Aksjomaty prawdopodobieństwa - Probability axioms
Część serii o statystykach |
Teoria prawdopodobieństwa |
---|
Te aksjomaty Kołmogorowa są fundamenty teorii prawdopodobieństwa wprowadzone przez Andrieja Kołmogorowa w roku 1933. Te aksjomaty pozostaną centralny i mają bezpośredni wkład do matematyki, nauk fizycznych i rzeczywistych przypadkach prawdopodobieństwa. Alternatywnym podejściem do formalizowania prawdopodobieństwa, preferowanym przez niektórych bayesowców , jest twierdzenie Coxa .
Aksjomaty
Założenia dotyczące ustalenia aksjomatów można podsumować następująco: Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią miary, w której będzie prawdopodobieństwem jakiegoś zdarzenia E , oraz . Wtedy (Ω, F , P ) jest przestrzenią prawdopodobieństwa , z przestrzenią próbek Ω, przestrzenią zdarzeń F i miarą prawdopodobieństwa P .
Pierwszy aksjomat
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest nieujemną liczbą rzeczywistą:
gdzie jest przestrzeń wydarzenia. Wynika z tego, że jest zawsze skończony, w przeciwieństwie do bardziej ogólnej teorii miary . Teorie, które przypisują prawdopodobieństwo ujemne, rozluźniają pierwszy aksjomat.
Drugi aksjomat
Jest to założenie miary jednostkowej : prawdopodobieństwo wystąpienia przynajmniej jednego zdarzenia elementarnego w całej przestrzeni próbki wynosi 1
Trzeci aksjomat
To jest założenie σ-addytywności :
- Dowolna policzalna sekwencja rozłącznych zbiorów (jednoznaczna z wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami) spełnia
Niektórzy autorzy rozważają jedynie skończenie addytywne przestrzenie prawdopodobieństwa, w którym to przypadku wystarczy algebry zbiorów , a nie σ-algebry . Rozkłady quasi-prawdopodobieństwa ogólnie rozluźniają trzeci aksjomat.
Konsekwencje
Z aksjomatów Kołmogorowa można wywnioskować inne przydatne zasady badania prawdopodobieństw. Dowody tych reguł są bardzo wnikliwą procedurą, która ilustruje moc trzeciego aksjomatu i jego interakcję z pozostałymi dwoma aksjomatami. Poniżej przedstawiono cztery bezpośrednie następstwa i ich dowody:
Monotoniczność
Jeśli A jest podzbiorem lub równym B, to prawdopodobieństwo A jest mniejsze lub równe prawdopodobieństwu B.
Dowód monotonii
W celu weryfikacji własności monotoniczności ustawiamy i , gdzie i dla . Z właściwości pustego zbioru ( ) łatwo zauważyć, że zbiory są parami rozłączne i . Stąd z trzeciego aksjomatu otrzymujemy, że:
Ponieważ zgodnie z pierwszym aksjomatem lewa strona tego równania jest szeregiem liczb nieujemnych i ponieważ zbiega się do której jest skończona, otrzymujemy zarówno i .
Prawdopodobieństwo pustego zbioru
W niektórych przypadkach nie jest to jedyne zdarzenie z prawdopodobieństwem 0.
Dowód prawdopodobieństwa pustego zbioru
Jak pokazano w poprzednim dowodzie, . Stwierdzenie to można udowodnić przez sprzeczność: jeśli wtedy lewa strona jest nieskończona;
Jeśli mamy sprzeczność, bo lewa strona jest nieskończona, podczas gdy musi być skończona (z pierwszego aksjomatu). Tak więc . Jako produkt uboczny dowodu monotoniczności wykazaliśmy, że .
Reguła dopełnienia
Dowód zasady dopełnienia
Biorąc pod uwagę i wzajemnie się wykluczają oraz że :
... (przez aksjomat 3)
i ... (przez aksjomat 2)
Ograniczenie liczbowe
Z właściwości monotoniczności wynika od razu, że:
Dowód wiązania liczbowego
Biorąc pod uwagę zasadę dopełnienia i aksjomat 1 :
Dalsze konsekwencje
Kolejną ważną właściwością jest:
Nazywa się to prawem dodawania prawdopodobieństwa lub regułą sumy. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w A lub B jest sumą prawdopodobieństwa zdarzenia w A i prawdopodobieństwa zdarzenia w B minus prawdopodobieństwo zdarzenia, które występuje zarówno w A, jak i B . Dowodem na to jest:
Po pierwsze,
- ... (przez Aksjomat 3)
Więc,
- (przez ).
Także,
a wyeliminowanie z obu równań daje nam pożądany rezultat.
Rozszerzeniem prawa dodawania na dowolną liczbę zbiorów jest zasada włączenia-wykluczenia .
Ustawienie B do dopełnienia A c z A w prawie dodawania daje
Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że jakiekolwiek zdarzenie się nie wydarzy (lub dopełnienie zdarzenia ) wynosi 1 minus prawdopodobieństwo, że tak się stanie.
Prosty przykład: rzut monetą
Rozważ pojedynczy rzut monetą i załóż, że moneta wyląduje orłem (H) lub reszka (T) (ale nie obydwoma). Nie zakłada się, że moneta jest uczciwa.
Możemy zdefiniować:
Z aksjomatów Kołmogorowa wynika, że:
Prawdopodobieństwo ani głowy , ani ogona, to 0.
Prawdopodobieństwo albo głów lub ogonów, to 1.
Suma prawdopodobieństwa orłów i reszek wynosi 1.
Zobacz też
- Algebra borelowska
- Warunkowe prawdopodobieństwo
- W pełni probabilistyczny projekt
- Intuicyjne statystyki
- Quasi-prawdopodobieństwo
- Teoria mnogości – dział matematyki badający zbiory
- σ-algebra
Bibliografia
Dalsza lektura
- DeGroot, Morris H. (1975). Prawdopodobieństwo i statystyka . Czytanie: Addison-Wesley. s. 12–16 . Numer ISBN 0-201-01503-X.
- McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). „Prawdopodobieństwo aksjomatyczne” . Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa . Nowy Jork: Macmillan. s. 13–28 .
- Formalna definicja prawdopodobieństwa w systemie Mizar oraz lista twierdzeń formalnie o tym dowiodła.