Topologiczna przestrzeń wektorowa — Topological vector space

W matematyce , A topologiczna miejsca wektora (zwanego również liniowy przestrzeń topologiczna , powszechnie skrócie TVS lub telewizor ) jest jednym z podstawowych struktur przebadane analizy funkcjonalnej . Topologiczna przestrzeń wektorowa to przestrzeń wektorowa ( struktura algebraiczna ), która jest również przestrzenią topologiczną , co oznacza, że ​​operacje w przestrzeni wektorowej są funkcjami ciągłymi . Dokładniej, jego przestrzeń topologiczna ma jednolitą strukturę topologiczną , pozwalającą na pojęcie jednorodnej zbieżności .

Elementami topologicznych przestrzeni wektorowych są zazwyczaj funkcje lub operatory liniowe działające na topologicznych przestrzeniach wektorowych, a topologia jest często definiowana tak, aby uchwycić określone pojęcie zbieżności sekwencji funkcji.

Przestrzenie Banacha , przestrzenie Hilberta i przestrzenie Sobolewa są dobrze znanymi przykładami.

O ile nie zaznaczono inaczej, zakłada się, że podstawowe pole topologicznej przestrzeni wektorowej to liczby zespolone lub liczby rzeczywiste${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Motywacja

Znormalizowane przestrzenie

Każda unormowana przestrzeń wektorowa ma naturalną strukturę topologiczną : norma indukuje metrykę, a metryka indukuje topologię. Jest to topologiczna przestrzeń wektorowa, ponieważ:

1. Dodawanie wektora jest łącznie ciągłe w odniesieniu do tej topologii. Wynika to bezpośrednio z nierówności trójkąta przestrzeganej przez normę.${\ Displaystyle \ cdot \, + \, \ cdot \;: X \ razy X \ do X}$
2. Mnożenie skalarne, gdzie jest podstawowym polem skalarnym, jest łącznie ciągłe. Wynika to z nierówności trójkąta i jednorodności normy.${\ Displaystyle \ cdot : \ mathbb {K} \ razy X \ do X}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\displaystyle X,}$

Zatem wszystkie przestrzenie Banacha i przestrzenie Hilberta są przykładami topologicznych przestrzeni wektorowych.

Przestrzenie nienormatywne

Istnieją topologiczne przestrzenie wektorowe, których topologia nie jest indukowana przez normę, ale nadal są przedmiotem zainteresowania analizy. Przykładami takich przestrzeni są przestrzenie funkcji holomorficznych na domenie otwartej, przestrzenie funkcji nieskończenie różniczkowalnych , przestrzenie Schwartza oraz przestrzenie funkcji testowych i przestrzenie dystrybucji na nich. To wszystko są przykłady przestrzeni Montela . Nieskończenie wymiarowa przestrzeń Montela nigdy nie jest normalna. Istnienie normy dla danej topologicznej przestrzeni wektorowej charakteryzuje kryterium normowalności Kołmogorowa .

Pole topologiczne to topologiczna przestrzeń wektorowa nad każdym z jej podpól .

Definicja

Rodzina otoczeń pochodzenia o dwóch powyższych własnościach jednoznacznie określa topologiczną przestrzeń wektorową. Układ sąsiedztw dowolnego innego punktu w przestrzeni wektorowej uzyskuje się przez translację .

Przestrzeń topologiczna wektor ( TVS ) znajduje się przestrzeń wektorową nad dziedzinie topologicznych (najczęściej rzeczywiste lub złożone numery ze standardowym topologii), który jest wyposażony w topologii tak, że dodawanie wektorowe i skalarne mnożenia są ciągłe funkcje (gdzie domeny są funkcje są wyposażone w topologie produktów ). Taka topologia nazywana jest topologią wektorową lub topologią TVS on${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ cdot \, + \, \ cdot \;: X \ razy X \ do X}$${\ Displaystyle \ cdot: \ mathbb {K} \ razy X \ do X}$${\ Displaystyle X.}$

Każda topologiczna przestrzeń wektorowa jest również dodawaną przemienną grupą topologiczną .

Założenie Hausdorffa

Niektórzy autorzy (np Walter Rudin ) wymagają topologii on być T ₁ ; z tego wynika, że ​​przestrzeń to Hausdorff , a nawet Tychonow . Mówi się, że topologiczna przestrzeń wektorowa jest oddzielona, jeśli jest Hausdorffem; co ważne, „oddzielone” nie oznacza rozdzielne . Topologiczne i liniowe struktury algebraiczne można jeszcze ściślej powiązać za pomocą dodatkowych założeń, z których najczęstsze wymieniono poniżej . ${\ Displaystyle X}$

Kategoria i morfizmy

Kategorii topologicznych przestrzeni wektorowej powyżej danej dziedzinie topologicznej powszechnie oznaczane TVS lub TVect . Te obiekty są przestrzeń liniowo-topologiczna ponad i morfizmami są ciągłe mapy -linear z jednego obiektu do drugiego. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$_{${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$}${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

A Homomorfizm TVS lub homomorfizm topologiczny jestciągłą liniową mapą między topologicznymi przestrzeniami wektorowymi (TVS), tak że indukowana mapajestmapowaniem otwartym,gdyktóry jest zakresem lub obrazem,ma danątopologię podprzestrzeniindukowaną przezY. ${\displaystyle u:X\do Y}$${\ Displaystyle u: X \ do \ operatorname {im} u}$${\displaystyle \operatorname {im} u:=u(X)}$${\displaystyle u,}$

A Osadzanie TVS lubtopologiczny monomorfizm toiniekcyjnyhomomorfizm topologiczny. Równoważnie osadzanie TVS jest mapą liniową, która jest równieżosadzaniem topologicznym.

