Współrzędne Schwarzschilda - Schwarzschild coordinates

W teorii rozmaitości lorentzowskiej , czasoprzestrzeni sferycznie symetryczne przyznać rodzinę zagnieżdżonych okrągłych kulek . W takiej czasoprzestrzeni szczególnie ważnym rodzajem wykresu współrzędnych jest wykres Schwarzschilda , rodzaj wykresu z biegunowymi współrzędnymi sferycznymi na statycznej i sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni , który jest dostosowany do tych zagnieżdżonych okrągłych sfer. Charakterystyczną cechą wykresu Schwarzschilda jest to, że współrzędna promieniowa ma naturalną interpretację geometryczną pod względem pola powierzchni i krzywizny Gaussa każdej kuli. Jednak odległości promieniowe i kąty nie są dokładnie reprezentowane.

Te wykresy mają wiele zastosowań w metrycznych teoriach grawitacji, takich jak ogólna teoria względności . Najczęściej stosuje się je w statycznych sferycznie symetrycznych czasoprzestrzeniach. W przypadku ogólnej teorii względności , twierdzenie birkhoffa stwierdza, że każde pojedyncze sferycznie symetryczną próżnię lub elektryczne rozwiązanie równania pola Einsteina jest statyczna, ale nie jest to prawdą dla płyn idealny . Rozszerzenie obszaru zewnętrznego rozwiązania próżni Schwarzschilda wewnątrz horyzontu zdarzeń sferycznie symetrycznej czarnej dziury nie jest statyczne wewnątrz horyzontu, a rodzina (podobnych do kosmosu) zagnieżdżonych sfer nie może zostać przedłużona wewnątrz horyzontu, więc wykres Schwarzschilda dla tego rozwiązanie z konieczności załamuje się na horyzoncie.

Definicja

Określenie tensora metrycznego jest częścią definicji dowolnej rozmaitości Lorentza . Najprostszym sposobem zdefiniowania tego tensora jest zdefiniowanie go na kompatybilnych lokalnych wykresach współrzędnych i sprawdzenie, czy ten sam tensor jest zdefiniowany na nakładaniu się domen wykresów. W tym artykule spróbujemy tylko zdefiniować tensor metryczny w dziedzinie pojedynczego wykresu. ${\ displaystyle g}$

Na wykresie Schwarzschilda (na statycznej, sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni) element liniowy przyjmuje postać

${\ Displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ lewo (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right) = - a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} g _ {\ Omega}}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Gdzie jest standardową współrzędną sferyczną i jest standardową metryczną jednostką 2-sferyczną. Zobacz Wyprowadzanie rozwiązania Schwarzschilda, aby uzyskać bardziej szczegółowe wyprowadzenie tego wyrażenia. ${\ Displaystyle \ Omega = (\ teta, \ phi)}$${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

W zależności od kontekstu może być właściwe traktowanie a i b jako nieokreślonych funkcji współrzędnej radialnej (na przykład przy wyprowadzaniu dokładnego statycznego sferycznie symetrycznego rozwiązania równania pola Einsteina ). Alternatywnie możemy podłączyć określone funkcje (prawdopodobnie w zależności od niektórych parametrów), aby uzyskać wykres współrzędnych Schwarzschilda dla określonej czasoprzestrzeni Lorentza.

Jeśli okaże się, że dopuszcza to tensor energii naprężenia, taki, że otrzymany model spełnia równanie pola Einsteina (powiedzmy, dla statycznego sferycznie symetrycznego płynu doskonałego spełniającego odpowiednie warunki energetyczne i inne właściwości oczekiwane od rozsądnie doskonałego płynu), to z odpowiednim tensorem pola reprezentujące wielkości fizyczne, takie jak materia i gęstość pędu, mamy fragment prawdopodobnie większej czasoprzestrzeni; kawałek, który można uznać za lokalne rozwiązanie równania pola Einsteina.

