S -matryca - S-matrix

W fizyce The S -Matrix lub matryca rozpraszania dotyczy stan początkowy i końcowy układu fizycznego poddawanego procesowi rozpraszania . Znajduje zastosowanie w mechanice kwantowej , teorii rozpraszania i kwantowej teorii pola (QFT).

Bardziej formalnie, w kontekście QFT The S -Matrix definiuje się jako jednolitą matrycę łączącego zestawy asymptotycznie stanów wolnych cząstek (The In-stanów i out-stanów ) w przestrzeni Hilberta stanów fizycznych. Mówi się, że stan wielocząstkowy jest wolny (nieoddziałujący), jeśli przekształca się w transformacjach Lorentza jako iloczyn tensorowy lub w żargonie fizycznym iloczyn bezpośredni stanów jednocząstkowych, zgodnie z równaniem (1) poniżej. Asymptotycznie wolny oznacza zatem, że stan ma taki wygląd albo w odległej przeszłości, albo w odległej przyszłości.

O ile macierz S można zdefiniować dla dowolnego tła ( czasoprzestrzeni ), które jest asymptotycznie rozwiązywalne i nie ma horyzontów zdarzeń , to w przypadku przestrzeni Minkowskiego ma ona prostą formę . W tym szczególnym przypadku, przestrzeń Hilberta jest przestrzeń nieredukowalnych jednostkowych reprezentacji o niejednorodnej grupy Lorentza (The grupy Poincare ); S -Matrix jest operatorem wydzielania między (odległej przeszłości) i (odległy przyszłości). Jest ona zdefiniowana tylko w granicy zerowej gęstości energii (lub nieskończonej odległości separacji cząstek). ${\displaystyle t=-\infty}$${\displaystyle t=+\infty}$

Można wykazać, że jeśli kwantowa teoria pola w przestrzeni Minkowskiego ma przerwę mas , to stan w asymptotycznej przeszłości iw asymptotycznej przyszłości jest opisywany przez przestrzenie Focka .

Historia

S -Matrix został po raz pierwszy wprowadzony przez John Archibald Wheeler w papierze 1937 „Na opisu matematycznego lekkich jąder metodą Structure resonating Group”. W artykule tym Wheeler wprowadził macierz rozproszenia – unitarną macierz współczynników łączącą „asymptotyczne zachowanie dowolnego rozwiązania szczególnego [równań całkowych] z zachowaniem rozwiązań postaci standardowej”, ale nie rozwinął jej w pełni.

W latach czterdziestych Werner Heisenberg samodzielnie rozwinął i uzasadnił ideę macierzy S. Ze względu na problematyczne rozbieżności obecne w kwantowej teorii pola w tamtym czasie, Heisenberg był zmotywowany do wyodrębnienia podstawowych cech teorii , na które przyszłe zmiany nie miałyby wpływu w miarę rozwoju teorii. W ten sposób doprowadził do wprowadzenia jednolitej „charakterystycznej” macierzy S.

Dziś jednak dokładne wyniki macierzy S są ukoronowaniem konforemnej teorii pola , układów całkowalnych i kilku dalszych obszarów kwantowej teorii pola i teorii strun . Macierze S nie są substytutami terapii terenowej, ale raczej uzupełniają jej końcowe wyniki.

Motywacja

W fizyce cząstek wysokich energii interesuje nas obliczanie prawdopodobieństwa różnych wyników w eksperymentach rozpraszania . Eksperymenty te można podzielić na trzy etapy:

1. Zderzaj razem zbiór nadchodzących cząstek (zwykle dwie cząstki o wysokich energiach).
2. Pozwalając nadchodzącym cząsteczkom na interakcję. Oddziaływania te mogą zmienić rodzaj obecnych cząstek (np. jeśli elektron i pozyton anihilują , mogą wytworzyć dwa fotony ).
3. Pomiar powstałych cząstek wychodzących.

Proces, w którym przychodzące cząstki są przekształcane (poprzez ich wzajemne oddziaływanie ) w cząstki wychodzące, nazywa się rozpraszaniem . W fizyce cząstek elementarnych fizyczna teoria tych procesów musi umożliwiać obliczenie prawdopodobieństwa wystąpienia różnych wychodzących cząstek, gdy różne przychodzące cząstki zderzają się z różnymi energiami.

S -Matrix teoretycznie pola kwantowa osiąga dokładnie tego. Zakłada się, że w tych przypadkach obowiązuje przybliżenie małej gęstości energii.

Posługiwać się

S -Matrix jest ściśle związane z przejściem amplitudy prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej do przekrojów różnych interakcji; że elementy (pojedynczych wpisów numeryczne) w S -Matrix są znane jako amplitudzie rozproszenia . Słupy o S -Matrix w płaszczyźnie zespolonej energii są oznaczone stanów związanych , stanów wirtualne lub rezonans . Kawałki gałąź z S -Matrix w płaszczyźnie zespolonej energii wiąże się do otwarcia kanału rozpraszania .

W hamiltonowskim podejściu do kwantowej teorii pola, macierz S może być obliczona jako uporządkowany w czasie wykładnik zintegrowanego hamiltonianu w obrazie interakcji ; może być również wyrażona za pomocą całek po trajektorii Feynmana . W obu przypadkach perturbacyjne obliczenie macierzy S prowadzi do diagramów Feynmana .

