Kołczan (matematyka) - Quiver (mathematics)

W matematyce , A kołczan jest skierowany wykres gdzie pętle i wiele strzałki między dwoma wierzchołkami są dozwolone, to znaczy multidigraph . Są one powszechnie stosowane w teorii reprezentacji : reprezentacja V kołczanu przypisuje każdemu wierzchołkowi x kołczanu przestrzeń wektorową V ( x ), a każdej strzałce a odwzorowanie liniowe V ( a ) .

W teorii kategorii kołczan może być rozumiany jako podstawowa struktura kategorii , ale bez kompozycji lub oznaczenia morfizmów tożsamości. Oznacza to, że istnieje zapominalny funktor od Cat do Quiv . Jej lewe sprzężenie stanowi funktor wolny, który z kołczanu tworzy odpowiednią kategorię wolną .

Definicja

Kołczan Γ składa się z:

Zbiór V wierzchołków Γ
Zbiór E krawędzi Γ
Dwie funkcje: s : E → V podająca początek lub źródło krawędzi oraz inna funkcja t : E → V podająca cel krawędzi.

Ta definicja jest identyczna jak multidigraf .

Morfizmem z kołczanach jest zdefiniowany w następujący sposób. Jeśli i są dwoma kołczanami, to morfizm kołczanów składa się z dwóch funkcji i takich, że następujące diagramy przechodzą : ${\ Displaystyle \ Gamma = (V, E, s, t)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma '=(V',E',s',t')}$ ${\ Displaystyle m = (m_ {v}, m_ {e})}$ ${\ Displaystyle m_ {v}: V \ do V'}$ ${\ Displaystyle m_ {e}: E \ do E'}$

{\ Displaystyle m_ {v} \ circ s = s'\ circ m_ {e}}

i

m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}

Definicja teoretyczna kategorii

Powyższa definicja opiera się na teorii mnogości ; definicja kategoryczno-teoretyczna uogólnia to na funktor od swobodnego kołczanu do kategorii zbiorów .

Wolne kołczan (zwany również kołczan bieżni , Kronecker drgają , 2-Kronecker drgać lub kategorii Kronecker ) P należy do kategorii z dwóch przedmiotów, a cztery morfizmów: Obiekty są V i e . Cztery morfizmy to s : E → V , t : E → V , a morfizmy tożsamościowe id _V : V → V i id _E : E → E . Oznacza to, że wolny kołczan jest

{\ Displaystyle E \; {\ zacząć {macierz} s \ \ [-6pt] \ rightrightarrows \ \ [-4pt] t \ koniec {macierz}} \; V}

Kołczan jest więc funktorem Γ: Q → Set .

Mówiąc ogólniej kołczanem kategorii C jest funktor Γ: Q → C . Kategoria Quiv ( C ) kołczanów w C jest kategorią funktorów, gdzie:

obiekty są funktorami Γ: Q → C ,
morfizmy to naturalne przekształcenia między funktorami.

Zauważ, że Quiv to kategoria snopów w przeciwnej kategorii Q ^op .

Algebra ścieżek

Jeśli Γ jest kołczanem, to ścieżka w Γ jest ciągiem strzałek a _n a _{n −1} ... a ₃ a ₂ a ₁ takim, że główka a _{i +1} jest ogonem a _i dla i = 1 , ..., n- 1, używając konwencji łączenia ścieżek od prawej do lewej.

Jeżeli K jest pole to Algebra drgać lub ścieżka Algebra K y jest określony jako przestrzeń wektorową o wszystkie ścieżki (o długości ≥ 0) w kołczanie jako podstawy (w tym, dla każdego wierzchołka i na kołczanie gamma, o trywialne ścieżki $e i$ o długości 0; nie zakłada się, że te ścieżki są równe dla różnych i ), a mnożenie jest podawane przez konkatenację ścieżek. Jeśli nie można połączyć dwóch ścieżek, ponieważ wierzchołek końcowy pierwszej nie jest równy wierzchołkowi początkowemu drugiej, ich iloczyn jest definiowany jako zero. Definiuje to algebrę asocjacyjną nad K . Ta algebra ma element jednostkowy wtedy i tylko wtedy, gdy kołczan ma tylko skończenie wiele wierzchołków. W tym przypadku moduły nad K Γ są naturalnie utożsamiane z reprezentacjami Γ. Jeśli kołczan ma nieskończenie wiele wierzchołków, to K Γ ma przybliżoną identyczność podaną przez gdzie F obejmuje skończone podzbiory zbioru wierzchołków . ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

Jeśli kołczan ma skończenie wiele wierzchołków i strzał, a wierzchołek końcowy i wierzchołek początkowy dowolnej ścieżki są zawsze różne (tzn. Q nie ma cykli zorientowanych), to K Γ jest skończenie wymiarową algebrą dziedziczną nad K . I odwrotnie, jeśli K jest algebraicznie domknięta, to każda skończenie wymiarowa, dziedziczna, asocjacyjna algebra nad K jest Morita równoważna algebrze ścieżkowej jej kołczanu Ext (tj. mają równoważne kategorie modułów).

Reprezentacje kołczanów

Reprezentacja kołczanu Q to skojarzenie modułu R z każdym wierzchołkiem Q , a morfizm między każdym modułem dla każdej strzały.

Przedstawienie V na kołczanie Q uważa się za trywialny , gdy $V (x) = 0$ dla wszystkich wierzchołków x , w Q .

Morfizmem , $f : V \to V "$ między reprezentacjami kołczanie Q jest zbiorem map liniowych, $f (x): V (x) \to V " (x)$ , tak że dla każdego strzałka w Q od x do y $V$ $' ($ $a$ $)$ $f$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $y$ $)$ $V$ $($ $a$ $)$ , tj. kwadraty utworzone przez f ze strzałkami V i V′ przechodzą. Morfizm f , jest izomorfizmem , jeśli f ( x ) jest odwracalne dla wszystkich wierzchołków x w kołczanie. Z tymi definicjami reprezentacje kołczanu tworzą kategorię .

Jeżeli V i W są reprezentacjami kołczanu Q , to suma tych reprezentacji , , jest określona przez dla wszystkich wierzchołków x w Q i jest sumą prostą odwzorowań liniowych V ( a ) i W ( a ). ${\ Displaystyle V \ oplus W}$ ${\ Displaystyle (V \ oplus W) (x) = V (x) \ oplus W (x)}$ ${\ Displaystyle (V \ oplus W) (a)}$

Mówi się, że reprezentacja jest rozkładalna, jeśli jest izomorficzna z sumą bezpośrednią reprezentacji niezerowych.

Kategoryczny definicja reprezentacji kołczan może być również podane. Sam kołczan można uznać za kategorię, w której wierzchołki to obiekty, a ścieżki to morfizmy. Wtedy reprezentacja Q jest tylko funktorem kowariantnym z tej kategorii do kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych . Morfizmy reprezentacji Q to właśnie naturalne przekształcenia między odpowiadającymi im funktorami.

Dla skończonego kołczanu Γ (kołczan ze skończoną liczbą wierzchołków i krawędzi) niech K Γ będzie jego algebrą ścieżkową. Niech e _i oznacza prostą ścieżkę w wierzchołku i . Następnie można dobrać do wierzchołka i rzutowa K Γ moduł K Γ e _{, że} składa się z kombinacji liniowych ścieżek, które począwszy od wierzchołka I . Odpowiada to reprezentacji Γ uzyskanej przez umieszczenie kopii K w każdym wierzchołku, który leży na ścieżce rozpoczynającej się od i i 0 na każdym innym wierzchołku. Do każdej krawędzi łączącej dwie kopie K przypisujemy mapę tożsamości.

Kołczan z relacjami

Aby wymusić przemienność niektórych kwadratów wewnątrz kołczanu, uogólnieniem jest pojęcie kołczanów z relacjami (nazywanych również kołczanami związanymi). Relacja na kołczanie $Q$ to $K$ liniowa kombinacja ścieżek z $Q$ . Kołczan w relacji to para $(Q, I)$ z $Q$ kołczanem i ideałem algebry ścieżkowej. Iloraz $K$ $Γ/$ $I$ jest algebrą ścieżek $($ $Q$ $,$ $I$ $)$ . ${\ Displaystyle I \ podseteq K \ Gamma}$

Odmiana kołczan

Mając wymiary przestrzeni wektorowych przyporządkowanych do każdego wierzchołka, można utworzyć odmianę charakteryzującą wszystkie reprezentacje tego kołczanu o tych określonych wymiarach i uwzględnić warunki stateczności. Dają one odmiany kołczan, jak skonstruował King (1994) .

Twierdzenie Gabriela

Kołczan jest typu skończonego, jeśli ma tylko skończenie wiele klas izomorfizmu reprezentacji nierozkładalnych . Gabriel (1972) sklasyfikował wszystkie kołczany typu skończonego, a także ich nierozkładalne reprezentacje. Dokładniej, twierdzenie Gabriela mówi, że:

Kołczan (połączony) jest typu skończonego wtedy i tylko wtedy, gdy jego bazowy wykres (gdy kierunek strzałek jest ignorowany) jest jednym z diagramów ADE Dynkina : $A n$ , $D n$ , $E 6$ , $E 7$ , $E 8$ .
Reprezentacje nierozkładalne są w relacji jeden do jednego z pozytywnymi korzeniami systemu korzeniowego diagramu Dynkina.

Dlab i Ringel (1973) znaleźli uogólnienie twierdzenia Gabriela, w którym występują wszystkie diagramy Dynkina skończenie wymiarowych półprostych algebr Liego.

Zobacz też

Klasyfikacja ADE
Kategoria kleju
Algebra grafów
Pierścień grupowy
Algebra incydentów
Schemat kołczanu
Półniezmiennik kołczanu
Odmiana toryczna
Pochodna nieprzemienna geometria algebraiczna — kołczany pomagają kodować dane pochodnych nieprzemiennych schematów

Bibliografia

Książki

Kirillov, Alexander (2016), Reprezentacje kołczan i odmiany kołczan , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-1-4704-2307-0

Notatki do wykładu

Crawley-Boevey, William, Lectures on Representations of Quivers (PDF) , zarchiwizowane z oryginału 20.08.2017CS1 maint: bot: nieznany status oryginalnego adresu URL ( link )
Reprezentacje kołczan w geometrii torycznej

Badania

Rzutowe rozmaitości toryczne jako drobne przestrzenie modułowe reprezentacji kołczan

Źródła

Derksen, szkoda; Weyman, Jerzy (luty 2005), „Quiver Representations” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 52 (2)
Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), O algebrach typu reprezentacji skończonej , Carleton Mathematical Lecture Notes, 2 , Wydział Matematyki, Carleton Univ., Ottawa, Ontario, MR 0347907
Crawley-Boevey, William (1992), Uwagi na temat reprezentacji kołczan (PDF) , Oxford University
Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71-103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887. Errata .
King, Alastair (1994), „Moduły reprezentacji algebr skończenie wymiarowych”, Quart. J. Matematyka. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
Savage, Alistair (2006) [2005], "Algebry skończenie wymiarowe i kołczany", w Francoise, JP; Naber, GL; Tsou, ST (red.), Encyklopedia Fizyki Matematycznej , 2 , Elsevier, s. 313-320, arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
Simson, Daniel; Skowroński, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elementy teorii reprezentacji algebr asocjacyjnych , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, komunikator internetowy; Ponomarev, VA, „Funktory Coxetera i twierdzenie Gabriela” (rosyjski), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), nr. 2(170), 19-33. Tłumaczenie na stronie Bernsteina .
Kołczan w nLab

Languages

In other projects