Sferyczny układ współrzędnych — Spherical coordinate system
W matematyce , A Układ sferycznych współrzędnych jest układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej , gdzie położenie punktu określonego przez trzy liczby: promieniowa odległość tego punktu od stałej pochodzenia jej kątowa mierzona od stałej zenitu kierunku, azymutalny kąt jej prostopadłym rzucie na płaszczyznę odniesienia, która przechodzi przez początek i jest prostopadła do zenitu mierzone w ustalonym kierunku odniesienia na tej płaszczyźnie. Można go postrzegać jako trójwymiarową wersję biegunowego układu współrzędnych .
Odległość promieniowa jest również nazywana promieniem lub współrzędną promieniową . Kąt polarna może być nazywany colatitude , kąt zenit , normalny kąt , a kąt nachylenia .
Użycie symboli i kolejność współrzędnych różni się w zależności od źródeł i dyscyplin. W tym artykule wykorzystamy konwencję ISO często spotykaną w fizyce : podaje odległość promieniową, kąt biegunowy i kąt azymutalny. W wielu książkach matematyki, lub daje promieniową odległość, kąt azymutu i kąta polarnego, przełączanie znaczenia θ i cp . Inne konwencje są także stosowane, takie jak R o promieniu od Z- osi, tak wielkie potrzeby pielęgnacyjne, które należy podjąć, aby sprawdzić znaczenie symboli.
Zgodnie z konwencją układów współrzędnych geograficznych pozycje są mierzone według szerokości, długości i wysokości (wysokości). Istnieje wiele układów współrzędnych niebieskich opartych na różnych płaszczyznach podstawowych i z różnymi terminami dla różnych współrzędnych. Sferyczne układy współrzędnych używane w matematyce zwykle używają radianów zamiast stopni i mierzą kąt azymutalny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi x do osi y, a nie zgodnie z ruchem wskazówek zegara od północy (0°) na wschód (+90°), jak w poziomym układzie współrzędnych . Kąt biegunowy jest często zastępowany kątem elewacji mierzonym od płaszczyzny odniesienia, tak że kąt elewacji zero znajduje się na horyzoncie.
Sferyczny układ współrzędnych uogólnia dwuwymiarowy układ współrzędnych biegunowych. Może być również rozszerzony na przestrzenie o wyższych wymiarach i jest wtedy określany jako hipersferyczny układ współrzędnych .
Definicja
Aby zdefiniować system współrzędnych sferycznych, trzeba wybrać dwóch prostopadłych kierunkach, zenitu , a odniesienia azymutu , oraz pochodzenie punkt w przestrzeni. Te wybory określają płaszczyznę odniesienia, która zawiera początek i jest prostopadła do zenitu. Sferyczne współrzędne punktu P definiuje się wtedy w następujący sposób:
- Promienia lub odległości promieniowej jest euklidesową odległość od początku O do P .
- Pochylenia (albo kątem polarny ) stanowi kąt pomiędzy kierunkiem zenitu i odcinka linii PO .
- Azymutu (lub kąt azymutalny ) jest podpisany kąt mierzony od azymutu kierunku odniesienia do rzutu prostokątnego odcinka linii PO na płaszczyźnie odniesienia.
Znak azymutu jest określany przez wybór pozytywnego odczucia obracania się wokół zenitu. Ten wybór jest arbitralny i stanowi część definicji układu współrzędnych.
Wzniesienie kąt 90 stopni (π/2 radiany) minus kąt nachylenia.
Jeśli nachylenie wynosi zero lub 180 stopni ( radiany π ), azymut jest dowolny. Jeśli promień wynosi zero, zarówno azymut, jak i nachylenie są dowolne.
W liniowym Algebra The wektor od początku O do punktu P jest często nazywany wektora położenia z P .
Konwencje
Istnieje kilka różnych konwencji przedstawiania trzech współrzędnych i kolejności ich zapisywania. Zastosowanie w celu oznaczenia odległości promieniowej, nachylenie (lub wysokości), azymut i, odpowiednio, jest powszechną praktyką w dziedzinie fizyki, i jest określony przez ISO normy 80000-2: 2019 , a wcześniej w ISO 31-11 (1992).