W rozpraszania teorii The S -Matrix jest operatorem mapowania wolne cząstki in stanów swobodnego cząstki wyczerpanym stanów ( kanały rozpraszania ) w obrazie Heisenberga . Jest to bardzo przydatne, ponieważ często nie możemy dokładnie opisać interakcji (przynajmniej nie najciekawszych).

W jednowymiarowej mechanice kwantowej

Prosty prototyp, w którym macierz S jest dwuwymiarowa, jest rozważany jako pierwszy, dla celów ilustracji. W nim cząstki o ostrej energii E rozpraszają się od zlokalizowanego potencjału V zgodnie z zasadami jednowymiarowej mechaniki kwantowej. Już ten prosty model wykazuje pewne cechy bardziej ogólnych przypadków, ale jest łatwiejszy w obsłudze.

Każda energia E daje macierz S = S ( E ) zależną od V . W ten sposób całkowitą macierz S można, mówiąc w przenośni, wizualizować, w odpowiedniej podstawie, jako „macierz ciągłą” z każdym elementem zero z wyjątkiem 2 × 2 bloków wzdłuż przekątnej dla danego V .

Definicja

Rozważmy zlokalizowaną jednowymiarowe bariera potencjału V ( x ) , poddaje się wiązką cząstek kwantowe energii E . Cząstki te padają na potencjalną barierę od lewej do prawej.

Rozwiązaniami równania Schrödingera poza barierą potencjału są fale płaskie podane przez

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} (x) = Ae ^ {ikx} + Be ^ {-ikx}}$

dla regionu na lewo od potencjalnej bariery oraz

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} (x) = Ce ^ {ikx} + De ^ {-ikx}}$

dla regionu na prawo od potencjalnej bariery, gdzie

${\ Displaystyle k = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}}}$

jest wektorem falowym . Zależność od czasu nie jest potrzebna w naszym przeglądzie i dlatego została pominięta. Termin o współczynniku A reprezentuje falę przychodzącą, natomiast termin o współczynniku C reprezentuje falę wychodzącą. B oznacza falę odbijającą. Ponieważ ustawiamy nadchodzącą falę w kierunku dodatnim (od lewej), D wynosi zero i można je pominąć.

„Amplituda rozproszenia”, tj. nakładanie się przejścia fal wychodzących z falami przychodzącymi jest relacją liniową określającą macierz S ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} B \ \ C \ koniec {pmatrix}} = {\ zacząć {pmatrix} S_ {11} i S_ {12} \ \ S_ {21} i S_ {22} \ koniec {pmatrix}} {\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$

Powyższą relację można zapisać jako

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {na zewnątrz}} = S \ psi _ {\ rm {w}}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {z}} = {\ zacząć {pmatrix} B \ \ C \ koniec {pmatrix}}, \ quad \ psi _ {\ rm {w}} = {\ zacząć {pmatrix} A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$

Elementy S całkowicie charakteryzują właściwości rozpraszania bariery potencjału V ( x ) .

Własność jednostkowa

Unitarna właściwość macierzy S jest bezpośrednio związana z zachowaniem prądu prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej .

Prąd prawdopodobieństwa J Spośród funkcji falowej * F (x) jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle J = {\ Frac {\ Hbar} {2 mil}} \ lewo (\ psi ^ {*} {\ Frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy x}} - \ psi {\ Frac {\ częściowy \ psi ^{*}}{\częściowy x}}\prawo)}$.

Gęstość prądu na lewo od bariery wynosi

${\ Displaystyle J_ {\ rm {L}} = {\ Frac {\ hbar k} {m}} \ lewo (| A | ^ {2} - | B | ^ {2} \ prawej)}$,

podczas gdy gęstość prądu na prawo od bariery wynosi

${\ Displaystyle J_ {\ rm {R}} = {\ Frac {\ hbar k} {m}} \ lewo (| C | ^ {2} - | D | ^ {2} \ prawej)}$.

Dla zachowania gęstości prądu prawdopodobieństwa J _L = J _R . Oznacza to, że macierz S jest macierzą unitarną .

Dowód

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i J_ {\ rm {L}} = J_ {\ rm {R}} \ \ i | A | ^ {2} - | B | ^ {2} = | C | ^ { 2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _ {\rm {na zewnątrz}}^{\dagger }\Psi _{\rm {na zewnątrz}}=\Psi _{\rm {w}}^{\sztylet }\Psi _{\rm {w}}\\ &\Psi _{\rm {w}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\rm {w}}=\Psi _{\rm {w}}^{\dagger }\ Psi _{\rm {in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{wyrównany}}}$

Symetria z odwróceniem czasu

Jeżeli potencjał V ( x ) jest rzeczywisty, to układ posiada symetrię z odwróceniem czasu . W tym warunku, jeśli ψ(x) jest rozwiązaniem równania Schrödingera, to ψ*(x) również jest rozwiązaniem.