Zabijanie pól wektorowych

W odniesieniu do wykresu Schwarzschilda The Algebra Lie z pole killinga jest generowany przez timelike bezwirowy pole killinga

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t}}$

oraz trzy podobne do kosmosu pola wektorowe zabijania

${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ sin \ phi \, \ częściowe _ {\ theta} + \ cot \ theta \, \ cos \ phi \, \ częściowe _ {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ cos \ phi \, \ częściowe _ {\ theta} - \ cot \ theta \, \ sin \ phi \, \ częściowe _ {\ phi}}$

Tutaj stwierdzenie, że jest to irrotacyjne, oznacza, że znika tensor wirowości odpowiadającej mu kongruencji ; tak więc to pole wektora zabijania jest ortogonalne hiperpowierzchni . Fakt, że nasza czasoprzestrzeń dopuszcza irrotacyjne, podobne do czasu pole wektora zabijania, jest w rzeczywistości definiującą cechą statycznej czasoprzestrzeni . Jedną bezpośrednią konsekwencją jest to, że powierzchnie o stałej współrzędnej czasowej tworzą rodzinę (izometrycznych) przestrzennych hipersleksów . (Nie jest to prawdą, na przykład na wykresie Boyera-Lindquista dla zewnętrznego obszaru próżni Kerra , gdzie podobny w czasie wektor współrzędnych nie jest ortogonalny hiperpowierzchni). ${\ displaystyle {\ vec {X}} = \ częściowe _ {t}}$ ${\ displaystyle t = t_ {0}}$

Zauważ, że ostatnie dwa pola to wzajemne obroty w ramach transformacji współrzędnych . Artykuł o zabijaniu pól wektorowych zawiera szczegółowe wyprowadzenie i omówienie trzech pól kosmicznych. ${\ Displaystyle \ phi \ mapsto \ phi + \ pi / 2}$

Rodzina statycznych zagnieżdżonych sfer

Na wykresie Schwarzschilda powierzchnie pojawiają się jako okrągłe kule (kiedy wykreślamy loci w biegunowy sposób sferyczny), a z jego formy widzimy, że metryka Schwarzschilda ograniczona do którejkolwiek z tych powierzchni jest określona dodatnio i określona przez ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}}$

${\ Displaystyle g | _ {t = t_ {0}, r = r_ {0}} = r_ {0} ^ {2} g _ {\ Omega} = r_ {0} ^ {2} \ lewo (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right), \; 0 <\ theta <\ pi, \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

Gdzie jest standardowa metryka Riemanniana na promieniu jednostki 2-sferze. Oznacza to, że te zagnieżdżone sfery współrzędnych w rzeczywistości reprezentują sfery geometryczne z ${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

1. powierzchnia ${\ Displaystyle A = 4 \ pi r_ {0} ^ {2}}$
2. Krzywizna Gaussa ${\ Displaystyle K = 1 / r_ {0} ^ {2}}$

W szczególności są to geometryczne okrągłe kule . Ponadto współrzędne kątowe są dokładnie takimi samymi , jak zwykle biegunowymi, sferycznymi współrzędnymi kątowymi: czasami nazywa się je współrzędnymi współrzędnymi i zwykle nazywa się je długością geograficzną . Jest to zasadniczo definiująca geometryczna cecha wykresu Schwarzschilda. ${\ Displaystyle \ Omega = (\ teta, \ phi)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Warto dodać, że cztery pola zabijania podane powyżej, uważane za abstrakcyjne pola wektorowe w naszej rozmaitości lorentzowskiej, dają najprawdziwszy wyraz obu symetrii statycznej, sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni, podczas gdy szczególna forma trygonometryczna, którą przyjmują na naszym wykresie to najprawdziwszy wyraz znaczenia terminu wykres Schwarzschilda . W szczególności, trzy przestrzenne pola wektorów zabijania mają dokładnie taką samą postać, jak trzy nietranslacyjne pola wektorów zabijania na wykresie sferycznie symetrycznym na E ³ ; to znaczy, wykazują one pojęcie dowolnego obrotu euklidesowego wokół pochodzenia lub symetrii sferycznej.

Należy jednak pamiętać: ogólnie współrzędna radialna Schwarzschilda nie przedstawia dokładnie odległości promieniowych , tj. Odległości wykonanych wzdłuż kosmicznej kongruencji geodezyjnej, które powstają jako krzywe całkowe . Zamiast tego, aby znaleźć odpowiednie pojęcie ` ` odległości przestrzennej '' między dwiema z naszych zagnieżdżonych sfer, powinniśmy przeprowadzić całkowanie wzdłuż pewnego promienia współrzędnych od początku: ${\ Displaystyle \ częściowe _ {r}}$ ${\ Displaystyle b (r) dr}$

${\ Displaystyle \ Delta \ rho = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} b (r) dr}$

Podobnie, możemy uważać każdą sferę za miejsce sferycznej chmury wyidealizowanych obserwatorów, którzy muszą (ogólnie) używać silników rakietowych do przyspieszania promieniowo na zewnątrz, aby utrzymać swoje położenie. Są to statyczne obserwatory i mają światowe linie kształtu , które oczywiście mają postać pionowych linii współrzędnych na wykresie Schwarzschilda. ${\ displaystyle r = r_ {0}, \ theta = \ theta _ {0}, \ phi = \ phi _ {0}}$