Jednakże, niektórzy autorzy (w tym matematyków) wykorzystują ρ w odległości promieniowej, cp pochylenia (albo podniesienia) i θ azymutu i R promienia od Z- osi, które „stanowi logiczne przedłużenie zwykłego biegunowych zapis”. Niektórzy autorzy mogą również podać azymut przed nachyleniem (lub elewacją). Niektóre kombinacje tych wyborów dają w wyniku lewoskrętny układ współrzędnych. Standardowa konwencja koliduje ze zwykłym zapisem dwuwymiarowych współrzędnych biegunowych i trójwymiarowych współrzędnych cylindrycznych , gdzie θ jest często używany jako azymut.
Kąty są zazwyczaj mierzone w stopniach (°) lub radianach (rad), gdzie 360° = 2 π rad. Stopnie są najczęściej używane w geografii, astronomii i inżynierii, podczas gdy radiany są powszechnie używane w matematyce i fizyce teoretycznej. Jednostka odległości promieniowej jest zwykle określana przez kontekst.
Gdy system jest używany do fizycznej trójwymiarowej przestrzeni, zwyczajowo używa się znaku dodatniego dla kątów azymutalnych mierzonych w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od kierunku odniesienia na płaszczyźnie odniesienia, patrząc od strony zenitalnej płaszczyzny. Konwencja ta jest stosowana w szczególności dla współrzędnych geograficznych, gdzie kierunek „zenitu” to północ, a dodatnie kąty azymutu (długości geograficznej) są mierzone na wschód od pewnego południka zerowego .
Główne konwencje współrzędne odpowiednie lokalne kierunki geograficzne
( Z , X , Y )prawo/leworęczny ( r , θ inc , φ az,right ) ( U , S , E ) Prawidłowy ( R , φ AZ, tak , θ El ) ( U , E , N ) Prawidłowy ( r , θ el , φ az,prawo ) ( U , N , E ) lewo
- Uwaga: wschód ( E ), północ ( N ), w górę ( U ). Lokalny kąt azymutu byłby mierzony, np. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od S do E w przypadku ( U , S , E ) .
Unikalne współrzędne
Każda sferyczna trójka współrzędnych określa pojedynczy punkt przestrzeni trójwymiarowej. Z drugiej strony każdy punkt ma nieskończenie wiele równoważnych współrzędnych sferycznych. Do każdej miary kątowej można dodać lub odjąć dowolną liczbę pełnych obrotów bez zmiany samych kątów, a zatem bez zmiany punktu. W wielu kontekstach wygodnie jest również dopuścić ujemne odległości promieniowe, z konwencją równoważną z dowolnym r , θ i φ . Co więcej, jest równoznaczne z .
Jeżeli konieczne jest zdefiniowanie unikalnego zestawu współrzędnych sferycznych dla każdego punktu, należy ograniczyć ich zakresy. Częstym wyborem jest
- r ≥ 0,
- 0° ≤ θ ≤ 180° (π rad),
- 0° ≤ φ < 360° (2π rad).
Jednak azymut φ jest często ograniczony do przedziału (-180°, +180°] lub ( -π , + π ] w radianach, zamiast [0, 360°) . Jest to standardowa konwencja długości geograficznej.
Zakres [0°, 180°] dla nachylenia jest równoważny [−90°, +90°] dla elewacji (szerokość geograficzna).
Nawet z tymi ograniczeniami, jeśli θ wynosi 0° lub 180° (elewacja wynosi 90° lub -90°), to kąt azymutu jest dowolny; a jeśli r wynosi zero, zarówno azymut jak i nachylenie/wzniesienie są arbitralne. Aby współrzędne były unikatowe, można zastosować konwencję, że w tych przypadkach dowolne współrzędne wynoszą zero.
Konspiratorstwo
Aby wykreślić kropkę z jej współrzędnych sferycznych ( r , θ , φ ) , gdzie θ jest nachyleniem, przesuń r jednostek od początku w kierunku zenitu, obróć o θ wokół początku w kierunku odniesienia azymutu i obróć o φ wokół zenit we właściwym kierunku.