Rozwiązanie odwrócone w czasie jest podane przez

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*} (x) = A ^ {*} e ^ {-ikx} + B ^ {*} e ^ {ikx}}$

dla regionu na lewo od potencjalnej bariery oraz

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} (x) = C ^ {*} e ^ {-ikx} + D ^ {*} e ^ {ikx}}$

dla obszaru na prawo od bariery potencjału, gdzie wyrazy o współczynniku B * , C * reprezentują falę przychodzącą, a wyrazy o współczynniku A * , D * reprezentują falę wychodzącą.

Znowu są powiązane macierzą S ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} A ^ {*} \ \ D ^ {*} \ koniec {pmatrix}} = {\ zacząć {pmatrix} S_ {11} i S_ {12} \ \ S_ {21} i S_ { 22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$

to jest,

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {w}} ^ {*} = S \ psi _ {\ rm {z}} ^ {*}.}$

Teraz relacje

${\ Displaystyle \ psi _ {\ rm {w}} ^ {*} = S \ psi _ {\ rm {na zewnątrz}} ^ {*} \ quad \ psi _ {\ rm {z}} = S \ psi _{\rm {w}}}$

razem dają warunek

${\ Displaystyle S ^ {*} S = I}$

Warunek ten, w połączeniu z relacją unitarności, implikuje, że macierz S jest symetryczna, w wyniku symetrii odwrócenia czasu,

${\ Displaystyle S ^ {T} = S.}$

Współczynnik transmisji i współczynnik odbicia

Współczynnik transmisji od lewej barierę potencjału jest, gdy D = 0 ,

${\ Displaystyle T_ {\ rm {L}} = {\ Frac {| C | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S_ {21} | ^ {2}.}$

Współczynnik odbicia od lewej barierę potencjału jest, gdy D = 0 ,

${\ Displaystyle R_ {\ rm {L}} = {\ Frac {| B | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S_ {11} | ^ {2}.}$

Podobnie współczynnik transmisji z prawej strony bariery potencjału wynosi, gdy A = 0 ,

${\ Displaystyle T_ {\ rm {R}} = {\ Frac {| B | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S_ {12} | ^ {2}.}$

Współczynnik odbicia z prawej strony bariery potencjału wynosi, gdy A = 0 ,

${\ Displaystyle R_ {\ rm {R}} = {\ Frac {| C | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S_ {22} | ^ {2}.}$

Relacje między współczynnikami transmisji i odbicia są

${\ Displaystyle T_ {\ rm {l}} + R_ {\ rm {l}} = 1}$

oraz

${\ Displaystyle T_ {\ rm {R}} + R_ {\ rm {R}} = 1.}$

Ta tożsamość jest konsekwencją własności unitarności macierzy S.

Twierdzenie optyczne w jednym wymiarze

W przypadku cząstek swobodnych V ( x ) = 0 , macierz S to

${\ Displaystyle S = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}.$

Ilekroć jednak V ( x ) jest różne od zera, następuje odejście macierzy S od powyższej postaci do

${\ Displaystyle S = {\ zacząć {pmatrix} 2ir i 1 + 2 it \ \ 1 + 2 i 2ir ^ {*} {\ Frac {1 + 2} {1-2it ^ {*}}} \ koniec {pmatrix}}.}$

To odejście jest sparametryzowane przez dwie złożone funkcje energii, r i t . Z jedności wynika również związek między tymi dwiema funkcjami,

${\ Displaystyle | r | ^ {2} + | t | ^ {2} = \ nazwa operatora {im} (t).}$

Odpowiednik tej tożsamości w trzech wymiarach jest znany jako twierdzenie optyczne .

Definicja w kwantowej teorii pola

Obraz interakcji

Prosty sposób zdefiniowania macierzy S zaczyna się od rozważenia obrazu interakcji . Niech hamiltonian H zostanie rozbity na część swobodną H ₀ i interakcję V , H = H ₀ + V . Na tym rysunku operatory zachowują się jak operatory pola swobodnego, a wektory stanu mają dynamikę zgodną z interakcją V . Pozwolić

${\ Displaystyle \ lewy | \ psi (t) \ prawy \ rangle }$

oznaczają stan, który wyewoluował z wolnego stanu początkowego

${\ Displaystyle \ lewo | \ Phi _ {\ rm {i}} \ prawo \ rangle.}$

Element macierzy S jest wtedy definiowany jako rzut tego stanu na stan końcowy

${\ Displaystyle \ lewo \ Langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ prawo |.}$

Zatem

${\ Displaystyle S_ {\ rm {f}} \ równoważny \ lim _ {t \ rightarrow + \ infty} \ lewy \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} | \ psi (t) \ prawy \ rangle \ równoważny \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$

gdzie S to S-operator . Wielką zaletą tej definicji jest to, że operator ewolucji czasowej U rozwijający stan na obrazie interakcji jest formalnie znany,

${\ Displaystyle U (t, t_ {0}) = Te ^ {-i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} d \ tau V (\ tau)}}$

gdzie T oznacza produkt uporządkowany w czasie . Wyrażone w tym operatorze,

${\ Displaystyle S_ {\ rm {fi}} = \ lim _ {t_ {2} \ rightarrow + \ infty} \ lim _ { t_ {1} \ rightarrow - \ infty} \ lewo \ langle \ Phi _ {\ rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$

z którego

${\displaystyle S=U(\infty,-\infty).}$

Poszerzanie z wykorzystaniem wiedzy o U daje serię Dyson ,

${\ Displaystyle S = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$

lub, jeśli V jest gęstością Hamiltona,

${\ Displaystyle S = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots { \mathcal {H}}(t_{n})\right].}$