A Izomorfizm TVS lubizomorfizm w kategorii TVSjestbijektywnymhomeomorfizmemliniowym . Równoważnie jest tosurjektywneosadzanie TVS

Wiele właściwości TVS, które są badane, takie jak lokalna wypukłość , metryzowalność , kompletność i normowalność , jest niezmiennych w przypadku izomorfizmów TVS.

Warunek konieczny dla topologii wektorowej

Zbiór podzbiorów przestrzeni wektorowej nazywamy addytywnym, jeśli dla każdego istnieje coś takiego, że${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\ Displaystyle N \ w {\ matematyczny {N}},}$${\ Displaystyle U \ w {\ mathcal {N}}}$${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Wszystkie powyższe warunki są w konsekwencji koniecznością, aby topologia utworzyła topologię wektorową.

Definiowanie topologii przy użyciu otoczenia pochodzenia

Ponieważ każda topologia wektorowa jest niezmiennikiem translacji (co oznacza, że ​​cała mapa zdefiniowana przez jest homeomorfizmem ), aby zdefiniować topologię wektorową, wystarczy zdefiniować jej podstawę (lub podbazę) sąsiedztwa w punkcie początkowym. ${\displaystyle x_{0}\w X,}$${\ Displaystyle X \ do X}$${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

Ogólnie, zbiór wszystkich zrównoważonych i absorbujących podzbiorów przestrzeni wektorowej nie spełnia warunków tego twierdzenia i nie stanowi bazy sąsiedztwa w początku żadnej topologii wektorowej.

Definiowanie topologii za pomocą ciągów

Pozwolić być przestrzeń wektorową i niech będzie ciągiem podzbiorów każdego zestawu w kolejności jest nazywana knot od i dla każdego indeksu jest nazywany ^th węzeł z The zestaw nazywa się początek z The sekwencji jest / jest: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk} = \ lewo (U_ {i} \ prawo) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$${\displaystyle ja,}$ ${\ Displaystyle U_ {i}}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}.}$${\displaystyle U_{1}}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}.}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$

• Suma jeśli dla każdego indeksu${\ Displaystyle U_ {i + 1} + U_ {i + 1} \ podseteq U_ {i}}$${\displaystyle ja.}$
• Zrównoważone (odpowiednio pochłaniające , zamknięte , wypukłe , otwarte , symetryczne , beczkowate , absolutnie wypukłe/dyskowate , itp.), jeśli dotyczy to każdego${\ Displaystyle U_ {i}.}$
• String if jest sumujący, absorbujący i zrównoważony.${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$
• Łańcuch topologiczny lub łańcuch sąsiedztwa w TVS if jest łańcuchem, a każdy z jego węzłów jest sąsiedztwem pochodzenia w${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle X.}$

Jeśli jest dyskiem pochłaniającym w przestrzeni wektorowej, to ciąg zdefiniowany przez tworzy ciąg rozpoczynający się od This nazywamy ciągiem naturalnym lub Ponadto, jeśli przestrzeń wektorowa ma wymiar policzalny, to każdy ciąg zawiera ciąg absolutnie wypukły . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {i}: = 2 ^ {1-i} U}$${\displaystyle U_{1}=U.}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$

Sekwencje sumatywne zbiorów mają szczególnie przyjemną właściwość, ponieważ definiują nieujemne ciągłe funkcje subaddytywne o wartościach rzeczywistych . Funkcje te można następnie wykorzystać do udowodnienia wielu podstawowych własności topologicznych przestrzeni wektorowych.

Twierdzenie  ( funkcja o wartościach indukowanych przez napis) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ —  Niech będzie zbiorem podzbiorów przestrzeni wektorowej takim, że i dla wszystkich Dla wszystkich niech ${\ Displaystyle U_ {\ pocisk} = \ lewo (U_ {i} \ prawej) _ {i = 0} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle 0 \ w U_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i + 1} + U_ {i + 1} \ podseteq U_ {i}}$${\displaystyle i\geq 0.}$${\displaystyle u\w U_{0},}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {S} (u): = \ lewo \ {n_ {\ pocisk} = \ lewo (n_ {1} \ ldots, n_ {k} \ po prawej) ~: ~ k \ geq 1, n_ {i}\geq 0{\text{ dla wszystkich }}i,{\text{ i }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Zdefiniuj przez jeśli i inaczej niech ${\displaystyle f:X\do [0,1]}$${\ Displaystyle f (x) = 1}$${\ Displaystyle x \ nie \ w U_ {0}}$

$${\ Displaystyle f (x): = \ inf _ {} \ lewo \ {2 ^ {-n_ {1}} + \ cdots 2 ^ {-n_ {k}} ~: ~ n_ {\ pocisk} = \ lewo (n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Potem jest subadditive (czyli dla wszystkich ) i na tak w szczególności w przypadku wszyscy są zestawy symetryczne potem i jeśli wszystko jest wyważone następnie dla wszystkich skalarów takie, że i wszystko Jeśli to przestrzeń liniowo-topologiczna i jeśli wszystkie są dzielnice pochodzenia następnie jest ciągła, gdzie jeśli dodatkowo jest Hausdorff i stanowi podstawę zrównoważonych sąsiedztw pochodzenia w to jest metryką definiującą topologię wektorów na${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x + y) \ leq f (x) + f (y)}$${\displaystyle x,y\wX}$${\displaystyle f=0}$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ geq 0} U_ {i}}$${\ Displaystyle f (0) = 0.}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle f (-x) = f (x)}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\leq 1}$${\ Displaystyle x \ w X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d (x, y): = f (xy)}$${\ Displaystyle X.}$

Dowód powyższego twierdzenia znajduje się w artykule o metryzowalnych TVS .