Aplikacje
Układ współrzędnych geograficznych wykorzystuje azymut i wysokość sferycznego układu współrzędnych do wyrażania lokalizacji na Ziemi, nazywając je odpowiednio długością i szerokością geograficzną . Tak jak dwuwymiarowy kartezjański układ współrzędnych jest użyteczny na płaszczyźnie, dwuwymiarowy sferyczny układ współrzędnych jest użyteczny na powierzchni kuli. W tym systemie kula jest traktowana jako kula jednostkowa, więc promień jest jednością i można go ogólnie zignorować. To uproszczenie może być również bardzo przydatne w przypadku obiektów, takich jak macierze obrotowe .
Współrzędne sferyczne są przydatne w analizie systemów, które mają pewien stopień symetrii względem punktu, takich jak całki objętościowe wewnątrz kuli, potencjalne pole energii otaczające skoncentrowaną masę lub ładunek lub globalną symulację pogody w atmosferze planety. Kula, która ma równanie kartezjańskie x 2 + y 2 + z 2 = c 2 ma proste równanie r = c we współrzędnych sferycznych.
Dwa ważne równań różniczkowych cząstkowych , które pojawiają się w wielu problemów fizycznych, równanie Laplace'a i równanie Helmholtza , umożliwiają rozdzielenie zmiennych we współrzędnych sferycznych. Kątowe części rozwiązań takich równań przybierają postać harmoniki sferycznej .
Innym zastosowaniem jest konstrukcja ergonomiczna, gdzie r jest długością ramienia osoby nieruchomej, a kąty opisują kierunek ramienia, gdy wysuwa się ono.
Do przewidywania ich wydajności można wykorzystać trójwymiarowe modelowanie wzorców wyjściowych głośników . Wymagana jest pewna liczba wykresów biegunowych, wykonanych przy szerokim wyborze częstotliwości, ponieważ wzór zmienia się znacznie wraz z częstotliwością. Wykresy biegunowe pomagają pokazać, że wiele głośników ma tendencję do wszechkierunkowości przy niższych częstotliwościach.
Sferyczny układ współrzędnych jest również powszechnie używany w tworzeniu gier 3D do obracania kamery wokół pozycji gracza.
W geografii
W pierwszym przybliżeniu układ współrzędnych geograficznych wykorzystuje kąt elewacji (szerokość geograficzna) w stopniach na północ od płaszczyzny równika , w zakresie -90° ≤ φ ≤ 90° zamiast nachylenia. Szerokość geograficzna jest albo szerokością geocentryczną , mierzoną w centrum Ziemi i oznaczaną różnie przez ψ , q , φ ′, φ c , φ g lub szerokością geodezyjną , mierzoną przez lokalny pion obserwatora i powszechnie oznaczaną φ . Kąt azymutalny (długość geograficzna), powszechnie oznaczany jako λ , jest mierzony w stopniach wschód lub zachód od pewnego konwencjonalnego południka odniesienia (najczęściej południka odniesienia IERS ), więc jego domena wynosi -180° ≤ λ ≤ 180° . W przypadku pozycji na Ziemi lub innym stałym ciele niebieskim za płaszczyznę odniesienia przyjmuje się zwykle płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu .
Kąt biegunowy, który wynosi 90° minus szerokość geograficzna i waha się od 0 do 180°, w geografii nazywa się colatitude .
Zamiast odległości promieniowej geografowie zwykle używają wysokości powyżej lub poniżej jakiejś powierzchni odniesienia, która może być poziomem morza lub „średnim” poziomem powierzchni dla planet bez płynnych oceanów. Odległość promieniową r można obliczyć z wysokości, dodając średni promień powierzchni odniesienia planety, który wynosi około 6360 ± 11 km (3952 ± 7 mil) dla Ziemi.
Jednak współczesne układy współrzędnych geograficznych są dość złożone, a pozycje wynikające z tych prostych wzorów mogą być błędne o kilka kilometrów. Dokładne standardowe znaczenia szerokości, długości i wysokości są obecnie definiowane przez Światowy System Geodezyjny (WGS) i uwzględniają spłaszczenie Ziemi na biegunach (około 21 km lub 13 mil) i wiele innych szczegółów.