Będąc specjalnym typem operatora ewolucji w czasie, S jest unitarny. Dla dowolnego stanu początkowego i dowolnego stanu końcowego można znaleźć

${\ Displaystyle S_ {\ rm {fi}} = \ lewo \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} | S | \ Phi _ {\ rm {i}} \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \ Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty } ^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{ 1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$

Takie podejście jest nieco naiwne, ponieważ potencjalne problemy są zamiatane pod dywan. To jest zamierzone. Podejście to sprawdza się w praktyce, a niektóre kwestie techniczne omówiono w innych rozdziałach.

Stany wjazdowe i wyjazdowe

Tutaj przyjęto nieco bardziej rygorystyczne podejście w celu rozwiązania potencjalnych problemów, które zostały pominięte w powyższym podejściu z obrazem interakcji. Ostateczny wynik jest oczywiście taki sam jak w przypadku wybrania szybszej trasy. W tym celu potrzebne są pojęcia stanów wejścia i wyjścia. Zostaną one rozwinięte na dwa sposoby, z próżni i ze stanów cząstek swobodnych. Nie trzeba dodawać, że te dwa podejścia są równoważne, ale rzucają światło na sprawy z różnych punktów widzenia.

Z próżni

Jeśli ^† ( k ) jest operatorem utworzenie jego operator sprzężony jest operatorem unicestwienie i niszczy próżni

${\ Displaystyle a (k) \ lewo | *, 0 \ prawo \ rangle = 0.}$

W notacji Diraca zdefiniuj

${\displaystyle |*,0\rangle}$

jako próżniowy stan kwantowy , czyli stan bez cząstek rzeczywistych. Gwiazdka oznacza, że ​​nie wszystkie próżni są koniecznie równe, a na pewno nie równe zerowemu stanowi 0 przestrzeni Hilberta . Zakłada się, że wszystkie stany próżni są niezmiennicze Poincaré , niezmienniczość przy translacjach, obrotach i wzmocnieniach, formalnie,

${\ Displaystyle P ^ {\ mu} | * 0 \ rangle = | * 0 \ rangle \ quad M ^ {\ mu \ nu} | * 0 \ rangle = | * 0 \ rangle}$

gdzie P ^μ jest generatorem translacji w przestrzeni i czasie, a M ^μν jest generatorem przekształceń Lorentza . Zatem opis próżni jest niezależny od układu odniesienia. Z definiowanymi stanami wejścia i wyjścia związane są operatory pola wejściowego _i wyjściowego (inaczej pola ) Φ _i oraz Φ _o . Zwracamy tu uwagę na najprostszy przypadek, czyli teorię skalarną , aby zobrazować jak najmniejsze zaśmiecenie notacji. Pola in i out spełniają

${\ Displaystyle (\ Box ^ {2} + m ^ {2}) \ phi _ {\ rm {i, o}} (x) = 0,}$

wolne równanie Kleina-Gordona . Postuluje się, że pola te mają takie same relacje komutacji w równym czasie (ETCR) jak pola swobodne,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {[\ phi _ {\ rm {i, o}} (x), \ pi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} =y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\ rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0\end{wyrównany}},}$

gdzie π _{i , j} jest polem kanonicznie sprzężonym z Φ _{i , j} . Kalkulator do i na polach są dwa zestawy operatorów tworzenia i zniszczenia, ^† _I ( k ) i ^† _f ( K ) , działając w tej samej przestrzeni Hilberta na dwóch odrębnych kompletnych zestawów ( przestrzeni FOCK Wstępne przestrzeń i , przestrzeń końcowa f ). Operatory te spełniają zwykłe reguły komutacji,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {[a_ {\ rm {ja, o}} (\ mathbf {p}), a_ {\ rm {i, o}} ^ {\ sztylet} (\ mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\sztylet }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i, o}}^{\sztylet }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{wyrównany}}}$

Działanie operatorów kreacji na ich próżni i stany o skończonej liczbie cząstek w stanach wejścia i wyjścia jest dane wzorem

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ lewo | \ operatorname {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ prawej \ rangle & = a_ {i} ^ {\ sztylet} (k_ {1}) \ cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{ n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0 \right\rangle ,\end{wyrównany}}}$

gdzie kwestie normalizacji zostały zignorowane. Zobacz następną sekcję, aby uzyskać szczegółowe informacje na temat normalizacji ogólnego stanu n- cząstek . Przestrzenie początkowe i końcowe są określone przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {i}} = \ operatorname {span} \ {\ lewo| \ operatorname {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ prawo \ rangle = a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0 \prawo\rangle \},}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {f}} = \ operatorname {rozpiętość} \ {\ lewo | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ prawo \ rangle = a_ {\ rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$

Zakłada się, że stany asymptotyczne mają dobrze zdefiniowane właściwości transformacji Poincarégo, tj. przyjmuje się, że transformują się jako bezpośredni produkt stanów jednocząstkowych. Jest to cecha pola nieoddziałującego. Z tego wynika, że ​​stany asymptotyczne są stanami własnymi operatora pędu P ^μ ,

${\ Displaystyle P ^ {\ mu} \ lewo | \ operatorname {i}, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ prawo \ rangle = k_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + k_ {m} ^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1} \ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{ n}\prawo\rangle .}$

W szczególności są to stany własne pełnego hamiltonianu,

${\ Displaystyle H = P ^ {0}.}$

Postuluje się, że próżnia jest stabilna i unikalna,

${\ Displaystyle | \ operatorname {i} 0 \ rangle = | \ operatorname {f} 0 \ rangle = | * 0 \ rangle \ równoważne | 0 \ rangle.}$

Zakłada się, że interakcja adiabatyczna jest włączana i wyłączana.