Aby obliczyć właściwy odstęp czasu między dwoma zdarzeniami na linii świata jednego z tych obserwatorów, musimy całkować wzdłuż odpowiedniej linii współrzędnych: ${\ displaystyle a (r) dt}$

${\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} a (r) dt}$

Koordynuj osobliwości

Patrząc wstecz na powyższe zakresy współrzędnych, zauważ, że osobliwość współrzędnych w oznacza położenie bieguna północnego jednej z naszych statycznych zagnieżdżonych sfer, a jednocześnie oznacza położenie bieguna południowego . Podobnie jak w przypadku zwykłego polarnego wykresu sferycznego na E ³ , z powodów topologicznych nie możemy uzyskać ciągłych współrzędnych na całej kuli; musimy wybrać jakąś długość geograficzną (wielki okrąg), aby działał jako główny południk i wyciąć go z mapy. W rezultacie wycięliśmy zamkniętą półpłaszczyznę z każdej przestrzennej hiperslice, w tym oś i półpłaszczyznę rozciągającą się od tej osi. ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = \ pi}$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle r = 0}$

Kiedy powiedzieliśmy powyżej, że jest to pole wektora zabijania, pominęliśmy pedantyczny, ale ważny kwalifikator, o którym myślimy jako współrzędna cykliczna , i faktycznie myślimy o naszych trzech podobnych do kosmosu wektorach zabijających, działających na okrągłych sferach. ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

Możliwe, oczywiście, lub w takim przypadku musimy również wyciąć region poza jakąś kulką lub wewnątrz jakiejś kulki z domeny naszego wykresu. Dzieje się tak, gdy f lub g wybuchają przy pewnej wartości współrzędnej radialnej r. Schwarzschilda. ${\ displaystyle r_ {1}> 0}$${\ displaystyle r_ {2} <\ infty}$

Wizualizacja statycznych hipersklasów

Aby lepiej zrozumieć znaczenie współrzędnej radialnej Schwarzschilda, może pomóc osadzenie jednego z przestrzennych hipersklamów (wszystkie są oczywiście izometryczne względem siebie) w płaskiej przestrzeni euklidesowej. Ludzie, którym trudno jest wizualizować czterowymiarową przestrzeń euklidesową, z przyjemnością zauważą, że możemy wykorzystać symetrię sferyczną do stłumienia jednej współrzędnej . Można to wygodnie osiągnąć przez ustawienie . Teraz mamy dwuwymiarową rozmaitość riemannowską z lokalnym radialnym wykresem współrzędnych, ${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ Displaystyle t = 0, \ theta = \ pi / 2}$

${\ Displaystyle g | _ {t = 0, \ theta = \ pi / 2} = b (r) ^ {2} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ phi ^ {2}, \; \ ; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Aby osadzić tę powierzchnię (lub na pierścieniu ) w E ³ , przyjmujemy pole ramki w E ^3, które

1. jest zdefiniowany na sparametryzowanej powierzchni, która odziedziczy pożądaną metrykę z przestrzeni osadzania,
2. jest dostosowany do naszego wykresu radialnego,
3. ma nieokreśloną funkcję .${\ displaystyle f (r)}$

Na przykład, rozważ sparametryzowaną powierzchnię

${\ Displaystyle (z, r, \ phi) \ rightarrow (f (r), \, r \ cos \ phi, \ r \ sin \ phi)}$

Pola wektorów współrzędnych na tej powierzchni to

${\ Displaystyle \ częściowe _ {r} = (f ^ {\ pierwsza} (r), \, \ cos \ phi, \, \ sin \ phi), \; \; \ częściowe _ {\ phi} = (0 , -r \ sin \ phi, r \ cos \ phi)}$

Indukowana metryka odziedziczona po ograniczeniu metryki euklidesowej na E ³ do naszej sparametryzowanej powierzchni to

${\ Displaystyle d \ rho ^ {2} = \ lewo (1 + f ^ {\ pierwsza} (r) ^ {2} \ prawej) \, dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ phi ^ {2}, \; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Aby utożsamić to z metryką naszej hiperslice, powinniśmy oczywiście wybrać taką, która ${\ displaystyle f (r)}$

