Przepływ pulsacyjny - Pulsatile flow

W dynamice płynów przepływ z okresowymi zmianami znany jest jako przepływ pulsacyjny lub przepływ Womersleya . Profile przepływu zostały po raz pierwszy opracowane przez Johna R. Womersleya (1907-1958) w jego pracy z przepływem krwi w tętnicach . Układu krążenia system chordate zwierząt jest bardzo dobrym przykładem, w którym znajduje się pulsacyjny strumień, ale przepływ pulsacyjnego obserwuje się również w silnikach i układach hydraulicznych , w wyniku obracania mechanizm pompowania płynu.

Równanie

Przedstawiono cztery pulsacyjne profile przepływu w prostej rurce. Pierwszy wykres (na niebiesko) pokazuje gradient ciśnienia jako funkcję cosinusa, a pozostałe wykresy (na czerwono) pokazują bezwymiarowe profile prędkości dla różnych liczb Womersleya.

Pulsacyjny profil przepływu jest podany w prostej rurze przez

${\ Displaystyle u (r, t) = \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ suma _ {n = 0} ^ {N} {\ Frac {i \, P'_ {n}} {\ rho \, n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{ R}})}{J_{0}(\alfa \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\ ,,}$

gdzie:

ty	to prędkość przepływu wzdłużnego ,
r	jest współrzędną promieniową ,
T	jest czas ,
α	jest bezwymiarową liczbą Womersleya ,
ω	jest częstotliwość kątową z pierwszą harmoniczną o szeregu Fouriera wystąpienia oscylacyjny gradient ciśnienia ,
n	są liczbami naturalnymi ,
P' n	jest wielkością gradientu ciśnienia dla częstotliwości nω ,
ρ	jest gęstość płynu ,
μ	to lepkość dynamiczna ,
r	jest promień rury ,
J 0 (·)	jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju i rzędu zero,
i	jest liczbą urojoną , a
Odp.{· }	jest rzeczywistą częścią liczby zespolonej .

Nieruchomości

Numer Womersleya

Profil przepływu pulsacyjnego zmienia swój kształt w zależności od liczby Womersleya

${\ Displaystyle \ alfa = R \ lewo ({\ Frac {\ omega \ rho} {\ mu}} \ prawej) ^ {1/2} \,.}$

Dla , w przepływie dominują siły lepkości, a impuls jest uważany za quasi-statyczny o profilu parabolicznym. Dla , siły bezwładności dominują w centralnym jądrze, podczas gdy siły lepkości dominują w pobliżu warstwy przyściennej. W ten sposób profil prędkości zostaje spłaszczony, a faza pomiędzy falami ciśnienia i prędkości zostaje przesunięta w kierunku rdzenia. ${\displaystyle \alfa \lesssim 2}$${\ Displaystyle \ alfa \ GTrsim 2}$

Granice funkcji

Dolny limit

Funkcja Bessela na jej dolnej granicy staje się

${\ Displaystyle \ lim _ {z \ do \ infty} J_ {0} (z) = 1- {\ Frac {z ^ {2}} {4}} \,,}$

który zbiega się z profilem przepływu Hagena-Poiseuille'a dla stałego przepływu przez

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do 0} u (r, t) = - {\ Frac {P'_ {0}} {4 \ mu}} \ lewo (R ^ {2} -r ^ {2 }\dobrze)\,,}$

lub do impulsu quasi-statycznego o profilu parabolicznym, gdy

${\ Displaystyle \ lim _ {\ alfa \ do 0} u (r, t) = \ operatorname {Re} \ lewo \ {- \ suma _ {n = 0} ^ {N} {\ Frac {P'_ { n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N} {\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

W tym przypadku funkcja jest rzeczywista, ponieważ fale ciśnienia i prędkości są w fazie.

Górna granica

Funkcja Bessela w górnej granicy staje się

${\ Displaystyle \ lim _ {z \ do \ infty} J_ {0} (z \, i) = {\ Frac {e ^ {z}} {\ sqrt {2 \ pi \, z}}} \ ,, }$

który zbiega się do

${\ Displaystyle \ Lim _ {z \ do \ infty} u (r, t) = \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ suma _ {n = 0} ^ {N} {\ Frac {i \, P' _{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\ frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P '_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}} -1\prawo)}\prawo]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

Bardzo przypomina to warstwę Stokesa na oscylującej płaskiej płycie lub penetrację w głąb skóry zmiennego pola magnetycznego w przewodnik elektryczny. Na powierzchni , ale wykładniczy składnik staje się nieistotny, gdy staje się duży, profil prędkości staje się prawie stały i niezależny od lepkości. W ten sposób przepływ po prostu oscyluje w czasie jako profil korka zgodnie z gradientem ciśnienia, ${\ Displaystyle u (r = R, t) = 0}$${\ Displaystyle \ alfa (1-r/R)}$