Obraz Heisenberga

Obraz Heisenberga jest odtąd stosowany. Na tym zdjęciu stany są niezależne od czasu. W ten sposób wektor stanu Heisenberga reprezentuje pełną historię czasoprzestrzenną układu cząstek. Oznaczenie stanów wejścia i wyjścia odnosi się do asymptotycznego wyglądu. Stan Ψ _{α , w} charakteryzuje się tym, że jako t →−∞ zawartość cząstki jest reprezentowana przez α . Podobnie stan Ψ _{β , out} będzie miał zawartość cząstek reprezentowaną przez β dla t →+∞ . Stosując założenie, że stany wejściowe i wyjściowe oraz stany oddziałujące znajdują się w tej samej przestrzeni Hilberta i zakładając zupełność znormalizowanych stanów wejściowych i wyjściowych (postulat asymptotycznej zupełności), stany początkowe można rozszerzyć w oparciu o stany (lub odwrotnie). Wyraźne wyrażenie zostanie podane później, po wprowadzeniu większej ilości notacji i terminologii. Współczynniki rozszerzalności są dokładnie elementami macierzy S , które zostaną określone poniżej.

Podczas gdy wektory stanu są stałe w czasie w obrazie Heisenberga, stany fizyczne, które reprezentują, nie są . Jeśli okaże się, że system jest w stanie Ψ w czasie t = 0 , to znajdzie się w stanie U ( τ ) Ψ = e ^{− iHτ} Ψ w czasie t = τ . Nie jest to (koniecznie) ten sam wektor stanu Heisenberga, ale jest to równoważny wektor stanu, co oznacza, że ​​po pomiarze zostanie uznany za jeden ze stanów końcowych z rozwinięcia o niezerowym współczynniku. Jeśli τ zmienia się, widać, że obserwowane Ψ (nie zmierzone) jest rzeczywiście wektorem stanu obrazu Schrödingera . Powtarzając pomiar dostatecznie wiele razy i uśredniając, można powiedzieć, że rzeczywiście występuje ten sam wektor stanu w czasie t = τ, co w czasie t = 0 . Odzwierciedla to ekspansję powyżej stanu w stanach zewnętrznych.

Ze stanów cząstek swobodnych

Z tego punktu widzenia należy zastanowić się, w jaki sposób przeprowadza się eksperyment z rozpraszaniem archetypowym. Początkowe cząstki są przygotowywane w dobrze określonych stanach, w których są tak daleko od siebie, że nie wchodzą w interakcje. Są one w jakiś sposób zmuszane do interakcji, a końcowe cząstki są rejestrowane, gdy są tak daleko od siebie, że przestały wchodzić w interakcje. Pomysł polega na szukaniu stanów w obrazie Heisenberga, które w odległej przeszłości miały wygląd stanów cząstek swobodnych. To będzie w stanach. Podobnie stan out będzie stanem, który w odległej przyszłości będzie wyglądał jak stan cząstki swobodnej.

Zostanie użyty zapis z ogólnego odniesienia dla tej sekcji, Weinberg (2002) . Ogólny nieoddziałujący stan wielocząstkowy jest podany przez

${\displaystyle \psi_{p_{1}\sigma_{1}n_{1};p_{2}\sigma_{2}n_{2};\cdots},}$

gdzie

• p to pęd,
• σ jest składową z spinu lub, w przypadku bezmasowym, helicity ,
• n to rodzaj cząstek.

Te stany są znormalizowane jako

${\displaystyle \left(\psi_{p_{1}'\sigma_{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma_{2}'n_{2}';\cdots}, \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1} }\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _ {n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutacje}}.}$

Permutacje działają jako takie; jeśli s ∈ S _k jest permutacją k obiektów (dla stanu k- cząstek ) taką, że

${\ Displaystyle n_ {s (i)} '= n_ {i}, \ quad 1 \ równoważnik ja \ równoważnik k}$

wtedy wynik niezerowy. Znak to plus, chyba że s obejmuje nieparzystą liczbę transpozycji fermionów, w którym to przypadku jest to minus. Notacja jest zwykle skracana, tak aby jedna litera grecka oznaczała cały zbiór opisujący stan. W skróconej formie normalizacja staje się

${\ Displaystyle \ lewo (\ psi _ {\ alfa '}, \ psi _ {\ alfa} \ prawo) = \ delta (\ alfa '-\ alfa).}$