${\ displaystyle f ^ {\ prime} (r) = {\ sqrt {1-b (r) ^ {2}}}}$

Na przykład głupiutki przykład . ${\ Displaystyle b (r) = f (r) = \ sin (r)}$

Działa to w przypadku powierzchni, w których rzeczywiste odległości między dwoma punktami oddzielonymi promieniowo są większe niż różnica między ich współrzędnymi promieniowymi. Jeśli rzeczywiste odległości są mniejsze , powinniśmy zamiast tego osadzić naszą rozmaitość riemannowską jako powierzchnię podobną do kosmosu w E ^1,2 . Na przykład moglibyśmy mieć . Czasami możemy potrzebować dwóch lub więcej lokalnych osadzeń pierścieniowych pierścieni (dla regionów o dodatniej lub ujemnej krzywizny Gaussa). Ogólnie rzecz biorąc, nie powinniśmy oczekiwać globalnego osadzenia w jednej płaskiej przestrzeni (ze znikającym tensorem Riemanna). ${\ Displaystyle b (r) = f (r) = \ sinh (r)}$

Chodzi o to, że definiująca charakterystyka wykresu Schwarzschilda pod względem geometrycznej interpretacji współrzędnej promieniowej jest właśnie tym, czego potrzebujemy (w zasadzie) do przeprowadzenia tego rodzaju sferycznie symetrycznego osadzania przestrzennych hipersleksów.

Metryka Ansatz

Podany powyżej element liniowy, gdzie f , g jest uważany za nieokreślone funkcje radialnej współrzędnej r Schwarzschilda , jest często używany jako metryczny ansatz w wyprowadzaniu statycznych, sferycznie symetrycznych rozwiązań w ogólnej teorii względności (lub innych metrycznych teoriach grawitacji ).

Jako ilustracja wskażemy, jak obliczyć połączenie i krzywiznę za pomocą metody rachunku zewnętrznego Cartana . Najpierw odczytujemy z elementu liniowego pole ramki ,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = - a (r) \, dt}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} = b (r) \, dr}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = rd \ theta \,}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {3} = r \ sin \ theta \, d \ phi}$

gdzie uważamy, są jeszcze nieokreślone gładkie funkcje . (Fakt, że nasza czasoprzestrzeń dopuszcza ramkę o tej szczególnej formie trygonometrycznej, jest kolejnym równoważnym wyrażeniem pojęcia wykresu Schwarzschilda w statycznej, sferycznie symetrycznej rozmaitości lorentzowskiej). ${\ displaystyle a \, b}$${\ displaystyle r}$

Po drugie, obliczamy zewnętrzne pochodne tych jednej formy kobazy:

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {0} = - a '(r) \, dr \ klin dt = {\ Frac {a' (r)} {b (r)}} \, dt \ klin \ sigma ^ { 1}}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {1} = 0 \,}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = dr \ klin d \ theta}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {3} = \ sin \ theta \, dr \ klin d \ phi + r \, \ cos \ theta \, d \ theta \ klin d \ phi = - \ lewo ({\ Frac { \ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}} \ wedge \ sigma ^ {1} + \ cos \ theta \, d \ phi \ wedge \ sigma ^ {2} \ right)}$

W porównaniu z pierwszym równaniem strukturalnym Cartana (a raczej jego warunkiem całkowitości),

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {\ kapelusz {m}} = - {\ omega ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {\ kapelusz {n}} \, \ klin \ sigma ^ {\ kapelusz {n}} }$

zgadujemy wyrażenia dla połączenia jednokształtowego . (Kapelusze są tylko oznaczeniem, które przypomina nam, że indeksy odnoszą się do naszej jednej formy cobasis, a nie do jednej formy współrzędnej ). ${\ Displaystyle dt, \, dr, \, d \ theta, d \ phi}$

Jeśli przypomnimy sobie, które pary indeksów są symetryczne (czasoprzestrzeń), a które antysymetryczne (przestrzeń-przestrzeń) , możemy potwierdzić, że sześć form jedności połączeń jest ${\ Displaystyle {\ omega ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {\ kapelusz {n}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ Frac {a '} {b}} (r) \, dt}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {2} = 0}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {3} = 0}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - {\ Frac {d \ theta} {b (r)}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - {\ Frac {\ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ cos \ theta \, d \ phi}$

(W tym przykładzie tylko cztery z sześciu nie znikają.) Możemy zebrać te formy jednokształtne w macierz jednej postaci, a nawet lepiej, w jedną postać o wartościach SO (1,3). Należy zauważyć, że wynikowa macierz postaci jednokształtnych nie będzie całkowicie antysymetryczna, jak w przypadku jednej postaci o wartościach SO (4); zamiast tego musimy użyć pojęcia transpozycji wynikającego z sprzężenia Lorentza .