W astronomii
W astronomii istnieje szereg sferycznych układów współrzędnych, które mierzą kąt elewacji z różnych podstawowych płaszczyzn . Te płaszczyzny odniesienia to horyzont obserwatora , równik niebieski (określony przez obrót Ziemi), płaszczyzna ekliptyki (określona przez orbitę Ziemi wokół Słońca ), płaszczyzna terminatora Ziemi (normalna do bieżącego kierunku do Słońca ), oraz równik galaktyczny (zdefiniowany przez obrót Drogi Mlecznej ).
Konwersje układu współrzędnych
Ponieważ sferyczny układ współrzędnych jest tylko jednym z wielu trójwymiarowych układów współrzędnych, istnieją równania do konwersji współrzędnych między sferycznym układem współrzędnych a innymi.
współrzędne kartezjańskie
Współrzędne sferyczne punktu w konwencji ISO (czyli dla fizyki: promień r , nachylenie θ , azymut φ ) można uzyskać z jego współrzędnych kartezjańskich ( x , y , z ) za pomocą wzorów
Arcus tangens oznaczona na φ = arctgtak/xmusi być odpowiednio zdefiniowana, biorąc pod uwagę poprawny kwadrant ( x , y ) . Zobacz artykuł na temat atan2 .
Alternatywnie, konwersję można uznać za dwie sekwencyjne konwersje prostokątne na biegunowe : pierwsza w płaszczyźnie kartezjańskiej xy od ( x , y ) do ( R , φ ) , gdzie R jest rzutem r na płaszczyznę xy , a drugi w kartezjańskiej płaszczyźnie zR od ( z , R ) do ( r , θ ) . Prawidłowe ćwiartki dla φ i θ wynikają z poprawności konwersji planarnego prostokąta na biegun.
Wzory te zakładają, że oba układy mają ten sam początek, że sferyczną płaszczyzną odniesienia jest płaszczyzna kartezjańska xy , że θ jest nachyleniem od kierunku z , a kąty azymutalne są mierzone od osi kartezjańskiej x (tak, że oś y ma φ = +90° ). Jeśli θ mierzy wysokość od płaszczyzny odniesienia zamiast nachylenia od zenitu, arccos powyżej staje się arcsin, a cos θ i sin θ poniżej zostają zamienione.
Odwrotnie, współrzędne kartezjańskie można pobrać ze współrzędnych sferycznych ( promień r , nachylenie θ , azymut φ ), gdzie r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π) , przez
Współrzędne cylindryczne
Współrzędne cylindryczne ( promień osiowy ρ , azymut φ , wzniesienie z ) można przeliczyć na współrzędne sferyczne ( promień środkowy r , nachylenie θ , azymut φ ) za pomocą wzorów
Odwrotnie, współrzędne sferyczne można zamienić na współrzędne cylindryczne za pomocą wzorów
Wzory te zakładają, że oba układy mają ten sam początek i tę samą płaszczyznę odniesienia, mierzą kąt azymutalny φ w tych samych zwrotach od tej samej osi, a kąt sferyczny θ jest nachyleniem względem cylindrycznej osi z .
Zmodyfikowane współrzędne sferyczne
Możliwe jest również radzenie sobie z elipsoidami we współrzędnych kartezjańskich przy użyciu zmodyfikowanej wersji współrzędnych sferycznych.
Niech P będzie elipsoidą określoną przez zestaw poziomów
Zmodyfikowane współrzędne sferyczne punktu w P w konwencji ISO (czyli dla fizyki: promień r , nachylenie θ , azymut φ ) można uzyskać z jego współrzędnych kartezjańskich ( x , y , z ) za pomocą wzorów
Nieskończenie mały element objętości jest podany przez
Współczynnik pierwiastka kwadratowego pochodzi z własności wyznacznika, który pozwala na wyciągnięcie stałej z kolumny:
Całkowanie i różniczkowanie we współrzędnych sferycznych
Poniższe równania (Iyanaga 1977) zakładają, że szerokość geograficzna θ jest nachyleniem od osi z (biegunowej) (niejednoznaczne, ponieważ x , y i z są wzajemnie normalne), jak w omawianej konwencji fizyki.
