współrzędnych , 3-sfera ze środkiem ( C ₀ , C ₁ , C ₂ , C ₃ ) i promieniem r jest zbiorem wszystkich punktów ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) w rzeczywistym, 4-wymiarowym spacja ( R ⁴ ) taka, że

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {3}(x_ {i}-C_ {i}) ^ {2} = (x_ {0}-C_ {0}) ^ {2} + (x_ { 1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2} .}$

3-kula wyśrodkowana na początku o promieniu 1 nazywana jest jednostką 3-kulową i zwykle oznaczana jest jako S ³ :

${\ Displaystyle S ^ {3} = \ lewo \ {(x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ w \ mathbb {R} ^ {4}: x_ {0} ^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\prawo\}.}$

Jest często korzystne do traktowania R ⁴ , ponieważ przestrzeń z 2 złożonych wymiarach ( C ² ) lub quaternions ( H ). Jednostka 3-sfera jest wtedy dana przez

${\ Displaystyle S ^ {3} = \ lewo \ {(z_ {1}, z_ {2}) \ w \ mathbb {C} ^ {2}: | z_ {1} | ^ {2} + | z_ { 2}|^{2}=1\prawo\}}$

lub

${\ Displaystyle S ^ {3} = \ lewo \ {q \ w \ mathbb {H}: \ | q \ | = 1 \ po prawej \}.}$

Ten opis jako quaternions z normą jednego identyfikuje 3-kuli z wersorów w kwaternion pierścienia podziału . Tak jak koło jednostkowe jest ważne dla płaskich współrzędnych biegunowych , tak 3-sfera jest ważna w widoku biegunowym 4-przestrzeni biorącej udział w mnożeniu kwaternionów. Zobacz rozkład polarny kwaternionów, aby poznać szczegóły tego rozwoju trójkuli. Ten pogląd na 3-sferę jest podstawą badań przestrzeni eliptycznej, jak rozwinął Georges Lemaître .

Nieruchomości

Podstawowe właściwości

Trójwymiarowa objętość powierzchni 3 kuli o promieniu r wynosi

${\ Displaystyle SV = 2 \ pi ^ {2} r ^ {3} \,}$

podczas gdy 4-wymiarowa hiperwolumen (zawartość 4-wymiarowego regionu ograniczonego przez 3-sferę) wynosi

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {2}} \ pi ^ {2} r ^ {4}.}$

Każde niepuste przecięcie 3 sfery z trójwymiarową hiperpłaszczyzną jest 2 sferą (chyba że hiperpłaszczyzna jest styczna do 3 sfery, w którym to przypadku przecięcie jest pojedynczym punktem). Gdy 3-sfera przechodzi przez daną trójwymiarową hiperpłaszczyznę, przecięcie zaczyna się jako punkt, a następnie staje się rosnącą 2-sferą, która osiąga swój maksymalny rozmiar, gdy hiperpłaszczyzna przecina „równik” 3-sfery. Następnie 2-kula kurczy się ponownie do jednego punktu, gdy 3-kula opuszcza hiperpłaszczyznę.

Właściwości topologiczne

Trójsfera to zwarta , połączona , trójwymiarowa rozmaitość bez granic. Jest też po prostu podłączony . Oznacza to, w szerokim tego słowa znaczeniu, że każda pętla lub okrągła ścieżka na 3-sferze może być stale zmniejszana do punktu bez opuszczania 3-sfery. Hipoteza Poincarégo okazały w 2003 roku przez Grigori Perelman przewiduje, że 3-Kula jest rozdzielacz tylko trójwymiarowy (do homeomorfizmu ) z tych właściwości.

3-Kula jest homeomorficzny do jednego punktu zwartego z R ³ . Ogólnie rzecz biorąc, każda przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna z 3-sferą, nazywana jest topologiczną 3-sferą .

