Wartość główna - Principal value

W matematyce , szczególnie złożonej analizy , gdy podstawowe wartości o wielowartościowego funkcji są wartościami wzdłuż jednej wybranej branży tej funkcji , tak że jest jednowartościowa . Najprostszym przypadkiem jest wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z dodatniej liczby rzeczywistej . Na przykład 4 ma dwa pierwiastki kwadratowe: 2 i -2; z nich pierwiastek dodatni, 2, jest uważany za pierwiastek główny i jest oznaczony jako ${\ Displaystyle {\ sqrt {4}}.}$

Motywacja

Rozważmy złożoną funkcję logarytmiczną log z . Definiuje się ją jako liczbę zespoloną w taką, że

{\ Displaystyle e ^ {w} = z.}

Teraz na przykład powiedzmy, że chcemy znaleźć log i . Oznacza to, że chcemy rozwiązać

{\ Displaystyle e ^ {w} = i}

dla w . Oczywiście i π/2 jest rozwiązaniem. Ale czy to jedyne rozwiązanie?

Oczywiście istnieją inne rozwiązania, o czym świadczy uwzględnienie położenia i na płaszczyźnie zespolonej, aw szczególności jej argumentu arg i . Możemy początkowo obrócić o π/2 radiany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od 1, aby osiągnąć i , ale jeśli obrócimy dalej o kolejne 2 π, ponownie dojdziemy do i . Możemy więc wywnioskować, że i (π/2 + 2π) jest również rozwiązaniem dla log i . Staje się jasne, że możemy dodać dowolną wielokrotność 2π i do naszego początkowego rozwiązania, aby otrzymać wszystkie wartości log i .

Ma to jednak konsekwencję, która może być zaskakująca w porównaniu z funkcjami o wartościach rzeczywistych: log i nie ma jednej określonej wartości. Dla log z mamy

{\ Displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + ja \ lewo (\ operator {arg} \ z \ prawo) = \ ln {| z |} + ja \ lewo (\ operator {Arg} \ z+2\pi k\prawo)}

dla liczby całkowitej k , gdzie Arg z jest (głównym) argumentem z zdefiniowanym jako leżący w przedziale . Ponieważ główny argument jest unikalny dla danej liczby zespolonej z , nie jest zawarty w przedziale. Każda wartość k określa tak zwaną gałąź (lub arkusz ), jednowartościowy składnik wielowartościowej funkcji logarytmicznej. $(-\pi ,\ \pi ]$ $-\pi$

Gałąź odpowiadająca k = 0 jest znana jako gałąź główna , a wzdłuż tej gałęzi wartości przyjmowane przez funkcję są znane jako wartości główne .

Sprawa ogólna

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli f ( z ) jest wielowartościowe, główna gałąź f jest oznaczona

{\ Displaystyle \ operatorname {pv} \ f (z)}

takie, że dla Z w domenie z F , PV F ( z ) jest jednowartościowa.

Podstawowe wartości funkcji standardowych

Złożone funkcje elementarne o wartościach złożonych mogą mieć wiele wartości w niektórych dziedzinach. Główną wartość niektórych z tych funkcji można uzyskać, rozkładając funkcję na prostsze, dzięki czemu główną wartość funkcji prostych można łatwo uzyskać.

Funkcja logarytmiczna

Zbadaliśmy powyższą funkcję logarytmiczną , tj.

{\ Displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + ja \ lewo (\ operator {arg} \ z \ po prawej).}

Teraz arg z jest wewnętrznie wielowartościowy. Często definiuje się argument jakiejś liczby zespolonej jako pomiędzy (wyłącznym) a (włącznym), więc bierzemy to za główną wartość argumentu i piszemy funkcję argumentu na tej gałęzi Arg z (z wiodącym kapitałem A ). Używając Arg z zamiast arg z , otrzymujemy główną wartość logarytmu i piszemy $-\pi$ $\pi$