Po trzecie, obliczamy zewnętrzne pochodne połączenia jednokształtowego i używamy drugiego równania strukturalnego Cartana

${\ Displaystyle {\ Omega ^ {\ kapelusz {m}}} _ {\ kapelusz {n}} = d {\ omega ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {\ kapelusz {n}} - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {\ ell}} \ wedge {\ omega ^ {\ hat {\ ell}}} _ {\ hat {n}}}$

obliczyć krzywiznę dwie formy. Po czwarte, używając wzoru

${\ Displaystyle {\ Omega ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {\ kapelusz {n}} = {R ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {{\ kapelusz {n}} | {\ kapelusz {\ imath}} {\ hat {\ jmath}} |} \, \ sigma ^ {\ hat {\ imath}} \ wedge \ sigma ^ {\ hat {\ jmath}}}$

gdzie słupki Bacha wskazują, że powinniśmy sumować tylko sześć rosnących par indeksów ( i , j ), możemy odczytać liniowo niezależne składowe tensora Riemanna w odniesieniu do naszej kframe i jej pola podwójnej ramki . Otrzymujemy:

${\ Displaystyle {R ^ {0}} _ {101} = {\ Frac {-a '' \, b + a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r)}$

${\ Displaystyle {R ^ {0}} _ {202} = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {-a '} {a \, b ^ {2}}} (r) = {R ^ {0}} _ {303}}$

${\ Displaystyle {R ^ {1}} _ {212} = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {b '} {b ^ {3}}} (r) = {R ^ {1} } _ {313}}$

${\ Displaystyle {R ^ {2}} _ {323} = {\ Frac {1} {r ^ {2}}} {\ Frac {b ^ {2} -1} {b ^ {2}}} ( r)}$

Po piąte, możemy obniżyć indeksy i uporządkować komponenty w macierz ${\ displaystyle R _ {{\ hat {m.}} {\ hat {n}} {\ hat {i}} {\ hat {j}}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ rozpocząć {matrix} R_ {0101} i R_ {0102} i R_ {0103} i R_ {0123} i R_ {0131} i R_ {0112} \\ R_ {0201} i R_ {0202} i R_ {0203} & R_ {0223} & R_ {0231} & R_ {0212} \\ R_ {0301} & R_ {0302} & R_ {0303} & R_ {0323} & R_ {0331} & R_ {0312} \\ R_ {2301} & R_ {2302} & R_ { 2303} & R_ {2323} & R_ {2331} & R_ {2312} \\ R_ {3101} & R_ {3102} & R_ {3103} & R_ {3123} & R_ {3131} & R_ {3112} \\ R_ {1201} & R_ {1202} & R_ {1203} & R_ {1223} & R_ {1231} & R_ {1212} \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} E&B \\ B ^ {T} & L \ end {matrix}} \dobrze]}$

gdzie E, L są symetryczne (sześć liniowo niezależnych składowych, ogólnie), a B jest bezśladowe ( ogólnie osiem liniowo niezależnych składowych), co uważamy za reprezentujące operator liniowy na sześciowymiarowej przestrzeni wektorowej dwóch form (w każde wydarzenie). Z tego możemy odczytać rozkład Bel w odniesieniu do czasowego pola wektora jednostkowego . Electrogravitic tensor jest ${\ Displaystyle {\ vec {X}} = {\ vec {e}} _ {0} = {\ Frac {1} {a (r)}} \, \ częściowe _ {t}}$

${\ Displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ Frac {a '' \, b-a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r) , \; E [{\ vec {X}}] _ {22} = E [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {a '} {a \, b ^ {2}}} (r)}$

Magnetogravitic napinacz znika identycznie i topogravitic napinacz , z których (wykorzystując fakt, że jest bezwirowy) można określić trójwymiarowy Riemanna tensor z hyperslices przestrzennego, ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ Displaystyle L [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ Frac {1} {r ^ {2}}} {\ Frac {1-b ^ {2}} {b ^ {2} }} (r), \; L [{\ vec {X}}] _ {22} = L [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {-b '} {b ^ {3}}} (r)}$

To wszystko jest poprawne dla dowolnej rozmaitości Lorentza, ale zauważamy, że w ogólnej teorii względności tensor elektrograwityczny kontroluje naprężenia pływowe na małych obiektach, mierzone przez obserwatorów odpowiadających naszej ramie, a tensor magnetograwityczny kontroluje wszelkie siły spinowo-spinowe na wirujących obiektach mierzona przez obserwatorów odpowiadających naszej ramie.

