Twierdzenie Haaga - Haag's theorem

Rudolf Haag Postuluje się, że obraz interakcji nie istnieje w interakcji, relatywistycznej , teorii pola kwantowego , co obecnie powszechnie znany jako twierdzenie Haag . Oryginalny dowód Haaga został następnie uogólniony przez wielu autorów, zwłaszcza Hall i Wightman (1957), którzy doszli do wniosku, że pojedyncza, uniwersalna reprezentacja przestrzeni Hilberta nie wystarczy do opisania zarówno wolnych, jak i oddziałujących pól. Reed i Simon (1975) udowodnili, że twierdzenie Haaga ma również zastosowanie do wolnych neutralnych pól skalarnych o różnych masach, co oznacza, że ​​obraz interakcji nie może istnieć nawet przy braku interakcji.

Opis formalny

W swojej nowoczesnej formie twierdzenie Haaga można sformułować następująco:

Rozważmy dwa wierne reprezentacje kanonicznych relacji komutacyjnych , i (gdzie każdy oznacza jedną z dwóch przestrzeni Hilberta i każdy zestaw to zbiór operatorów dla danego miejsca w kanonicznych relacji komutacyjnych ). ${\ Displaystyle (\; H_ {1}, \ {O_ {1} ^ {i} \} \;)}$${\ Displaystyle (\; H_ {2}, \ {O_ {2} ^ {i} \} \;)}$${\ Displaystyle \; H_ {n} \ ,, ~ n = 1,2, \;}$${\ Displaystyle \; \ {O_ {n} ^ {i} \} \;}$

Te dwie reprezentacje nazywane są jednostkowo równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewne jednostkowe odwzorowanie z przestrzeni Hilberta na przestrzeń Hilberta, takie, że dla wszystkich ${\ Displaystyle \; U \;}$${\ Displaystyle \; H_ {1} \;}$${\ Displaystyle \; H_ {2} \;}$${\ Displaystyle \; j \ ,, ~ O_ {2} ^ {j} = UO_ {1} ^ {j} U ^ {- 1} ~.}$

Równoważność jednostkowa jest warunkiem koniecznym, aby obie reprezentacje dostarczały tych samych wartości oczekiwanych odpowiadających im obserwabli. Twierdzenie Haaga stwierdza, że ​​jeśli te dwie reprezentacje są jednostkowo równoważnymi reprezentacjami pól skalarnych, a obie reprezentacje zawierają unikalny stan próżni , to oba stany próżni są same powiązane przez unitarną równoważność. Stąd żaden hamiltonian pola nie może polaryzować próżni drugiego pola. Co więcej, jeśli dwie próżnie są niezmiennicze Lorentza, pierwsze cztery funkcje Wightmana z dwóch pól muszą być równe.

W szczególności, jeśli jedno z pól jest wolne, tak samo jest z drugim.

Ten stan rzeczy wyraźnie kontrastuje ze zwykłą nierelatywistyczną mechaniką kwantową , w której zawsze istnieje jednorodna równoważność między dwiema reprezentacjami. Fakt ten jest wykorzystywany przy konstruowaniu obrazu interakcji , w którym operatory ewoluują za pomocą reprezentacji pola swobodnego, podczas gdy stany ewoluują za pomocą reprezentacji pola oddziałującego. W formalizmie kwantowej teorii pola (QFT) taki obraz na ogół nie istnieje, ponieważ te dwie reprezentacje są jednostkowo nierówne. W ten sposób teoretyk pola kwantowego staje przed tak zwanym problemem wyboru : należy wybrać „właściwą” reprezentację spośród nieskończonego zbioru reprezentacji, które nie są równoważne.

Fizyczny / heurystyczny punkt widzenia

Jak już zauważył Haag w swojej oryginalnej pracy, to polaryzacja próżni leży u podstaw twierdzenia Haaga. Każde oddziałujące pole kwantowe (w tym nieoddziałujące pola o różnych masach) polaryzuje próżnię, w wyniku czego jej stan próżni znajduje się w zrenormalizowanej przestrzeni Hilberta, która różni się od przestrzeni Hilberta wolnego pola. Chociaż zawsze można było znaleźć izomorfizm, który odwzorowuje jedną przestrzeń Hilberta na drugą, twierdzenie Haaga implikuje, że żadne takie odwzorowanie nie może dostarczyć jednoznacznie równoważnych reprezentacji odpowiednich kanonicznych relacji komutacyjnych , tj. Jednoznacznych wyników fizycznych. ${\ displaystyle \; H _ {\ text {renorm}} \;}$${\ Displaystyle \; H _ {\ tekst {za darmo}} \;}$

Obejścia

Wśród założeń, które prowadzą do twierdzenia Haaga, jest niezmienność translacji systemu. W konsekwencji układy, które można ustawić w pudełku z okresowymi warunkami brzegowymi lub które oddziałują z odpowiednimi potencjałami zewnętrznymi, wymykają się wnioskom z twierdzenia.

Haag (1958) i Ruelle (1962) przedstawili teorię rozpraszania Haaga-Ruelle'a , która zajmuje się asymptotycznymi stanami swobodnymi, a tym samym służy do sformalizowania niektórych założeń potrzebnych do formuły redukcji LSZ . Techniki te nie mogą być jednak stosowane do cząstek bezmasowych i powodują nierozwiązane problemy ze stanami związanymi.