${\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy t}} = - \ suma _ {n = 0} ^ {N} P'_ {n} \,.}$

Jednak w pobliżu ścian, w warstwie o grubości , prędkość szybko dostosowuje się do zera. Co więcej, faza oscylacji czasu zmienia się szybko wraz z położeniem w warstwie. Wykładniczy zanik wyższych częstotliwości jest szybszy. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ alfa ^ {-1})}$

Pochodzenie

Do wyprowadzenia rozwiązania analitycznego tego niestacjonarnego profilu prędkości przepływu przyjmuje się następujące założenia:

• Płyn jest jednorodny , nieściśliwy i newtonowski ;
• Ściana rury jest sztywna i okrągła ;
• Ruch jest laminarny , osiowosymetryczny i równoległy do ​​osi rury;
• Warunkami brzegowymi są: symetria osiowa w środku i brak poślizgu na ścianie;
• Gradient ciśnienia to funkcja okresowa, która napędza płyn;
• Grawitacja nie ma wpływu na płyn.

Zatem równanie Naviera-Stokesa i równanie ciągłości są uproszczone jako

${\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy t}} = - {\ Frac {\ częściowy p} {\ częściowy x}} + \ mu \ lewo ({\ Frac {\ częściowy ^ {2 }u}{\częściowy r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy u}{\częściowy r}}\right)\,}$

oraz

${\displaystyle {\frac {\częściowy u}{\częściowy x}}=0\,,}$

odpowiednio. Gradient ciśnienia napędzający przepływ pulsacyjny jest rozłożony w szereg Fouriera ,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy p} {\ częściowy x}} (t) = \ suma _ {n = 0} ^ {N} P'_ {n} e ^ {w \ omega t} \ ,, }$

gdzie jest liczbą urojoną , jest częstotliwością kątową pierwszej harmonicznej (tj. ) i są amplitudami każdej harmonicznej . Zauważ, że (oznaczające ) jest gradientem ciśnienia w stanie ustalonym, którego znak jest przeciwny do prędkości w stanie ustalonym (tj. gradient ciśnienia ujemnego daje przepływ dodatni). Podobnie profil prędkości jest również rozkładany w szeregi Fouriera w fazie z gradientem ciśnienia, ponieważ płyn jest nieściśliwy, ${\displaystyle i}$${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle P'_{n}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle P'_{0}}$${\displaystyle n=0}$

${\ Displaystyle u (r, t) = \ suma _ {n = 0} ^ {N} U_ {n} e ^ {w \ omega t} \ ,,}$

gdzie są amplitudy każdej harmonicznej funkcji okresowej, a składowa stała ( ) to po prostu przepływ Poiseuille'a${\ Displaystyle U_ {n}}$${\displaystyle n=0}$

${\ Displaystyle U_ {0} = - {\ Frac {P'_ {0}} {4 \ mu}} \ lewo (R ^ {2} -r ^ {2} \ prawej) \,.}$

Zatem równanie Naviera-Stokesa dla każdej harmonicznej brzmi jako

${\ Displaystyle ja \ rho n \ omega U_ {n} = - P'_ {n} + \ mu \ lewo ({\ Frac {\ częściowy ^ {2} U_ {n}} {\ częściowy r ^ {2} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy U_{n}}{\częściowy r}}\prawo)\,.}$

Po spełnieniu warunków brzegowych ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego zwyczajnego dla części oscylacyjnej ( ) wynosi ${\displaystyle n\geq 1}$

${\ Displaystyle U_ {n} (r) = A_ {n} \ J_ {0} \ lewo (\ alfa \ {\ Frac {R} {R}} n ^ {1/2} \ i ^ { 3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2 }\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

gdzie jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju i rzędu zerowego, jest funkcją Bessela drugiego rodzaju i rzędu zerowego, i są dowolnymi stałymi i jest bezwymiarową liczbą Womersleya . Axisymetic warunek brzegowy ( ) jest stosowana do wykazania, że na pochodną powyższego równania ważny, jak pochodne i podejście nieskończoności. Następnie warunek brzegowy przeciwpoślizgowej ściany ( ) daje . Stąd amplitudy profilu prędkości harmonicznej stają się ${\displaystyle J_{0}(\cdot)}$${\displaystyle Y_{0}(\cdot)}$${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle \ alfa = R \ surd (\ omega \ rho / \ mu)}$ ${\ Displaystyle \ częściowe U_ {n} / \ częściowe r | _ {r = 0} = 0}$${\ Displaystyle B_ {n} = 0}$${\displaystyle J_{0}'}$${\displaystyle Y_{0}'}$${\ Displaystyle U_ {n} (R) = 0}$${\ Displaystyle A_ {n} = - {\ Frac {i \, P'_ {n}} {\ rho \, n \, \ omega}} {\ Frac {1} {J_ {0} \ lewo (\ alfa \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle U_ {n} (r) = {\ Frac {i \, P'_ {n}} {\ rho \, n \, \ omega}} \ lewo [1-{\ Frac {J_{0} (\alfa \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alfa \,n^{1/ 2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{ \frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,}$

gdzie jest używany do uproszczenia. Sam profil prędkości uzyskuje się biorąc rzeczywistą część funkcji zespolonej wynikającej z sumowania wszystkich harmonicznych impulsu, ${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} = \ alfa \, n ^ {1/2} \ ja ^ {3/2}}$

${\ Displaystyle u (r, t) = {\ Frac {P'_ {0}} {4 \ mu}} \ lewo (R ^ {2}-r ^ {2} \ prawej) + \ operatorname {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{w\omega t}\prawo\}\,.}$

Przepływ

Natężenie przepływu uzyskuje się przez całkowanie pola prędkości na przekroju. Od,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ lewo [x ^ {p} J_ {p} (a \ x) \ prawo] = a \ x ^ {p} J_ {p-1} ( a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a \,x)\,,}$

następnie

${\ Displaystyle Q (t) = \ iint u (r, t) \ dA = \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ pi \ R ^ {2} \ \ suma _ {n = 1} ^ { N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\ frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

Profil prędkości

Skalowane profile prędkości przepływu pulsacyjnego są porównywane zgodnie z liczbą Womersleya.

Porównując kształt profilu prędkości można założyć, że

${\ Displaystyle u (r, t) = f (r) \ {\ Frac {Q (t)} {A}} \ ,,}$

gdzie

${\ Displaystyle f (r) = {\ Frac {u (r, t)} {\ Frac {Q (t)} {A}}} = \ operator {Re} \ lewo \ {\ suma _ {n = 1 }^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{ n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{ n})}}\w prawo]\w prawo\}}$

jest funkcją kształtu. Należy zauważyć, że to sformułowanie ignoruje efekty bezwładności. Profil prędkości jest zbliżony do profilu parabolicznego lub profilu czopowego, odpowiednio dla niskich lub wysokich liczb Womersleya.

Naprężenie ścinające ściany

W przypadku rur prostych naprężenie ścinające ściany wynosi

${\ Displaystyle \ tau _ {w} = \ mu \ lewo. {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy r}} \ prawo | _ {r = R} \}.$

Pochodną funkcji Bessela jest

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} \ lewo [x ^ {-p} J_ {-p} (a \ x) \ prawo] = a \ x ^ {-p} J_ {p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\częściowy x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\ ,J_{1}(a\,x)\,.}$

Stąd,

${\ Displaystyle \ tau _ {W} = \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ suma _ {n = 1} ^ {N} P'_ {n} {\ Frac {R} {\ Lambda _ {n} }}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{w\omega t}\right\}\,.}$

Prędkość w linii środkowej

Jeśli gradient ciśnienia nie jest mierzony, nadal można go uzyskać mierząc prędkość na linii środkowej. Zmierzona prędkość ma tylko rzeczywistą część pełnego wyrażenia w postaci ${\displaystyle P'_{n}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {u}} (t) = \ operatorname {Re} (u (0, t)) \ równoważnik \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ tylda {U}} _ { n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}$

Zauważając , że pełna fizyczna ekspresja staje się ${\displaystyle J_{0}(0)=1}$

${\ Displaystyle u (0, t) = \ operatorname {Re} \ lewo \ {\ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ Frac {i \, P'_ {n}} {\ rho \, n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{ w\omega t}\prawo\}}$

na linii środkowej. Zmierzoną prędkość porównuje się z pełnym wyrażeniem przez zastosowanie pewnych własności liczby zespolonej. Dla dowolnego iloczynu liczb zespolonych ( ) amplituda i faza mają odpowiednio relacje i . Stąd, ${\displaystyle C=AB}$${\displaystyle |C|=|A||B|}$${\ Displaystyle \ phi _ {C} = \ phi _ {A} + \ phi _ {B}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {U}} _ {n} = \ lewo | {\ Frac {i \, P'_ {n}} {\ rho \, n \, \ omega}} \ lewo [{\ Frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}= {\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_ {0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|}$

oraz

${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}} = 0 = \ phi _ {P'_ {n}} + \ phi _ {U_ {n}} \ quad \ strzałka w prawo \ quad \ _ {P _ {n} }}=\operatorname {faza} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n}) }{J_{0}(\Lambda _{n})}}\prawo]\prawo)\,,}$

które w końcu ustępują

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ rho}} {\ Frac {\ częściowy p} {\ częściowy x}} = \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ tylda {U}} _ { n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n })}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {faza} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\ ,.}$

Zobacz też

• Układu sercowo-naczyniowego
• Hemodynamika
• Numer Womersleya
• Młot płynny

Bibliografia