Element liniowy dla nieskończenie małego przesunięcia od ( r , θ , φ ) do ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) to
gdzie
są lokalnymi ortogonalnymi wektorami jednostkowymi w kierunkach rosnących odpowiednio r , θ i φ , a x̂ , ŷ i ẑ są wektorami jednostkowymi we współrzędnych kartezjańskich. Transformacja liniowa do tej prawoskrętnej trójki współrzędnych jest macierzą rotacji ,
Ogólna forma wzoru do udowodnienia różniczkowego elementu liniowego to
to znaczy, że zmiana jest rozkładana na indywidualne zmiany odpowiadające zmianom poszczególnych współrzędnych.
Aby zastosować to w niniejszym przypadku, należy obliczyć, jak zmienia się z każdą ze współrzędnych. W stosowanych konwencjach
Zatem,
Pożądanymi współczynnikami są wielkości tych wektorów:
Element powierzchni rozciągający się od θ do θ + d θ i φ do φ + d φ na powierzchni sferycznej o (stałym) promieniu r jest wtedy
Zatem różnicowy kąt bryłowy wynosi
Element powierzchni w powierzchni o stałym kącie biegunowym θ (stożek z wierzchołkiem pochodzenia) to
Element powierzchni w powierzchni o stałej azymutu φ (półpłaszczyzna pionowa) wynosi
Elementem objętość rozciąga się od R do r + R R , θ do θ + d θ i φ do φ + d φ jest określona przez determinanty na jakobian matrycy z pochodnych cząstkowych ,
mianowicie
Zatem na przykład funkcja f ( r , θ , φ ) może być całkowana po każdym punkcie w ℝ 3 przez całkę potrójną
Del operatora w tym układzie prowadzi do następujących wyrażeń dla gradientu , rozbieżności , zwinięcie i (skalarne) Laplace'a ,
Ponadto odwrotność jakobianu we współrzędnych kartezjańskich to
Tensor metryczny w układzie współrzędnych sferycznych jest .
Odległość we współrzędnych sferycznych
We współrzędnych sferycznych, biorąc pod uwagę dwa punkty, w których φ jest współrzędną azymutalną
Odległość między dwoma punktami można wyrazić jako
Kinematyka
We współrzędnych sferycznych pozycja punktu jest zapisywana jako
Jego prędkość jest wtedy
a jego przyspieszenie wynosi
Moment pędu jest
W przypadku stałej φ lub θ =π/2sprowadza się to do rachunku wektorowego we współrzędnych biegunowych .
Odpowiedni operator momentu pędu wynika zatem z przeformułowania przestrzeni fazowej powyższego:
Zobacz też
- Niebiański układ współrzędnych
- System współrzędnych
- Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych
- Metoda podwójnej sfery Fouriera
- Elewacja (balistyka)
- Kąty Eulera
- Blokada gimbala
- Hipersfera
- Macierz i wyznacznik jakobianu
- Lista kanonicznych transformacji współrzędnych
- Kula
- Harmoniczna sferyczna
- Teodolit
- Pola wektorowe we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych
- Yaw, pitch i roll
Uwagi
Bibliografia
- Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi (1977). Encyklopedyczny słownik matematyki . MIT Naciśnij. Numer ISBN 978-0262090162.
- Morse PM , Feshbach H (1953). Metody Fizyki Teoretycznej, Część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 658. Numer ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 .
- Margenau H , Murphy GM (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s. 177–178 . LCCN 55010911 .
- Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. s. 174–175. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer Verlag. s. 95–96. LCCN 67025285 .
- Księżyc P, Spencer DE (1988). „Współrzędne sferyczne (r, θ, ψ)”. Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wydanie 2, wydanie 3 drukiem). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 24-27 (tabela 1.05). Numer ISBN 978-0-387-18430-2.
- Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Praktyczna astronomia z kalkulatorem lub arkuszem kalkulacyjnym, wydanie 4 . Nowy Jork: Cambridge University Press. P. 34. Numer ISBN 978-0521146548.