Sprzeczne reakcje teoretyków pola kwantowego

Podczas gdy niektórzy fizycy i filozofowie fizyki wielokrotnie podkreślali, jak poważnie twierdzenie Haaga wstrząsa podstawami QFT , większość praktykujących teoretyków pola kwantowego po prostu odrzuca tę kwestię. Większość tekstów dotyczących kwantowej teorii pola, ukierunkowanych na praktyczną ocenę modelu standardowego interakcji cząstek elementarnych, nawet o tym nie wspomina, zakładając implicite, że można znaleźć pewien rygorystyczny zestaw definicji i procedur, aby wzmocnić potężne i dobrze potwierdzone wyniki heurystyczne, o których donoszą. .

Na przykład struktura asymptotyczna (por. Dżety QCD ) jest specyficznym obliczeniem w ścisłej zgodności z eksperymentem, ale mimo to powinna zawieść z powodu twierdzenia Haaga. Ogólne wrażenie jest takie, że nie jest to jakieś obliczenie, o które się tylko natknęliśmy, ale raczej że uosabia ona fizyczną prawdę. Praktyczne obliczenia i narzędzia są motywowane i uzasadnione odwołaniem się do wielkiego formalizmu matematycznego zwanego QFT . Twierdzenie Haaga sugeruje, że formalizm nie jest dobrze uzasadniony, ale obliczenia praktyczne są na tyle odległe od uogólnionego formalizmu, że ewentualne słabości nie wpływają (ani nie unieważniają) praktycznych wyników.

Jak zauważył Teller (1997):

Wszyscy muszą zgodzić się, że twierdzenie Haaga jako część matematyki jest ważnym wynikiem, który przynajmniej wydaje się kwestionować matematyczne podstawy oddziałującej kwantowej teorii pola, i zgodzić się, że jednocześnie teoria ta okazała się zadziwiająco skuteczna w zastosowaniu do wyników eksperymentalnych. .

Lupher (2005) zasugerował, że szeroki wachlarz sprzecznych reakcji na twierdzenie Haaga może być częściowo spowodowany faktem, że to samo istnieje w różnych sformułowaniach, co z kolei zostało udowodnione w różnych sformułowaniach QFT, takich jak podejście aksjomatyczne Wightmana czy formuła LSZ . Według Luphera,

Nieliczni, którzy o tym wspominają, zwykle uważają to za coś ważnego, co ktoś (inny) powinien dokładnie zbadać.

Sklar (2000) dalej wskazał:

W teorii mogą występować problemy konceptualne, które wydają się być wynikiem artefaktów matematycznych. Teoretykowi wydaje się, że nie są to fundamentalne problemy zakorzenione w jakimś głębokim fizycznym błędzie w teorii, ale raczej konsekwencja jakiegoś nieszczęścia w sposobie wyrażenia teorii. Twierdzenie Haaga jest być może tego rodzaju trudnością.

Wallace (2011) porównał zalety konwencjonalnej QFT z algebraiczną kwantową teorią pola (AQFT) i zauważył, że

... algebraiczna kwantowa teoria pola ma jednostkowo nierówne reprezentacje nawet w obszarach skończonych przestrzennie, ale ten brak jednolitej równoważności objawia się tylko w odniesieniu do wartości oczekiwanych na dowolnych małych obszarach czasoprzestrzeni i są to dokładnie te wartości oczekiwane, które nie są rzeczywiste informacje o świecie.

To drugie twierdzenie uzasadnia spostrzeżeniami wyniesionymi z nowoczesnej teorii grup renormalizacji, a mianowicie faktem, że

... możemy wchłonąć całą naszą nieznajomość tego, w jaki sposób wartość odcięcia [tj. odcięcie krótkiego zasięgu wymagane do przeprowadzenia procedury renormalizacji] jest implementowane do wartości nieskończenie wielu współczynników, które można zmierzyć empirycznie.

Jeśli chodzi o konsekwencje twierdzenia Haaga, obserwacja Wallace'a sugeruje, że skoro QFT nie próbuje przewidywać podstawowych parametrów, takich jak masy cząstek lub stałe sprzężenia, potencjalnie szkodliwe skutki wynikające z jednostronnie nie równoważnych reprezentacji pozostają wchłaniane wewnątrz wartości empirycznych, które wynikają z pomiarów te parametry (w danej skali długości) i które są łatwo importowane do QFT . W praktyce pozostają więc niewidoczne dla teoretyków pola kwantowego.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Fraser, Doreen (2006). Twierdzenie Haaga i interpretacja kwantowych teorii pola z interakcjami (praca doktorska). Uniwersytet w Pittsburghu .
• Arageorgis, A. (1995). Pola, cząstki i krzywizna: Podstawy i filozoficzne aspekty kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni (rozprawa doktorska). Uniwersytet w Pittsburghu .
• Bain, J. (2000). „Przeciwko dualizmowi cząstka / pole: asymptotyczne stany cząstek i pola interpolujące w oddziałujących QFT (lub: kto się boi twierdzenia Haaga?)”. Erkenntnis . 53 (3): 375–406. doi : 10.1023 / A: 1026482100470 .