Do grupy homologii z 3-zakresie są: H ₀ (S ³ , Z ) , a H ₃ (S ³ , Z ), oba nieskończony cykliczny , a H _i (S, ³ , Z ) = {0} dla wszystkich innych indeksy ja . Każda przestrzeń topologiczna z tymi grupami homologii jest znana jako 3-sfera homologii . Początkowo Poincaré przypuszczał, że wszystkie 3 sfery homologii są homeomorficzne z S ³ , ale potem sam skonstruował niehomeomorficzną sferę , obecnie znaną jako sfera homologii Poincarégo . Obecnie wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele sfer homologicznych. Na przykład wypełnienie Dehn ze spadkiem 1/nna dowolnym węźle w 3-sferze daje sferę homologii; zazwyczaj nie są one homeomorficzne z 3-sferą.

Jeśli chodzi o grupy homotopii , mamy π ₁ (S ³ ) = π ₂ (S ³ ) = {0} i π ₃ (S ³ ) jest nieskończenie cykliczne. Wszystkie grupy o wyższej homotopii ( k ≥ 4 ) są skończone abelami, ale poza tym nie mają dostrzegalnego wzorca. Aby uzyskać więcej dyskusji, zobacz grupy homotopii sfer .

Właściwości geometryczne

3-kula jest naturalnie gładka rura rozgałęźna , w rzeczywistości, zamknięty osadzony podrozmaitością z R ⁴ . Euklidesowa metrycznych na R ⁴ indukuje metrycznych na 3-dziedzinie daje to strukturę Riemanna kolektora . Podobnie jak w przypadku wszystkich sfer, 3-kula ma stałą dodatnią krzywiznę przekroju równą1/r ²gdzie r jest promieniem.

Wiele z interesującej geometrii 3-sfery wynika z faktu, że 3-sfera ma naturalną strukturę grupy Liego określoną przez mnożenie kwaternionów (patrz sekcja poniżej o strukturze grup ). Jedyne inne sfery o takiej strukturze to sfera 0 i sfera 1 (patrz grupa kół ).

W przeciwieństwie do 2-sfery, 3-sfera dopuszcza nieznikające pola wektorowe ( odcinki jej wiązki stycznej ). Można nawet znaleźć trzy liniowo niezależne i nieznikające pola wektorowe. Mogą to być dowolne lewostronne pola wektorowe stanowiące podstawę algebry Liego dla 3-sfery. Oznacza to, że 3-sfera jest paralelizowalna . Wynika z tego, że wiązka styczna 3 sfery jest trywialna . Ogólne omówienie liczby liniowych niezależnych pól wektorowych na n- sferze znajduje się w artykule Pola wektorowe na sferach .

Interesujący jest działanie w grupie koło T na S ³ daje 3-sfera strukturę głównej wiązki okręgu zwanym pakiecie Hopf . Jeśli myślimy o S ³ jako o podzbiorze C ² , akcja jest dana przez

${\ Displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ cdot \ lambda = (z_ {1} \ lambda, z_ {2} \ lambda ) \ quad \ forall \ lambda \ w \ mathbb {T}}$.

Przestrzeń orbity tego działania jest homeomorficzna z dwukulową S ² . Ponieważ S ³ nie jest homeomorficzny do S ² × S ¹ , wiązka Hopfa nie jest trywialna.

Konstrukcja topologiczna

Istnieje kilka znanych konstrukcji trójsfery. Tutaj opisujemy sklejenie pary trzech kulek, a następnie zagęszczenie jednopunktowe.

Klejenie

Trójkulę można zbudować topologicznie , „sklejając” ze sobą granice pary trzech kulek . Granica 3-kula to 2-kula i te dwie 2-sfery należy zidentyfikować. To znaczy, wyobraź sobie parę 3-kul tego samego rozmiaru, a następnie nałóż je tak, aby ich granice 2-kulowe pasowały, i niech pasujące pary punktów na parze 2-kul będą identyczne. Analogicznie do przypadku 2-sfery (patrz niżej), powierzchnia klejenia nazywana jest sferą równikową.

Zwróć uwagę, że wnętrza 3 kulek nie są ze sobą sklejone. Jednym ze sposobów myślenia o czwartym wymiarze jest ciągła, realizowana funkcja trójwymiarowych współrzędnych trójwymiaru, być może uważana za „temperaturę”. Przyjmujemy, że „temperatura” wzdłuż 2 kuli klejącej wynosi zero i niech jedna z 3 kulek będzie „gorąca”, a druga 3-kulka będzie „zimna”. „Gorąca” trójka może być traktowana jako „górna półkula”, a „zimna” trójka może być uważana za „dolną półkulę”. Temperatura jest najwyższa/najniższa w środkach dwóch 3-kul.