Jeśli i są dwoma zbiorami podzbiorów przestrzeni wektorowej i jeśli jest skalarem, to z definicji: ${\ Displaystyle U_ {\ pocisk} = \ lewo (U_ {i} \ prawo) _ {i \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle V_ {\ pocisk} = \ lewo (V_ {i} \ prawo) _ {i \ w \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\pocisk}}$ zawiera : wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego indeksu${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle \ U_ {\ pocisk} \ podseteq V_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle U_ {i} \ subseteq V_ {i}}$${\displaystyle ja.}$
• Komplet węzłów :${\ Displaystyle \ \ Operatorname {węzły} U_ {\ pocisk}: = \ lewo \ {U_ {i}: i \ w \ mathbb {N} \ po prawej \}.}$
• Jądro :${\ Displaystyle \ \ ker U_ {\ pocisk}: = \ bigcap _ {i \ w \ mathbb {N}} U_ {i}}.$
• Wielokrotność skalarna :${\ Displaystyle \ sU_ {\ pocisk}: = \ lewo (sU_ {i} \ prawo) _ {i \ w \ mathbb {N}}}.}$
• Suma :${\ Displaystyle \ U_ {\ pocisk} + V_ {\ pocisk}: = \ lewo (U_ {i} + V_ {i} \ prawej) _ {i \ w \ mathbb {N}}.}$
• Skrzyżowanie :${\ Displaystyle \ U_ {\ pocisk} \ czapka V_ {\ pocisk}: = \ lewo (U_ {i} \ czapka V_ {i} \ prawo) _ {i \ w \ mathbb {N}} ..}$

Jeśli jest zbiorem sekwencji podzbiorów czym mówi się, że skierowane ( w dół ) na podstawie umieszczenia lub po prostu skierowane jeśli nie jest pusta, a dla wszystkich istnieje część w taki sposób, a (przy czym w inny sposób, wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się wstępny filtr w stosunku do powstrzymywanie zdefiniowano powyżej). ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\ Displaystyle U_ {\ pocisk}, V_ {\ pocisk} \ w \ mathbb {S},}$${\ Displaystyle W_ {\ pocisk} \ w \ mathbb {S}}$${\ Displaystyle W_ {\ pocisk} \ podseteq U_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle W_ {\ pocisk} \ podseteq V_ {\ pocisk}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Notacja : Niech będzie zbiorem wszystkich węzłów wszystkich strun w${\ Displaystyle \ operatorname {węzły} \ mathbb {S} : = \ bigcup _ {U_ {\ pocisk} \ w \ mathbb {S}} \ operatorname {węzły} U_ {\ pocisk}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}.}$

Definiowanie topologii wektorowych za pomocą kolekcji ciągów jest szczególnie przydatne do definiowania klas TVS, które niekoniecznie są lokalnie wypukłe.

Jeśli jest zbiorem wszystkich łańcuchów topologicznych w TVS, to TVS Hausdorffa jest metryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego topologia może być indukowana przez pojedynczy łańcuch topologiczny. ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathbb {S}} = \ tau.}$

Struktura topologiczna

Przestrzeń wektorowa jest grupą abelową ze względu na operację dodawania, aw topologicznej przestrzeni wektorowej operacja odwrotna jest zawsze ciągła (ponieważ jest tożsame z mnożeniem przez −1). Stąd każda topologiczna przestrzeń wektorowa jest abelową grupą topologiczną . Każdy TVS jest całkowicie regularny, ale TVS nie musi być normalny .

Niech będzie topologiczną przestrzenią wektorową. Dla danej podprzestrzeni przestrzeń ilorazowa ze zwykłą topologią ilorazową jest topologiczną przestrzenią wektorów Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięta. Pozwala to na następującą konstrukcję: przy danej topologicznej przestrzeni wektorowej (czyli prawdopodobnie nie Hausdorffa), uformuj przestrzeń ilorazową, w której jest domknięciem jest to topologiczna przestrzeń wektorowa Hausdorffa, którą można badać zamiast${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$${\ Displaystyle X/M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X/M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ {0 \}.}$ ${\ Displaystyle X/M}$${\ Displaystyle X.}$

Niezmienność topologii wektorowych

Jedną z najczęściej używanych właściwości topologii wektorowych jest to, że każda topologia wektorowa jest niezmienna translacji :

dla wszystkich mapa zdefiniowana przez jest homeomorfizmem , ale jeśli to nie jest liniowy, a więc nie jest izomorfizmem TVS.${\displaystyle x_{0}\w X,}$${\ Displaystyle X \ do X}$${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

Mnożenie przez skalar przez niezerowy skalar to izomorfizm TVS. Oznacza to, że jeśli to odwzorowanie liniowe zdefiniowane przez jest homeomorfizmem. Użycie daje zdefiniowaną mapę negacji , która w konsekwencji jest homeomorfizmem liniowym, a zatem izomorfizmem TVS. ${\displaystyle s\neq 0}$${\ Displaystyle X \ do X}$${\displaystyle x\mapsto sx}$${\displaystyle s=-1}$${\ Displaystyle X \ do X}$${\displaystyle x\mapsto-x}$