Pole podwójnej ramki w naszym polu kframe to

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ Frac {1} {a (r)}} \, \ częściowe _ {t}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ Frac {1} {b (r)}} \, \ częściowe _ {r}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ Frac {1} {r}} \, \ częściowe _ {\ theta}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = {\ Frac {1} {r \ sin \ theta}} \ \ częściowe _ {\ phi}}$

Fakt, że czynnik mnoży tylko pierwsze z trzech ortonormalnych pól wektorowych podobnych do kosmosu oznacza, że ​​mapy Schwarzschilda nie są izotropowe przestrzennie (z wyjątkiem trywialnego przypadku lokalnie płaskiej czasoprzestrzeni); raczej pojawiają się czopki świetlne (promieniowo spłaszczone) lub (promieniowo wydłużone). To oczywiście kolejny sposób na powiedzenie, że wykresy Schwarzschilda poprawnie przedstawiają odległości w każdej zagnieżdżonej okrągłej kuli, ale współrzędna promieniowa nie odzwierciedla wiernie właściwej odległości radialnej. ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {b (r)}}}$

Kilka dokładnych rozwiązań przyznających wykresy Schwarzschilda

Oto kilka przykładów dokładnych rozwiązań, które można uzyskać w ten sposób:

• zewnętrzny obszar próżni Schwarzschilda ,
• jak wyżej, dla elektrowakumulatora Reissnera-Nordströma , który obejmuje poprzedni przykład jako przypadek specjalny,
• jak wyżej, w przypadku próżni elektroluminescencyjnej Reissner – Nordström – de Sitter , która obejmuje poprzedni przykład jako przypadek specjalny,
• rozwiązanie Janis-Newman-Winacour (które modeluje zewnętrzną stronę statycznego sferycznie symetrycznego obiektu wyposażonego w bezmasowe, minimalnie sprzężone pole skalarne),
• modele gwiazdowe otrzymane przez dopasowanie obszaru wewnętrznego, który jest statycznym, sferycznie symetrycznym, doskonałym roztworem płynu w kulistym miejscu zanikającego ciśnienia do obszaru zewnętrznego, który jest lokalnie izometryczny do części obszaru próżni Schwarzschilda.

Uogólnienia

Naturalne jest rozważenie niestatycznych, ale sferycznie symetrycznych czasoprzestrzeni, z uogólnionym wykresem Schwarzschilda, w którym metryka przyjmuje postać

${\ Displaystyle g = -a (t, r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (t, r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ lewo ( d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right),}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Uogólniając w innym kierunku, możemy użyć innych układów współrzędnych na naszych okrągłych dwóch sferach, aby uzyskać na przykład stereograficzny wykres Schwarzschilda, który czasami jest przydatny:

${\ Displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + {\ Frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1 + x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}, \; - \ infty <t, x, y <\ infty, r_ {1} <r <r_ {2}}$

Zobacz też

• czasoprzestrzeń statyczna ,
• czasoprzestrzeń symetryczna sferycznie ,
• płyny doskonałe statyczne sferycznie symetryczne ,
• współrzędne izotropowe , kolejny popularny wykres dla statycznych sferycznie symetrycznych czasoprzestrzeni,
• Biegunowe współrzędne Gaussa , mniej powszechny alternatywny wykres dla statycznych sferycznie symetrycznych czasoprzestrzeni,
• Współrzędne Gullstranda – Painlevé , prosty wykres, który jest ważny w horyzoncie zdarzeń statycznej czarnej dziury.
• pola ramek w ogólnej teorii względności , aby uzyskać więcej informacji na temat pól ramek i pól ramek,
• Rozkład Bela tensora Riemanna,
• kongruencja (ogólna teoria względności) , aby uzyskać więcej informacji na temat kongruencji, takich jak powyżej,${\ displaystyle {\ vec {X}}}$
• Współrzędne Kruskala – Szekeresa , wykres obejmujący całą rozmaitość czasoprzestrzeni maksymalnie rozszerzonego rozwiązania Schwarzschilda i są grzeczne wszędzie poza fizyczną osobliwością,
• Współrzędne Eddingtona – Finkelsteina , alternatywny wykres dla statycznych sferycznie symetrycznych czasoprzestrzeni,

Uwagi