Główny oddział - Principal branch

W matematyce , A główny oddział jest funkcją, która wybiera jeden oddział ( „slice”) danej funkcji wielowartościowym . Najczęściej dotyczy to funkcji zdefiniowanych na płaszczyźnie zespolonej .

Przykłady

Odwrotności trygonometryczne

Główne gałęzie są używane w definicji wielu odwrotnych funkcji trygonometrycznych , takich jak wybór, który to definiuje

${\ Displaystyle \ arcsin: [- 1, + 1] \ rightarrow \ lewo [- {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ prawej]}$

albo to

${\ Displaystyle \ arccos: [- 1, + 1] \ rightarrow [0, \ pi]}$ .

Potęgowanie do potęg ułamkowych

Bardziej znaną funkcją głównej gałęzi, ograniczoną do liczb rzeczywistych, jest dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi 1/2 .

Na przykład weźmy relację y = x ^1/2 , gdzie x jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.

Zależność tę może spełnić dowolna wartość y równa pierwiastkowi kwadratowemu z x (dodatnia lub ujemna). Zgodnie z konwencją, √ x jest używane do oznaczania dodatniego pierwiastka kwadratowego z x .

W tym przypadku dodatnia funkcja pierwiastka kwadratowego jest traktowana jako główna gałąź relacji wielowartościowej x ^1/2 .

Złożone logarytmy

Jednym ze sposobów wyświetlenia gałęzi głównej jest przyjrzenie się konkretnie funkcji wykładniczej i logarytmowi , tak jak jest to zdefiniowane w analizie złożonej .

Funkcja wykładnicza jest jednowartościowa, gdzie e ^z definiuje się jako:

${\ displaystyle e ^ {z} = e ^ {a} \ cos b + ie ^ {a} \ sin b}$

gdzie . ${\ displaystyle z = a + ib}$

Jednak okresowy charakter zaangażowanych funkcji trygonometrycznych jasno pokazuje, że logarytm nie jest tak jednoznacznie określony. Jednym ze sposobów, aby to zobaczyć, jest spojrzenie na następujące kwestie:

${\ displaystyle \ operatorname {Re} (\ log z) = \ log {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

i

${\ displaystyle \ operatorname {im} (\ log z) = \ operatorname {atan2} (b, a) +2 \ pi k}$

gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, a atan2 kontynuuje wartości arctg (B / A) -function z ich zakresu wartości podstawowej , co odpowiada w głównej zakres wartości Arg (z) -function obejmujące wszystkie cztery ćwiartki w płaszczyźnie zespolonej . ${\ Displaystyle (- \ pi / 2, \; \ pi / 2]}$${\ displaystyle a> 0}$${\ Displaystyle (- \ pi, \; \ pi]}$

Każda liczba log z zdefiniowana przez takie kryteria ma właściwość e ^{log z} = z .

W ten sposób funkcja dziennika jest funkcją wielowartościową (często określaną jako „wielofunkcyjna” w kontekście złożonej analizy). Cięcie gałęzi, zwykle wzdłuż ujemnej osi rzeczywistej, może ograniczyć część urojoną, tak aby znajdowała się między −π a π . Oto wybrane główne wartości .

To jest główna gałąź funkcji dziennika. Często jest definiowany za pomocą dużej litery, Log z .

Zobacz też

• Punkt rozgałęzienia
• Cięcie gałęzi
• Złożony logarytm
• Powierzchnia Riemanna

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. "Główny oddział" . MathWorld .
• Moduł Branches of Complex Functions, autor: John H. Mathews