Podczas całkowania po stanach cząstek swobodnych pisze się w tej notacji

${\ Displaystyle d \ alfa \ cdots \ equiv \ suma _ {n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots } \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3}p_{2}\cdots ,}$

gdzie suma obejmuje tylko takie terminy, że żadne dwa terminy nie są równe modulo permutacji indeksów typu cząstek. Poszukiwane zbiory stanów mają być kompletne . Wyraża się to jako

${\ Displaystyle \ psi = \ int d \ alfa \ \ psi _ {\ alfa} \ lewo (\ psi _ {\ alfa}, \ psi \ prawej),}$

co można sparafrazować jako

${\ Displaystyle \ int d \ alfa \ \ lewo | \ psi _ {\ alfa} \ prawo \ rangle \ lewo \ langle \ psi _ {\ alfa} \ prawo | = 1,}$

gdzie dla każdego ustalonego α , prawa strona jest operatorem rzutowania na stan α . W niejednorodnej transformacji Lorentza (Λ, a ) pole przekształca się zgodnie z regułą

${\ Displaystyle U (\ Lambda, a) \ psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2} \ cdots } = e ^ { -ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_ {1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\ sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1 }))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{ 1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },}$

( 1 )

gdzie W (Λ, p ) jest rotacją Wignera a D ^{( j )} jest (2 j + 1) -wymiarową reprezentacją SO(3) . Umieszczając Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0 ) , dla którego U to exp( iHτ ) , w (1) , to od razu wynika, że

${\ Displaystyle H \ psi = E_ {\ alfa} \ psi, \ quad E_ {\ alfa} = p_ {1} ^ {0} + p_ {2} ^ {0} + \ cdots}$

więc stany wejściowe i wyjściowe, które są poszukiwane po, są stanami własnymi pełnego hamiltonianu, które z konieczności nie oddziałują ze względu na brak składników energii cząstek mieszanych. Z dyskusji w powyższym podrozdziale wynika, że ​​stany in Ψ ⁺ i out Ψ ⁻ powinny być takie, że

${\ Displaystyle e ^ {-iH \ tau} \ int d \ alfa \ g (\ alfa ) \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = \ int d \ alfa \ e ^ {-iE_ {\ alfa} \tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$

dla dużego dodatniego i ujemnego τ ma wygląd odpowiedniego pakietu, reprezentowanego przez g , stanów cząstek swobodnych, przy czym g przyjmuje się gładkie i odpowiednio zlokalizowane w pędzie. Pakiety falowe są niezbędne, w przeciwnym razie ewolucja w czasie da tylko współczynnik fazowy wskazujący na cząstki swobodne, co nie może mieć miejsca. Prawa strona wynika z tego, że stany wejścia i wyjścia są stanami własnymi hamiltonianu omówionego powyżej. Do formalnego to wymaganie zakłada się, że w pełni Hamiltona H może być podzielona na dwie warunkach, wolno cząstek Hamiltona H ₀ i interakcję V , H = H ₀ + V tak, że stany własne cp _y o H ₀ ma taki sam wygląd jak stany wejściowe i wyjściowe z uwzględnieniem właściwości normalizacji i transformacji Lorentza,

${\ Displaystyle H_ {0}\ Phi _ {\ alfa} = E_ {\ alfa} \ Phi _ {\ alfa},}$

${\ Displaystyle (\ Phi _ {\ alfa} ', \ Phi _ {\ alfa}) = \ delta (\ alfa '- \ alfa).}$

Stany wejściowe i wyjściowe są definiowane jako stany własne pełnego hamiltonianu,

${\ Displaystyle H \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = E_ {\ alfa} \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm},}$

dogadzający

${\ Displaystyle e ^ {-iH \ tau} \ int d \ alfa \ g (\ alfa) \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} \ rightarrow e ^ {-iH_ {0}\ tau} \ int d \alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha}.}$

odpowiednio dla τ → −∞ lub τ → +∞ . Definiować

${\ Displaystyle \ Omega (\ tau) \ ekwiwalent e ^ {+ iH \ tau} e ^ {-iH_ {0}\ tau}}$

następnie

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = \ Omega (\ mp \ infty) \ Phi _ {\ alfa}.}$

To ostatnie wyrażenie będzie działać tylko przy użyciu pakietów falowych. Z tych definicji wynika, że ​​stany wejścia i wyjścia są znormalizowane w taki sam sposób, jak stany wolnej cząstki,

${\ Displaystyle (\ psi _ {\ beta} ^ {+}, \ psi _ {\ alfa} ^ {+}) = (\ Phi _ {\ beta}, \ Phi _ {\ alfa}) = (\ psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$

a te trzy zestawy są jednorodnie równoważne. Teraz przepisz równanie wartości własnej,

${\ Displaystyle (E_ {\ alfa}-H_ {0}\ pm ja \ epsilon) \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = \ pm ja \ epsilon \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} +V\Psi _{\alfa }^{\pm },}$

gdzie dodano warunki ±iε, aby uczynić operator na LHS odwracalnym. Ponieważ stany in i out redukują się do stanów cząstek swobodnych dla V → 0 , put

${\ Displaystyle ja \ epsilon \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = ja \ epsilon \ Phi _ {\ alfa}}$

na RHS, aby uzyskać

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alfa} + (E_ {\ alfa} -H_ {0}\ pm ja \ epsilon) ^ {-1} V \ psi _ {\alfa}^{\pm}.}$

Następnie wykorzystaj kompletność stanów cząstek swobodnych,

${\ Displaystyle V \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = \ int d \ beta \ (\ Phi _ {\ beta}, V \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm}) \ Phi _ { \beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$

w końcu uzyskać

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alfa} + \ int d \ beta \ {\ Frac {T_ {\ beta \ alfa} ^ {\ pm} \ Phi _ { \beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$

Tutaj H ₀ zostało zastąpione przez jego wartość własną w stanach cząstek swobodnych. To jest równanie Lippmanna-Schwingera .