Ta konstrukcja jest analogiczna do konstrukcji 2-sfery, wykonywanej przez sklejenie granic pary dysków. Dysk to 2-kula, a granicą dysku jest okrąg (1-kula). Niech para dysków będzie miała tę samą średnicę. Nałóż je i przyklej odpowiednie punkty na ich granicach. Znowu można myśleć o trzecim wymiarze jako o temperaturze. Podobnie możemy nadmuchać 2-sferę, przesuwając parę dysków, aby stały się półkulą północną i południową.

Zagęszczanie jednopunktowe

Po usunięciu pojedynczego punktu z 2-sfery, to, co pozostaje, jest homeomorficzne względem płaszczyzny euklidesowej. W ten sam sposób usunięcie pojedynczego punktu z 3-sfery daje trójwymiarową przestrzeń. Niezwykle użytecznym sposobem, aby to zobaczyć, jest projekcja stereograficzna . Najpierw opisujemy wersję niskowymiarową.

Połóż południowy biegun jednostki 2- sferowej na płaszczyźnie xy w trzech przestrzeniach. Mapujemy punkt P kuli (minus biegun północny N ) na płaszczyznę, wysyłając P do przecięcia linii NP z płaszczyzną. Rzut stereograficzny 3-sfery (ponownie usuwając biegun północny) odwzorowuje trójwymiarową przestrzeń w ten sam sposób. (Zauważ, że ponieważ projekcja stereograficzna jest konforemna , okrągłe kule są wysyłane do okrągłych kul lub do płaszczyzn.)

Nieco innym sposobem myślenia o zagęszczeniu jednopunktowym jest użycie mapy wykładniczej . Wracając do naszego obrazu jednostki dwusferowej znajdującej się na płaszczyźnie euklidesowej: Rozważmy geodezę w płaszczyźnie, opartą na początku i przypisz ją do geodezyjnej w dwusferze o tej samej długości, opartej na biegunie południowym. Pod tą mapą wszystkie punkty okręgu o promieniu π są wysyłane na biegun północny. Ponieważ dysk jednostki otwartej jest homeomorficzny z płaszczyzną euklidesową, jest to ponownie jednopunktowe zagęszczenie.

Podobnie skonstruowana jest mapa wykładnicza dla 3-sfery; można to również omówić, używając faktu, że 3-sfera jest grupą Liego kwaternionów jednostkowych.

Układy współrzędnych na 3-sferze

Cztery współrzędne euklidesowe dla S ³ są zbędne, ponieważ podlegają warunkowi, że x ₀ ² + x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² = 1 . Jako trójwymiarowa rozmaitość powinna być w stanie sparametryzować S ³ trzema współrzędnymi, tak jak można sparametryzować 2-sferę za pomocą dwóch współrzędnych (takich jak szerokość i długość geograficzna ). Ze względu na nietrywialną topologię S ³ niemożliwe jest znalezienie pojedynczego zestawu współrzędnych obejmującego całą przestrzeń. Podobnie jak na 2-sferze, należy użyć co najmniej dwóch wykresów współrzędnych . Poniżej podano kilka różnych możliwości wyboru współrzędnych.

Współrzędne hipersferyczne

Wygodnie jest mieć jakieś hipersferyczne współrzędne na S ³ w analogii do zwykłych sferycznych współrzędnych na S ² . Jednym z takich wyborów — bynajmniej nie unikalnym — jest użycie ( ψ , θ , φ ) , gdzie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x_ {0} i = r \ cos \ psi \ \ x_ {1} i = r \ sin \ psi \ cos \ theta \ \ x_ {2} i = r \ sin \ psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}}$

gdzie ψ i θ przejechany zakresie od 0 do gatunku , a cp biegnie ponad 0 do 2 π . Zauważ, że dla dowolnej stałej wartości ψ , θ i φ parametryzują 2-sferę o promieniu r sin ψ , z wyjątkiem przypadków zdegenerowanych, gdy ψ jest równe 0 lub π , w którym to przypadku opisują one punkt.