Jeśli i dowolny podzbiór wtedy, a ponadto, jeśli to jest sąsiedztwem (odpowiednim sąsiedztwem otwartym, sąsiedztwem zamkniętym) in wtedy i tylko wtedy, gdy to samo dotyczy początku. ${\ Displaystyle x \ w X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (x + S) = x + \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle 0 \ w S}$${\displaystyle x+S}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S}$

Pojęcia lokalne

Mówi się, że podzbiór przestrzeni wektorowej jest ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle X}$

• absorbująca (in): jeśli dla każdegoistnieje realnataka, żedla każdego skalarnegospełniającego${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x\wX}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle cx\w e}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |c|\leq r.}$
• zrównoważony lub zakreślony : jeślidla każdego skalara${\displaystyle tE\subseteq e}$${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• wypukły : jeślidla każdego rzeczywistego${\ Displaystyle tE + (1-t) E \ podzbiór E}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• twardy lub całkowicie wypukły : jeśli jest wypukła i zrównoważone.${\ Displaystyle E}$
• symetryczny : iflub równoważnie, if${\displaystyle -E\subseteq E}$${\displaystyle -E=E.}$

Każde sąsiedztwo 0 jest zbiorem absorbującym i zawiera otwarte zrównoważone otoczenie, więc każda topologiczna przestrzeń wektorowa ma lokalną bazę zbiorów absorbujących i zrównoważonych . Początek ma nawet podstawę sąsiedztwa składającą się z zamkniętych, zrównoważonych sąsiedztw równych 0; jeśli przestrzeń jest lokalnie wypukła, to ma również podstawę sąsiedztwa składającą się z zamkniętych wypukłych zrównoważonych sąsiedztw równych 0. ${\ Displaystyle 0}$

Ograniczone podzbiory

Podzbiór topologicznej przestrzeni wektorowej jest ograniczony, jeśli dla każdego sąsiedztwa początku, to wtedy, gdy jest wystarczająco duży. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle E\subseteq tV}$${\displaystyle t}$

Definicję ograniczenia można nieco osłabić; jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego policzalny podzbiór jest ograniczony. Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jego podciągów jest zbiorem ograniczonym. Ponadto, jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zrównoważonego sąsiedztwa 0 istnieje taki, że Ponadto, gdy jest lokalnie wypukły, ograniczoność można scharakteryzować przez półnormy : podzbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy każda ciągła półnorma jest ograniczona${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle E\subseteq tV.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle E.}$

Każdy całkowicie ograniczony zbiór jest ograniczony. Jeśli jest podprzestrzenią wektorową TVS, to podzbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony w${\ Displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X.}$

Metryzowalność

TVS jest pseudometryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma policzalną podstawę sąsiedztwa w punkcie początkowym lub równoważny, wtedy i tylko wtedy, gdy jego topologia jest generowana przez F- seminorm . TVS jest metryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffem i pseudometryzowalny.

Silniej: mówi się, że topologiczna przestrzeń wektorowa jest normowalna, jeśli jej topologia może być indukowana przez normę. Topologiczna przestrzeń wektorowa jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffem i ma wypukłe ograniczone sąsiedztwo${\ Displaystyle 0.}$

Pozwolić być nie- dyskretne lokalnie zwarte pole topologiczna, na przykład liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Hausdorffa Przestrzeń topologiczna wektor ciągu jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa , to jest izomorficzna z jakiegoś liczby naturalnej${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle n.}$

Kompletność i jednolita struktura

Kanoniczny jednolitość w TVS jest wyjątkowy tłumaczenie niezmienny jednolitość że indukuje topologię na${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle X.}$

Zakłada się, że każdy TVS jest obdarzony tą kanoniczną jednolitością, co sprawia, że ​​wszystkie TVS stają się jednolitymi przestrzeniami . Pozwala to na omówienie pokrewnych pojęć, takich jak kompletność , jednorodna zbieżność , sieci Cauchy'ego i jednorodna ciągłość . itp., które zawsze zakłada się w odniesieniu do tej jednolitości (chyba że wskazano inaczej). Oznacza to, że każda topologiczna przestrzeń wektorów Hausdorffa to Tychonow . Podprzestrzeń TVS jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest kompletna i całkowicie ograniczona (dla TVS Hausdorffa, zbiór całkowicie ograniczony jest równoważny temu, że jest prekompaktowy ). Ale jeśli TVS nie jest Hausdorffem, to istnieją zwarte podzbiory, które nie są zamknięte. Jednak zamknięcie zwartego podzbioru TVS innego niż Hausdorff jest ponownie zwarte (więc zwarte podzbiory są stosunkowo zwarte ).

W odniesieniu do tego równomierność, A netto (lub ciąg) jest Cauchy- wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej okolicy na istnieje pewien wskaźnik tak, że gdy a${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ w ja}}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle x_ {m}-x_ {n} \ w V}$${\displaystyle j\geq i}$${\displaystyle k\geq i.}$

Każda sekwencja Cauchy'ego jest ograniczona, chociaż sieci Cauchy'ego i filtry Cauchy'ego mogą nie być ograniczone. Topologiczna przestrzeń wektorowa, w której każda sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna, nazywana jest sekwencyjnie zupełną ; ogólnie może nie być kompletny (w tym sensie, że wszystkie filtry Cauchy'ego są zbieżne).

Operacja dodawania w przestrzeni wektorowej jest jednostajnie ciągła i jest mapą otwartą . Mnożenie przez skalar jest ciągłe Cauchy'ego, ale generalnie prawie nigdy nie jest jednostajnie ciągłe. Z tego powodu, każda przestrzeń liniowo-topologiczna może być zakończone, a zatem jest zwarta podprzestrzeń liniowa z całkowitym topologicznej przestrzeni wektorowej .

• Każdy TVS ma ukończenie, a każdy TVS Hausdorff ma ukończenie Hausdorff. Każdy TVS (nawet te, które są Hausdorffem i/lub kompletne) ma nieskończenie wiele nieizomorficznych uzupełnień innych niż Hausdorff.
• Kompaktowy podzbiór TVS (niekoniecznie Hausdorffa) jest kompletny. Cały podzbiór Hausdorff TVS jest zamknięty.
• Jeśli jest kompletnym podzbiorem TVS, to każdy podzbiór tego, który jest zamknięty, jest kompletny.${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$
• Sekwencja Cauchy'ego w TVS Hausdorffa niekoniecznie jest stosunkowo zwarta (to znaczy, że jej zamknięcie w niekoniecznie jest zwarte).${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Jeśli filtr Cauchy'ego w TVS ma punkt akumulacji, to zbiega się do${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$
• Jeśli seria zbiega się w TVS, to w${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x_{\pocisk}\do 0}$${\ Displaystyle X.}$

Przykłady

Najlepsza i najgrubsza topologia wektorowa

Niech będzie rzeczywistą lub złożoną przestrzenią wektorową. ${\ Displaystyle X}$

Trywialna topologia

Trywialne topologii lub ścisły topologia jest zawsze Topologia TVS na dowolnej przestrzeni wektorowej i to jest najgrubsze TVS możliwe topologii. Ważną konsekwencją tego jest to, że przecięcie dowolnego zbioru topologii TVS na zawsze zawiera topologię TVS. Każda przestrzeń wektorowa (w tym te, które są nieskończenie wymiarowe) wyposażona w trywialną topologię, jest zwartą (a zatem lokalnie zwartą ) kompletną, pseudometryzowalną, seminormalną, lokalnie wypukłą przestrzenią wektorową. To Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy${\ Displaystyle \ {X, \ varnothing \}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {słabe} X=0.}$

Najlepsza topologia wektorowa

Istnieje Topologia TVS na to drobniejsze niż każdy inny telewizor z topologią na (czyli każdy TVS-topologii na zawsze jest podzbiorem ). Każda liniowa mapa z innego TVS jest z konieczności ciągła. Jeśli ma niezliczoną podstawę Hamel następnie jest nie lokalnie wypukłe i nie metryzowalny . ${\ Displaystyle \ tau _ {f}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ tau _ {f}}$${\ Displaystyle \ po lewej (X \ tau _ {f} \ po prawej)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ tau _ {f}}$

Przestrzenie wektorowe produktu

Iloczyn z rodziny topologicznych przestrzeni wektorowej gdy obdarzone topologii produktu jest przestrzeń topologiczna wektorowych. Rozważmy na przykład zbiór wszystkich funkcji, gdzie niesie swoją zwykłą topologię euklidesową . Zbiór ten jest rzeczywistą przestrzenią wektorową (w której dodawanie i mnożenie skalarne są zdefiniowane punktowo, jak zwykle), którą można utożsamiać (i często jest tak definiowane) iloczynem kartezjańskim, który niesie topologię iloczynu naturalnego . Dzięki tej topologii produktowej staje się topologiczną przestrzenią wektorową, której topologia nazywana jest topologią zbieżności punktowej na . Powód tej nazwy jest następujący: if jest sekwencją (lub ogólniej siecią ) elementów w i if then zbiega się do in wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej zbiega się w This TVS is complete , Hausdorff i lokalnie wypukły , ale nie metryzowalny a zatem nie normable ; w rzeczywistości każde sąsiedztwo początku w topologii produktu zawiera linie (czyli jednowymiarowe podprzestrzenie wektorowe, które są podzbiorami postaci z ). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}} ,,}$${\ Displaystyle X: = \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ lewo (f_ {n} \ prawo) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f \ w X}$${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} f: = \ {rf: r \ w \ mathbb {R} \}}$${\displaystyle f\neq 0}$

Przestrzenie skończenie wymiarowe

Według twierdzenia F. Riesza topologiczna przestrzeń wektorowa Hausdorffa jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta , co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ma zwarte sąsiedztwo początku.

Niech oznaczają albo i wyposażyć w swoim zwykłym Hausdorff unormowane euklidesową topologii . Niech będzie przestrzenią wektorową o skończonym wymiarze, a więc jest to przestrzeń izomorficzna z (to znaczy wyraźnie, że istnieje liniowy izomorfizm pomiędzy przestrzeniami wektorowymi i ). Ta skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa zawsze ma unikalną topologię wektorową Hausdorffa , co sprawia, że ​​jest izomorficzna z TVS do miejsca, w którym jest obdarzona zwykłą topologią euklidesową (która jest taka sama jak topologia produktu ). Ta topologia wektorowa Hausdorffa jest również (unikalną) najlepszą topologią wektorową, która ma unikalną topologię wektorową wtedy i tylko wtedy, gdy Jeśli wtedy, chociaż nie ma unikalnej topologii wektorowej, ma unikalną topologię wektorową Hausdorffa . ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle n: = \ nazwa operatora {słaba} X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ Displaystyle X.}$ ${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {słabe} X=0.}$${\ Displaystyle \ Operatorname {słabe} X \ neq 0}$${\ Displaystyle X}$

• Jeśli to ma dokładnie jedną topologię wektorową: topologię trywialną , którą w tym przypadku (i tylko w tym przypadku) jest Hausdorff. Trywialna topologia na przestrzeni wektorowej to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń wektorowa ma wymiar${\displaystyle \operatorname {słabe} X=0}$${\ Displaystyle X = \ {0 \}}$${\ Displaystyle 0.}$
• Jeśli to ma dwie topologie wektorowe: zwykłą topologię euklidesową i (nie-Hausdorffa) topologię trywialną. ${\displaystyle \operatorname {słabe} X = 1}$${\ Displaystyle X}$
  • Ponieważ samo pole jest jednowymiarową topologiczną przestrzenią wektorową i ponieważ odgrywa ważną rolę w definiowaniu topologicznych przestrzeni wektorowych, ta dychotomia odgrywa ważną rolę w definiowaniu
  zbioru absorbującego i ma konsekwencje, które odbijają się echem w analizie funkcjonalnej .${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

• Jeśli to ma nieskończenie wiele różnych topologii wektorowych: ${\ Displaystyle \ Operatorname {słabe} X = n \ geq 2}$${\ Displaystyle X}$
  • Niektóre z tych topologii są opisane: każdy liniowy funkcjonalny w którym ma miejsca wektora izomorficzna indukuje
  seminorm określa , gdzie każdy seminorm indukuje ( pseudometrizable lokalnie wypukły ) TOPOLOGIA wektoru i seminorms z różnych ziaren, wywołują różne topologie, tak że w szczególności seminorms na które są indukowane przez liniowe funkcjonałom z wyraźnym jądro indukuje różne topologie wektora na${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} ,,}$ ${\displaystyle |f|:X\do \mathbb {R}}$${\ Displaystyle | f | (x) = | f (x) |}$${\ Displaystyle \ ker f = \ ker | f |.}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$
• Jednakże, chociaż istnieje nieskończenie wiele Topologie wektora na gdy nie są do telewizory izomorfizmie tylko Topologie wektora na Na przykład, jeśli następnie Topologie wektora na składają się trywialne topologii topologii Hausdorff euklidesowej, i nieskończenie wiele pozostały niezaszeregowany -trywialne nieeuklidesowe topologie wektorów są wszystkie TVS-izomorficzne względem siebie.${\ Displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {słabe} X\geq 2,}$${\displaystyle 1+\operatorname {słabe} X}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle n:=\operatorname {słabe} X=2}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Topologie niewektorowe

Topologie dyskretne i koskończone

Jeśli jest nietrywialnym przestrzeń wektor (to znaczy nie-zerową wymiaru), a następnie dyskretne Topologia na (która jest zawsze metryzowalny ) jest nie topologii TVS ponieważ mimo wytwarzania dodatku i negacji ciągły (co sprawia, że w grupie topologicznej pod Ponadto) nie zapewnia ciągłości mnożenia skalarnego. Cofinite topologia na (gdzie podzbiór otwarty jest tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest skończony) to również nie topologia na TVS${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

Mapy liniowe

Operator liniowy między dwiema topologicznymi przestrzeniami wektorowymi, który jest ciągły w jednym punkcie, jest ciągły na całej dziedzinie. Co więcej, operator liniowy jest ciągły, jeśli jest ograniczony (jak zdefiniowano poniżej) dla pewnego sąsiedztwa początku. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(X)}$${\ Displaystyle X}$

Hiperpłaszczyzna na topologicznej przestrzeni wektorowej jest albo gęsta lub zamknięty. Funkcjonal liniowy na topologicznej przestrzeni wektorowej ma jądro gęste lub zamknięte. Ponadto jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest zamknięte . ${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Rodzaje

W zależności od zastosowania, na topologiczną strukturę przestrzeni narzucane są zwykle dodatkowe ograniczenia. W rzeczywistości kilka głównych wyników analizy funkcjonalnej nie jest generalnie odnoszących się do topologicznych przestrzeni wektorowych: twierdzenie o grafach zamkniętych , twierdzenie o odwzorowaniu otwartym oraz fakt, że przestrzeń dualna przestrzeni oddziela punkty w przestrzeni.

Poniżej znajduje się kilka typowych topologicznych przestrzeni wektorowych, mniej więcej w kolejności rosnącej „ładności”.

• Przestrzenie F to pełne topologiczne przestrzenie wektorowe z metryką niezmienną translacji. Należą do nich miejsca dla wszystkich${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\displaystyle p>0.}$
• Lokalnie wypukłe topologiczne przestrzenie wektorowe : tutaj każdy punkt ma lokalną bazę składającą się ze zbiorów wypukłych . Za pomocą techniki znanej jako funkcjonały Minkowskiego można pokazać, że przestrzeń jest lokalnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologię można zdefiniować przez rodzinę seminorm. Lokalna wypukłość jest minimalnym wymogiem dla argumentów „geometrycznych”, takich jak twierdzenie Hahna-Banacha . Te przestrzenie są lokalnie wypukła (w rzeczywistości, przestrzenie Banacha) dla wszystkich , ale nie dla${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\displaystyle p\geq 1,}$${\displaystyle 0<p<1.}$
• Przestrzenie beczkowate : lokalnie wypukłe przestrzenie, w których obowiązuje twierdzenie Banacha-Steinhausa .
• Przestrzeń Bornologiczna : przestrzeń lokalnie wypukła, w której ciągłe operatory liniowe do dowolnej przestrzeni lokalnie wypukłej są dokładnie ograniczonymi operatorami liniowymi .
• Przestrzeń stereotypu : przestrzeń lokalnie wypukła spełniająca wariant warunku refleksyjności , gdzie przestrzeń dualna jest obdarzona topologią jednostajnej zbieżności na zbiorach całkowicie ograniczonych .
• Przestrzeń Montela : baryłkowa przestrzeń, w której każdy zamknięty i ograniczony zestaw jest zwarty
• Przestrzenie Frécheta : są to kompletne lokalnie wypukłe przestrzenie, w których topologia pochodzi z metryki niezmiennej w translacji lub równoważnie: z policzalnej rodziny seminorm. Do tej klasy należy wiele ciekawych przestrzeni funkcji – to przestrzeń Frécheta pod półnormami . Lokalnie wypukła przestrzeń F to przestrzeń Frécheta.${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|}$
• LF przestrzenie są limity z przestrzeni Frechet . Przestrzenie ILH są odwrotnymi granicami przestrzeni Hilberta.
• Przestrzenie nuklearne : są to przestrzenie lokalnie wypukłe o własności, że każda ograniczona mapa z przestrzeni nuklearnej do dowolnej przestrzeni Banacha jest operatorem nuklearnym .
• Przestrzenie znormalizowane i przestrzenie seminormowane : przestrzenie lokalnie wypukłe, w których topologię można opisać pojedynczą normą lub seminormą . W przestrzeniach unormowanych operator liniowy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.
• Przestrzenie Banacha : Pełne unormowane przestrzenie wektorowe . Większość analiz funkcjonalnych jest formułowana dla przestrzeni Banacha. Klasa ta obejmuje przestrzenie , przestrzeń z funkcji o wahaniu i pewne przestrzenie środków.${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty}$${\ Displaystyle BV}$
• Refleksyjne przestrzenie Banacha : Przestrzenie Banacha są naturalnie izomorficzne z ich podwójnym dualem (patrz poniżej), co zapewnia, że ​​niektóre argumenty geometryczne mogą być przeprowadzone. Ważnym przykładem, który nie jest zwrotny jest , którego dual jest, ale jest ściśle zawarty w dual of${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\ Displaystyle L ^ {\ Infty}}$${\ Displaystyle L ^ {\ Infty}.}$
• Przestrzenie Hilberta : mają iloczyn skalarny ; chociaż przestrzenie te mogą być nieskończenie wymiarowe, można w nich przeprowadzić większość rozumowań geometrycznych znanych ze skończonych wymiarów. Należą do nich pola, pola Sobolewa i pola Hardy'ego .${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$ ${\ Displaystyle W ^ {2, k}}$
• Przestrzenie euklidesowe : lub o topologii indukowanej przez standardowy iloczyn skalarny. Jak wskazano w poprzednim rozdziale, dla danej skończonej istnieje tylko jednowymiarowa topologiczna przestrzeń wektorowa, aż do izomorfizmu. Wynika z tego, że każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń TVS jest zamknięta. Charakterystyka skończonej wymiarowości polega na tym, że TVS Hausdorffa jest lokalnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowy (a zatem izomorficzny z pewną przestrzenią euklidesową).${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Podwójna przestrzeń

Każda przestrzeń liniowo-topologiczna ma ciągłą podwójną przestrzeń -the zestaw wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych, czyli ciągły liniowy mapuje z przestrzeni w polu baza topologii na podwójnej mogą być zdefiniowane jako zgrubna topologia taka, że każdy podwójny parowanie ocena punktowa jest ciągła. To zamienia dualność w lokalnie wypukłą topologiczną przestrzeń wektorową. Ta topologia nazywana jest topologią słabego-* . To może nie być jedyna naturalna topologia w przestrzeni podwójnej; na przykład dualizm przestrzeni unormowanej ma zdefiniowaną normę naturalną. Jest jednak bardzo ważny w zastosowaniach ze względu na swoje właściwości zwartości (patrz twierdzenie Banacha-Alaoglu ). Uwaga: zawsze, gdy jest to przestrzeń lokalnie wypukła, która nie jest normalna, wówczas mapa parowania nigdy nie jest ciągła, bez względu na wybraną topologię przestrzeni wektorowej${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}.}$${\ Displaystyle X ^ {\ Prime} \ do \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X ^ {\ Prime} \ razy X \ do \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}.}$

Nieruchomości

Dla każdego z TVS na wypukłych (odpowiednio, wynosi , disked , zamknięta wypukłym, zamknięte wynosi, zamknięte disked ) kadłuba od jest najmniejszy podzestaw , który ma tę właściwość, zawiera${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$

Zamknięcie (odpowiednio wnętrze, wypukły kadłub , zrównoważony kadłub, krążkowy kadłub) zestawu jest czasami oznaczane (odpowiednio ). ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Operatorname {cl} _ {X} S}$${\displaystyle \operator {int} _{X}S,\operator {co} S,\operator {bal} S,\operator {cobal} S}$

Okolice i otwarte zbiory

Własności sąsiedztw i zbiorów otwartych

Każdy TVS jest podłączony i podłączony lokalnie, a każdy podłączony otwarty podzbiór TVS jest połączony łukowo . Jeśli i jest podzbiorem otwartym, to jest zbiorem otwartym w, a jeśli ma niepuste wnętrze, to jest sąsiedztwem początku. ${\displaystyle S\subseteq X}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S+U}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle SS}$

Otwarte wypukłe podzbiory TVS (niekoniecznie Hausdorffa lub lokalnie wypukłe) to dokładnie te, które mają formę ${\ Displaystyle X}$

$${\ Displaystyle z + \ {x \ w X: p (x) <1 \} ~ = ~ \ {x \ w X: p (xz) <1 \}}$$

on${\displaystyle z\w X}$ ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X.}$

Jeśli jest

z czym ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p: = p_ {K}}$${\ Displaystyle K}$

$${\ Displaystyle \ Operatorname {Int} _ {X} K ~ \ podrzędny ~ \ {x \ w X: p (x) <1 \} ~ \ podrzędny ~ K ~ \ podrzędny ~ \ {x \ w X: p ( x)\leq 1\}~\subseteq ~\nazwa operatora {cl} _{X}K}$$

gdzie, co ważne, nie zakładano, że ma jakieś własności topologiczne ani że jest ciągły (co zdarza się wtedy i tylko wtedy, gdy jest sąsiedztwem 0). ${\ Displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle K}$

Niech i będą dwoma topologiami wektorowymi na Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy sieć w zbiega się w, to w${\ Displaystyle \ tau}$${\displaystyle \nu}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle \ tau \ subseteq \ nu}$${\ Displaystyle x_ {\ pocisk} = \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ w ja}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle 0}$${\displaystyle (X,\nu)}$${\displaystyle x_{\pocisk}\do 0}$${\displaystyle (X,\tau).}$

Niech będzie bazą sąsiedztwa pochodzenia w let i niech Then wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sieć in (indeksowana przez ) taka, że w in. Pokazuje to w szczególności, że często wystarczy rozważyć sieci indeksowane przez bazę sąsiedztwa pochodzenia, a nie sieci na dowolnie ukierunkowanych zestawach. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\ Displaystyle x \ w X.}$${\ Displaystyle x \ w \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle s_ {\ pocisk} = \ lewo (s_ {N} \ prawo) _ {N \ w {\ mathcal {N}}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle s_{\pocisk}\do x}$${\ Displaystyle X.}$

Wnętrze

Jeśli i ma niepuste wnętrze, to ${\displaystyle R,S\subseteq X}$${\displaystyle S}$

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {int} _ {X} S ~ = ~ \ nazwa operatora {int} _ {X} \ lewo (\ nazwa operatora {cl} _ {X} S \ po prawej) ~ {\ tekst {i}} ~ \operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$

oraz

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {int} _ {X} (R) + \ nazwa operatora {int} _ {X} (S) ~ \ podseteq ~ R + \ nazwa operatora {int} _ {X} S \ podsekcja \ nazwa operatora {int} _{X}(R+S).}$$

Jeśli jest to

podzbiór z niepusty wnętrza może nie zawierać źródło w jego wnętrzu. ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S.}$${\ Displaystyle X}$

Jeśli jest

podzbiorem z niepustym wnętrzem, to jest zrównoważony; w szczególności, jeśli wnętrze zbalansowanego zbioru zawiera pochodzenie, to jest ono zbalansowane. ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {0 \} \ filiżanka \ operatorname {Int} _ {X} S}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Int} _ {X} S}$

Jeśli jest wypukły, a następnie ${\displaystyle C}$${\displaystyle 0<t\leq 1,}$${\ Displaystyle t \ nazwa operatora {int} C + (1-t) \ nazwa operatora {cl} C ~ \ podseteq ~ \ nazwa operatora {int} C.}$

Jeśli należy do wnętrza zbioru wypukłego, a następnie półotwartego odcinka, a Jeśli jest

sąsiedztwami w rzeczywistym TVS ) wynika, że: i ponadto, jeśli wtedy i jeśli wtedy${\displaystyle x}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\ Displaystyle y \ w \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}{\text{jeśli}}x\neq y }$${\ Displaystyle [x, x) = \ varnothing {\ tekst {jeśli}} x = y.}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B_ {1}: = \ {a \ w \ mathbb {K}: | a | <1 \},}$${\ Displaystyle N \ czapka \ mathbb {R} x}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} x}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Int} N = [0,1) \ Operatorname {Int} N = (-1,1) N = B_ {1} N}$${\ Displaystyle x \ w \ operatorname {Int} N {\ tekst {i}} r: = \ sup _ {} \ {r> 0: [0, r) x \ podseteq N \}}$${\displaystyle r>1{\tekst{i}}[0,r)x\subseteq \operatorname {int} N}$${\displaystyle r\neq \infty}$${\ Displaystyle rx \ w \ operatorname {cl} N \ setminus \ operatorname {Int} N.}$

Przestrzenie nie-Hausdorffa i domknięcie początku

Topologiczna przestrzeń wektorowa to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniętym podzbiorem lub równoważnie wtedy i tylko wtedy, gdy Ponieważ jest podprzestrzeniąwektorową tego samego jest prawdziwe dla jej domknięcia, które jest określane jako