W stanach wyrażonych jako nasze stany

Stany początkowe można rozbudować w oparciu o stany końcowe (lub odwrotnie). Wykorzystując relację kompletności,

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} ^ {-} = \ int d \ beta (\ psi _ {\ beta} ^ {+}, \ psi _ {\ alfa} ^ {-}) \ psi _ {\ beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{- }\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2 }\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} ^ {-} = \ lewo | \ operatorname {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ prawo \ rangle = C_ {0} \ lewo | \ operatorname {f } ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}( p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$

gdzie | C _m | ² to prawdopodobieństwo transformacji interakcji

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ prawo \ rangle = \ psi _ {\ alfa} ^ {-}}$

do

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ prawo \ rangle = \ psi _ {\ beta} ^ {+}}$.

Według zwykłych zasad mechaniki kwantowej,

${\ Displaystyle C_ {m} (p_ {1} \ ldots p_ {m}) = \ lewo \ langle \ operatorname {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ prawo | \ operatorname {i}, k_ {1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$

i można pisać

${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ prawo \ rangle = C_ {0} \ lewo | \ operatorname {f} 0 \ prawo \ rangle \ + \ suma _ {m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{ m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~. }$

Współczynniki rozszerzalności są dokładnie elementami macierzy S , które zostaną określone poniżej.

S -Matrix

S -Matrix jest obecnie zdefiniowane

${\ Displaystyle S_ {\ beta \ alfa} = \ langle \ psi _ {\ beta} ^ {-} | \ psi _ {\ alfa} ^ {+} \ rangle = \ langle \ operatorname {f} \ beta | \mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$

Tutaj α i β są skrótami, które reprezentują zawartość cząstek, ale tłumią poszczególne etykiety. Powiązany z S -Matrix istnieje S operatora S określa

${\ Displaystyle \ langle \ Phi _ {\ beta} | S | \ Phi _ {\ alfa} \ rangle \ equiv S_ {\ beta \ alfa},}$

gdzie Φ _γ są stanami cząstek swobodnych. Definicja ta jest zgodna z podejściem bezpośrednim zastosowanym w obrazie interakcji. Ponadto, ze względu na jednolitą równoważność,

${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {\ beta} ^ {+} | S | \ psi _ {\ alfa} ^ {+} \ rangle = S_ {\ beta \ alfa} = \ langle \ psi _ {\ beta} ^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$

Z fizycznego punktu widzenia S musi być operatorem unitarnym . Jest to stwierdzenie zachowania prawdopodobieństwa w kwantowej teorii pola. Ale

${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {\ beta} ^ {-} | S | \ psi _ {\ alfa} ^ {-} \ rangle = S_ {\ beta \ alfa} = \ langle \ psi _ {\ beta} ^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$

Dzięki kompletności

${\ Displaystyle S | \ psi _ {\ alfa} ^ {-} \ rangle = | \ psi _ {\ alfa} ^ {+} \ rangle,}$

więc S jest unitarną transformacją ze stanów wewnętrznych do stanów zewnętrznych. Niezmienniczość Lorentza jest kolejnym kluczowym wymogiem dla macierzy S. S-operator reprezentuje kwantową transformację kanoniczną początkowych stanów in do końcowych stanów out . Ponadto S pozostawia niezmiennik stanu próżni i przekształca pola w przestrzeni w pola poza przestrzenią,

${\ Displaystyle S \ lewy | 0 \ prawy \ rangle = \ lewy | 0 \ prawy \ rangle }$

${\ Displaystyle \ phi _ {\ operatorname {f}} = S \ phi _ {\ operatorname {i}} S ^ {-1} ~.}$

Jeśli chodzi o operatorów tworzenia i anihilacji, staje się to:

${\ Displaystyle a_ {\ rm {f}} (p) = Sa_ {\ rm {i}} (p) S ^ {-1}, a_ {\ rm {f}} ^ {\ sztylet} (p) = Sa_{\rm {i}}^{\sztylet }(p)S^{-1},}$

W związku z tym

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} S | \ operatorname {i}, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle & = Sa_ {\ rm {i}} ^ {\ sztylet }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\ rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{- 1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0 \rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o} }^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}} }$

Podobne wyrażenie obowiązuje, gdy S działa w lewo na stanie out. Oznacza to, że macierz S może być wyrażona jako

${\ Displaystyle S_ {\ beta \ alfa} = \ langle \ operatorname {o}, \ beta | \ operatorname {i}, \ alfa \ rangle = \ langle \ operatorname {i}, \ beta | S | \ operatorname {i } ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$

Jeśli S poprawnie opisuje interakcję, te właściwości również muszą być prawdziwe:

• Jeśli układ składa się z pojedynczej cząstki w stanie własnym pędu | k ⟩ , to S | k ⟩= | k ⟩ . Wynika to z powyższych obliczeń jako przypadek szczególny.
• Element macierzy S może być niezerowy tylko wtedy, gdy stan wyjściowy ma taki sam całkowity pęd jak stan wejściowy. Wynika to z wymaganej niezmienności Lorentza macierzy S.

