Przestrzeń krawędź - Edge space

W matematycznej dyscypliny teorii wykres The przestrzeń krawędzi i odstęp wierzchołka o nieukierunkowane wykresu są przestrzenie wektorowe zdefiniowane pod względem krawędzi i wierzchołków zestawów, odpowiednio. Uczynić te miejsca wektora możliwe jest stosowanie technik liniowego Algebra badając wykres.

Definicja

Niech być skończone nieukierunkowane wykres. Przestrzeń wierzchołek z G jest przestrzeń wektorową, na obszarze ograniczonym dwóch elementów wszystkich funkcji . Każdy element naturalnie odpowiada podzbiór V , które przypisuje się 1 do wierzchołków. Również każdy podzbiór V jest jednoznacznie reprezentowane przez jego funkcji charakterystycznej. Przestrzeń krawędź jest przestrzeń-wektor swobodnie generowanych przez zestaw krawędzi E . Wymiar powierzchni wierzchołka jest więc liczba wierzchołków grafu, natomiast wymiar przestrzeni krawędzi jest liczbą krawędzi. ${\ Displaystyle G: = (V, E)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} (G)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}: = \ lbrace 0,1 \ rbrace}$${\ Displaystyle V \ rightarrow \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} (G)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} (G)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (G)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Definicje te mogą stać się bardziej wyraźne. Na przykład, możemy opisać przestrzeń krawędzi, co następuje:

• elementy przestrzeni wektorowej są podzbiory , czyli jak zestaw jest zestaw power of E${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (G)}$
• Dodawanie wektorów jest definiowana jako różnica symetryczna :${\ Displaystyle P + P: P = \ trójkąt P \ qquad P, Q \ in {\ mathcal {E}} (G)}$
• skalarne mnożenie jest określony przez:
  • ${\ Displaystyle 0 \ cdot P: = \ emptyset \ qquad P \ in {\ mathcal {E}} (G)}$
  • ${\ Displaystyle 1 \ cdot P: = P \ qquad P \ in {\ mathcal {E}} (G)}$

The Singleton podzbiory E tworzą podstawę . ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (G)}$

Można też myśleć jako zbiór moc V wykonane w przestrzeni wektorowej z podobnym dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar zdefiniowanego dla . ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} (G)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (G)}$

Nieruchomości

Matrycy zapadalność na wykresie wyznacza jedną z możliwych transformacji liniowej${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle H {\ mathcal {E}} (G) \ na {\ mathcal {V}} (G)}$

między obszarem krawędzi i powierzchni wierzchołków o . Matryca występowania , jako przekształcenie liniowego odwzorowuje każdy krawędź dwóch padających wierzchołków. Niech jest krawędź między a następnie ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle vu}$${\ V} displaystyle$${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle H (VII) = V + U}$

Przestrzeń cyklu i miejsca cięcia są liniowe podprzestrzeni przestrzeni krawędzi.

Referencje

• Diestel Reinhard (2005), wykres Teoria (3rd ed.), Springer , ISBN  3-540-26182-6 (Elektroniczny 3rd Edition jest dostępna bezpłatnie na stronie autora).

Zobacz też

• przestrzeń cykl
• miejsce cięcia