Runda metryczny na 3-kuli w tych współrzędnych jest dana przez

${\ Displaystyle ds ^ {2} = r ^ {2} \ lewo [d \ psi ^ {2} + \ sin ^ {2} \ psi \ lewo (d \ teta ^ {2} + \ sin ^ {2}) \theta \,d\varphi ^{2}\prawo)\prawo]}$

i forma objętości przez

${\ Displaystyle dV = r ^ {3} \ lewo (\ sin ^ {2} \ psi \, \ sin \ theta \ prawo) \ d \ psi \ klin d \ theta \ klin d \ varphi.}$

Współrzędne te mają elegancki opis pod względem kwaternionów . Dowolny kwaternion jednostkowy q można zapisać jako wersor :

${\ Displaystyle q = e ^ {\ tau \ psi} = \ cos \ psi + \ tau \ sin \ psi}$

gdzie τ jest jednostką urojoną kwaternionem ; czyli kwaternion, który spełnia τ ² = -1 . Jest to czwartorzędowy analog wzoru Eulera . Teraz urojone kwaterniony jednostkowe leżą na jednostce 2-sfera w Im H, więc każdy taki τ może być zapisany:

${\ Displaystyle \ tau = (\ cos \ theta ) ja + (\ sin \ theta \ cos \ varphi ) j + (\ sin \ theta \ sin \ varphi ) k}$

Z τ w tej postaci, kwaternion jednostkowy q jest dany przez

${\displaystyle q=e^{\tau\psi}=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$

gdzie x _0,1,2,3 są jak wyżej.

Kiedy q jest używane do opisu rotacji przestrzennych (por. kwaterniony i rotacje przestrzenne ), opisuje obrót wokół τ o kąt 2 ψ .

Współrzędne Hopfa

Hopf fibration można uwidocznić używając stereograficznej występ z S ³ do R ³ , a następnie sprasowywanie R ³ do piłki. Ten obraz przedstawia punkty na S ² i odpowiadające im włókna o tym samym kolorze.

Dla promienia jednostkowego inny wybór współrzędnych hipersferycznych ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) wykorzystuje osadzenie S ³ w C ² . We współrzędnych zespolonych ( z ₁ , z ₂ ) ∈ C ² piszemy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} z_ {1} i = e ^ {i \ \ xi _ {1}} \ sin \ eta \ \ z_ {2} i = e ^ {i \ \ xi _ { 2}}\cos \eta .\end{wyrównany}}}$

Można to również wyrazić w R ⁴ jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x_ {0}& = \ cos \ xi _ {1} \ sin \ \ \ x_ {1} & = \ sin \ xi _ {1} \ sin \ eta \ \ x_ {2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}$

Tutaj η biegnie w zakresie od 0 doπ/2, a ξ ₁ i ξ ₂ mogą przyjmować dowolne wartości z zakresu od 0 do 2 π . Współrzędne te są przydatne w opisie 3-sfery jako wiązki Hopfa

${\ Displaystyle S ^ {1} \ do S ^ {3} \ do S ^ {2}. \,}$

Diagram przedstawiający poloidalnych ( Ę ₁ ) w kierunku, reprezentowany przez czerwony strzałkę i toroidalnych ( Ę, ₂ ) w kierunku, reprezentowany przez niebieską strzałką, chociaż terminy poloidalnych i toroidalne są przypadkowe w tej płaskiej torusa przypadku.

Dla dowolnej stałej wartości η od 0 doπ/2, współrzędne ( ξ ₁ , ξ ₂ ) parametryzują dwuwymiarowy torus . Pierścienie o stałych ξ ₁ i ξ ₂ powyżej tworzą proste prostopadłe siatki na torach. Zobacz obrazek po prawej. W przypadkach zdegenerowanych, gdy η jest równe 0 lubπ/2te współrzędne opisują okrąg .

Okrągła metryka na 3-sferze w tych współrzędnych jest dana przez

${\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ eta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ eta \ d \ xi _ {1} {2} + \ cos ^ {2} \ eta \ d \xi _{2}^{2}}$

i forma objętości przez

${\ Displaystyle dV = \ sin \ eta \ cos \ eta \ d \ eta \ klin d \ xi _ {1} \ klin d \ xi _ {2}.}$

Aby uzyskać zazębiające się kręgi rozwłóknienia Hopfa , wykonaj proste podstawienie w powyższych równaniach

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} z_ {1} i = e ^ {i \ (\ xi _ {1} + \ xi _ {2})} \ sin \ eta \ \ z_ {2} i = e ^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{wyrównany}}}$

W tym przypadku η i ξ ₁ określają, który okrąg, a ξ ₂ określa położenie wzdłuż każdego okręgu. Jedna podróż w obie strony (0 do 2 π ) ξ ₁ lub ξ ₂ oznacza podróż w obie strony torusa w 2 odpowiednich kierunkach.

Współrzędne stereograficzne

Innym wygodny zestaw współrzędnych można otrzymać stereograficznego z S ³ z biegunem na odpowiednim równikowej R ³ hiperpłaszczyznę . Na przykład, jeśli rzutujemy z punktu (−1, 0, 0, 0) możemy zapisać punkt p w S ³ jako

${\ Displaystyle p = \ lewo ({\ Frac {1-\ | u \ | ^ {2}} {1 + \ | u \ | ^ {2}}} {\ Frac {2 \ mathbf {u}}} {1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}$

gdzie u = ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) jest wektorem w R ³ i || u || ² = u ₁ ² + u ₂ ² + u ₃ ² . W drugiej równości powyżej zidentyfikowaliśmy p z kwaternionem jednostkowym i u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ k z czystym kwaternionem. (Zauważ, że licznik i mianownik przechodzą tutaj, mimo że mnożenie czwartorzędowe jest generalnie nieprzemienne). Odwrotność tego odwzorowania przyjmuje p = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) w S ³ do

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ Frac {1} {1 + x_ {0}}} \ po lewej (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ po prawej).}$

Równie dobrze moglibyśmy przeprowadzić rzutowanie z punktu (1, 0, 0, 0) , w którym to przypadku punkt p jest dany przez

${\ Displaystyle p = \ lewo ({\ Frac {-1 + \ | v \ | ^ {2}} {1 + \ | v \ | ^ {2}}} {\ Frac {2 \ mathbf {v}} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}$

gdzie v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) jest innym wektorem w R ³ . Odwrotność tej mapy zajmuje p to

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ Frac {1} {1-x_ {0}}} \ lewo (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ po prawej).}$

Zauważ, że współrzędne u są zdefiniowane wszędzie oprócz (−1, 0, 0, 0), a współrzędne v wszędzie oprócz (1, 0, 0, 0) . Definiuje to atlas na S ³ składający się z dwóch wykresów współrzędnych lub „łatek”, które razem obejmują całość S ³ . Zauważ, że funkcja przejścia między tymi dwoma wykresami na ich nakładaniu się jest podana przez

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ Frac {1} {\ | u \ | ^ {2}}} \ mathbf {u}}$

i wzajemnie.

Struktura grupy

Rozważany jako zbiór kwaternionów jednostkowych , S ³ dziedziczy ważną strukturę, a mianowicie mnożenie kwaternionowe. Ponieważ zbiór kwaternionów jednostkowych jest domknięty przy mnożeniu, S ³ przyjmuje strukturę grupy . Co więcej, ponieważ mnożenie czwartorzędowe jest gładkie , S ³ można uznać za rzeczywistą grupę Liego . Jest to nieabelowa , zwarta grupa Liego o wymiarze 3. Gdy myślimy o grupie Liego S ³ jest często oznaczana jako Sp(1) lub U(1, H ) .

Okazuje się, że jedynymi sferami, które dopuszczają strukturę grupy Liego, są S ¹ , traktowane jako zbiór jednostkowych liczb zespolonych , oraz S ³ , zbiór jednostkowych kwaternionów (Przypadek zdegenerowany S ^0, który składa się z liczb rzeczywistych 1 i -1 to także grupa Liego, aczkolwiek 0-wymiarowa). Można by pomyśleć, że S ⁷ , zbiór jednostek oktonów , utworzyłby grupę Liego, ale to się nie udaje, ponieważ mnożenie oktonów jest nieasocjacyjne . Struktura oktoniczna daje S ⁷ jedną ważną właściwość: równoległość . Okazuje się, że jedyne sfery, które można zrównoleglić to S ¹ , S ³ i S ⁷ .

Stosując macierzową reprezentację kwaternionów H , otrzymuje się macierzową reprezentację S ³ . Jeden wygodny wybór dają matryce Pauli :

${\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\mapsto {\początek{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}$

Ta mapa daje injective matematycznego homomorfizm od H do zestawu 2 x 2 złożonych macierzy. To ma tę właściwość, że wartość bezwzględna z kwaternionów q jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z determinantą obrazu matrycy q .

Zbiór kwaternionów jednostkowych jest wtedy podany przez macierze powyższej postaci z wyznacznikiem jednostkowym. Ta podgrupa macierzowa to właśnie specjalna grupa unitarna SU(2) . Tak więc, S ³ jak grupa Lie izomorficzne z su (2) .

Używając naszych współrzędnych Hopf ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) możemy następnie zapisać dowolny element SU(2) w postaci

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} e ^ {i \ \ xi _ {1}} \ sin \ eta & e ^ {i \ \ xi _ {2}} \ cos \ eta \ \ - e ^ {- i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.}$

Innym sposobem wyrażenia tego wyniku jest wyrażenie macierzowej reprezentacji elementu SU(2) jako wykładnika liniowej kombinacji macierzy Pauliego. Widać, że dowolny element U ∈ SU(2) można zapisać jako

${\ Displaystyle U = exp \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {3} \ alfa _ {i} J_ {i} \ po prawej).}$

Warunek, że wyznacznik U wynosi +1, implikuje, że współczynniki α ₁ muszą leżeć na 3 sferze.

W literaturze

W Edwin Abbott Abbott jest Flatlandzie , opublikowane w 1884 roku, oraz w Sphereland , 1965 kontynuacji Flatlandzie przez Dionys Burger , 3-kula jest nazywany oversphere i 4 Kula jest nazywany hypersphere .

Pisząc w American Journal of Physics , Mark A. Peterson opisuje trzy różne sposoby wizualizacji 3 sfer i wskazuje na język w Boskiej komedii, który sugeruje, że Dante postrzegał Wszechświat w ten sam sposób; Carlo Rovelli popiera ten sam pomysł.

W Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension Stephen L. Lipscomb rozwija koncepcję wymiarów hipersfery w odniesieniu do sztuki, architektury i matematyki.

Zobacz też

• 1-kula , 2-kula , n -kula
• tesseract , polichoron , simplex
• Matryce Pauliego
• grupa rotacyjna SO(3)
  • wykresy na SO(3)
  • kwaterniony i rotacje przestrzenne
• Wiązka Hopfa , kula Riemanna
• Kula Poincare
• Foliowanie Reeb
• Torus Clifforda

Bibliografia

• David W. Henderson , Doświadczanie geometrii: w przestrzeniach euklidesowych, sferycznych i hiperbolicznych, wydanie drugie , 2001, [1] (Rozdział 20: 3-sfery i hiperboliczne 3-przestrzenie).
• Jeffrey R. tygodnie , Kształt przestrzeni Jak uwidocznienia powierzchnie i trójwymiarowy sekcjami , 1985 ( [2] ) (Rozdział 14: Hypersphere) (mówi: Ostrzeżenie terminologii: nasze dwa kula jest określona w trzech -wymiarowa przestrzeń, gdzie jest granicą trójwymiarowej kuli. Ta terminologia jest powszechna wśród matematyków, ale nie wśród fizyków. Więc nie zdziw się, jeśli znajdziesz ludzi, którzy nazywają dwusferę trójsferą. )
• Zamboj Michał (8 I 2021). „Syntetyczna konstrukcja rozwłóknienia Hopfa w podwójnym rzucie ortogonalnym 4-przestrzeni”. arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Hipersfera” . MatematykaŚwiat . Uwaga : Ten artykuł używa alternatywnego schematu nazewnictwa sfer, w których sfera w n- wymiarowej przestrzeni jest nazywana n- sferą.