Operator ewolucji U

Zdefiniuj zależny od czasu operator tworzenia i anihilacji w następujący sposób:

${\ Displaystyle a ^ {\ sztylet} \ po lewej (k, t \ po prawej) = U ^ {-1} (t) a_ {\ rm {i}} ^ {\ sztylet} \ po lewej (k \ po prawej) U \ lewo(t\prawo)}$

${\ Displaystyle a \ lewo (k, t \ po prawej) = U ^ {-1} (t) a_ {\ rm {i}} \ po lewej (k \ po prawej) U \ po lewej (t \ po prawej) ~}$

więc dla pól,

${\ Displaystyle \ phi _ {\ rm {f}} = U ^ {-1} (\ infty) \ phi _ {\ rm {i}} U (\ infty) = S ^ {-1} \ phi _ { \rm {i}}S~,}$

gdzie

${\ Displaystyle S = e ^ {i \ alfa} \ U (\ infty)}$ .

Dopuszczamy różnicę faz, wyrażoną przez

${\ Displaystyle e ^ {i \ alfa} = \ lewo \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ prawo \ rangle ^ {-1} ~}$

ponieważ dla S ,

${\ Displaystyle S \ lewo | 0 \ prawo \ rangle = \ lewo | 0 \ prawo \ rangle \ Longrightarrow \ lewo \ langle 0 | S | 0 \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle 0 | 0 \ prawo \ rangle =1 ~.}$

Podstawiając wyrażenie jawne dla U , trzeba

${\ Displaystyle S = {\ Frac {1} {\ lewo \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ prawo \ rangle}} {\ mathcal {T}} e ^ {-i \ int {d \ tau H_ {\rm {int}}(\tau)}}~,}$

gdzie jest interakcyjna część hamiltonianu i jest porządkiem czasu. ${\ Displaystyle H_ {\ RM {int}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Przyglądając się, można zauważyć, że ta formuła nie jest wyraźnie kowariantna.

Seria Dyson

Najczęściej używanym wyrażeniem dla macierzy S jest seria Dyson. Wyraża to operator macierzy S jako szereg :

${\ Displaystyle S = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int \ cdots \ int d ^ {4} x_ {1 }d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H} }_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$

gdzie:

• ${\displaystyle T[\cdots]}$oznacza porządkowanie czasowe ,
• ${\ Displaystyle \; {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x)}$oznacza gęstość interakcji hamiltonian, która opisuje oddziaływania w teorii.

Nie- S -macierz

Ponieważ przemiany cząstek w czarną dziurę w promieniowanie Hawkinga nie można było opisać za pomocą macierzy S , Stephen Hawking zaproponował „ matrycę nie- S ”, dla której użył znaku dolara, i dlatego nazwano ją również „matrycą dolara”. ”.

Zobacz też

• Schemat Feynmana
• Formuła redukcji LSZ
• Twierdzenie Wicka
• twierdzenie Haaga
• Obraz interakcji

Uwagi

Uwagi

Bibliografia

• LD Landau , EM Lifszitz (1977). Mechanika kwantowa: teoria nierelatywistyczna . Tom. 3 (wyd. trzecie). Pergamon Prasa . Numer ISBN 978-0-08-020940-1. |volume=ma dodatkowy tekst ( pomoc ) §125
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, tom I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Merzbacher, Eugen (1961), Mechanika kwantowa , Wiley & Sons, rozdz. 13, §3; Rozdział 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Sakurai, JJ ; Napolitano, J (2011) [1964]. Nowoczesna mechanika kwantowa (wyd. 2). Addisona Wesleya . Rozdział 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Barut, Asim Orhan (1967). Teoria macierzy rozpraszania dla oddziaływań cząstek elementarnych . Macmillana.
• Albert Mesjasz (1999). Mechanika kwantowa . Publikacje Dovera. Numer ISBN 0-486-40924-4.
• Tony Philips (listopad 2001). „Skończenie wymiarowe Diagramy Feynmana” . Co nowego w matematyce . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Źródło 2007-10-23 .
• Stefan Gąsiorowicz (1974). Fizyka kwantowa . Wiley i Synowie. Numer ISBN 0-471-29281-8.
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Kwantyzacja pola , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Mussardo, G. (1992). „Pozakrytyczne modele statystyczne: teorie rozproszenia na czynniki i program ładowania początkowego”. Raporty fizyczne . 218 (5-6): 215-379. Kod Bib : 1992PhR...218..215M . doi : 10.1016/0370-1573(92)90047-4 .
• Zamołodczikow, AB (1979). „Faktoryzowane macierze S w dwóch wymiarach jako dokładne rozwiązania niektórych relatywistycznych modeli kwantowej teorii pola”. Roczniki Fizyki . 120 (2): 253. Kod Bib : 1979AnPhy.120..253Z . doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .