Rotacja knota - Wick rotation

W fizyki , obrót Knot jest sposób znalezienia rozwiązania problemu matematycznego w przestrzeni Minkowskiego z roztworu do pokrewnego problemu w euklidesowej przestrzeni za pomocą transformacji substytuty zmienną urojony numer o zmiennej rzeczywistych numerów. Ta transformacja jest również wykorzystywana do znajdowania rozwiązań problemów w mechanice kwantowej i innych dziedzinach. Jego nazwa pochodzi od włoskiego fizyka Gian Carlo Wicka, który jako pierwszy opracował go w 1954 roku.

Przegląd

Rotacja knota jest motywowana obserwacją, że metryka Minkowskiego w jednostkach naturalnych (z sygnaturą metryki $($ konwencja $-1, +1, +1, +1)$ )

{\ Displaystyle ds ^ {2} = - \ lewo (dt ^ {2} \ prawy) + dx ^ {2} + Dy ^ {2} + dz ^ {2}}

i czterowymiarowa metryka euklidesowa

{\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ tau ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

są równoważne, jeśli pozwoli się, aby współrzędna $t$ przyjęła wartości urojone . Metryka Minkowskiego staje się euklidesowa, gdy $t$ jest ograniczone do osi urojonej i na odwrót. Wzięcie problemu wyrażonego w przestrzeni Minkowskiego o współrzędnych $x, y, z, t$ , i podstawienie $t = - iτ$ daje czasem problem o rzeczywistych współrzędnych euklidesowych $x, y, z, τ,$ który jest łatwiejszy do rozwiązania. To rozwiązanie może następnie, przy odwrotnym podstawieniu, dać rozwiązanie pierwotnego problemu.

Mechanika statystyczna i kwantowa

Obrót knot łączy mechaniki statystycznej do mechaniki kwantowej , zastępując temperaturę odwrotną ze czas urojony . Rozważ duży zbiór oscylatorów harmonicznych w temperaturze $T$ . Względne prawdopodobieństwo znalezienia dowolnego oscylatora o energii $E$ wynosi , gdzie $k$ $B$ jest stałą Boltzmanna . Średnia wartość obserwowalnego $Q$ wynosi, aż do stałej normalizującej, ${\ Displaystyle 1 / (k_ {\ tekst {B}} T)}$ $to/\hbar$ ${\ Displaystyle \ exp (-E / k_ {\ tekst {B}} T)}$

{\ Displaystyle \ suma _ {j} Q_ {j} e ^ {- {\ Frac {E_ {j}} {k_ {\ tekst {B}} T}}}}

gdzie $j$ przebiega przez wszystkie stany, jest wartością $Q$ w $j-tym$ stanie i jest energią $j-tego$ stanu. Rozważmy teraz pojedynczy kwantowy oscylator harmoniczny w superpozycji stanów bazowych, ewoluujący przez czas $t$ pod hamiltonianem $H$ . Względna zmiana fazy stanu bazowego z energią $E$ jest tam, gdzie jest zmniejszona stała Plancka . Amplituda prawdopodobieństwa , że jednolita (równo ważony) superpozycji stanów $Q_{j}$ ${\ Displaystyle E_ {j}}$ $\exp(-Eit/\hbar),$ ${\ Displaystyle \ hbar}$

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ suma _ {j} | j \ rangle}

ewoluuje do arbitralnej superpozycji

{\ Displaystyle | Q \ rangle = \ suma _ {j} Q_ {j} | j \ rangle}

jest, aż do stałej normalizującej,

{\ Displaystyle \ lewo \ langle Q \ lewo | e ^ {- {\ Frac {iHt} {\ hbar}}} \ prawo | \ psi \ prawo \ rangle = \ suma _ {j} Q_ {j} e ^ { -{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{ \hbar }}}.}

Statyka i dynamika

Rotacja knota wiąże problemy statyczne w $n$ wymiarach z problemami dynamiki w $n - 1$ wymiarach, zamieniając jeden wymiar przestrzeni na jeden wymiar czasu. Prosty przykład, gdzie $n = 2$ to wisząca sprężyna ze stałymi punktami końcowymi w polu grawitacyjnym. Kształt sprężyny to krzywa $y (x)$ . Sprężyna jest w równowadze, gdy energia związana z tą krzywą znajduje się w punkcie krytycznym (ekstremum); ten punkt krytyczny jest zazwyczaj minimum, więc idea ta jest zwykle nazywana "zasadą najmniejszej energii". Aby obliczyć energię, integrujemy gęstość przestrzenną energii w przestrzeni:

{\ Displaystyle E = \ int _ {x} \ lewo [k \ lewo ({\ Frac {dy (x)} {dx}} \ prawej) ^ {2} + V {\ duży (} y (x) { \duży )}\prawo]dx,}

gdzie $k$ jest stałą sprężystości, a $V (y (x))$ jest potencjałem grawitacyjnym.

Odpowiadający temu problem z dynamiką dotyczy skały wyrzuconej w górę. Ścieżka, którą podąża skała, jest tą, która ekstremizuje działanie ; tak jak poprzednio, to ekstremum jest zazwyczaj minimum, więc nazywa się to „ zasadą najmniejszego działania ”. Akcja jest całką czasową Lagrange'a :

{\ Displaystyle S = \ int _ {t} \ lewo [m \ lewo ({\ Frac {dy (t)} {dt}} \ prawej) ^ {2}-V {\ duży (} Y (t) { \duży )}\prawo]dt.}

Otrzymujemy rozwiązanie problemu dynamiki (do współczynnika $i$ ) z problemu statycznego przez obrót Wicka, zastępując $y (x)$ przez $y (it)$ i stałą sprężystości $k$ przez masę skały $m$ :

{\ Displaystyle to = \ int _ {t} \ lewo [m \ lewo ({\ Frac {dy (to)} {dt}} \ prawo) ^ {2} + V {\ duży (} Y (to) { \big )}\right]dt=i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V{\big (} y(it){\big )}\right]d(it).}

Zarówno termiczna/kwantowa, jak i statyczna/dynamiczna

Podsumowując, poprzednie dwa przykłady pokazują, jak sformułowanie całki po ścieżce w mechanice kwantowej jest powiązane z mechaniką statystyczną. Z mechaniki statystycznej wynika , że kształt każdej sprężyny w zbiorze w temperaturze $T$ będzie odbiegał od najmniej energetycznego kształtu z powodu wahań temperatury; prawdopodobieństwo znalezienia sprężyny o danym kształcie maleje wykładniczo wraz z różnicą energii od kształtu najmniej energetycznego. Podobnie, cząstkę kwantową poruszającą się w potencjale można opisać przez superpozycję ścieżek, z których każda ma fazę $exp(iS)$ : termiczne zmiany kształtu w całym zbiorze zamieniły się w kwantową niepewność na drodze cząstki kwantowej.

Dalsze szczegóły

Równanie Schrödingera i równanie ciepła są również związane przez obrót spalania. Jest jednak niewielka różnica. Statystyczno-mechaniczne $n-$ punktowe funkcje spełniają pozytywność, podczas gdy kwantowe teorie pola rotacyjnego Wick'a spełniają pozytywność odbicia .

Obrót knota zwany obrót ponieważ gdy oznaczają liczby zespolone w płaszczyźnie mnożenie liczby zespolonej przez $I$ jest równoważny obrót wektor reprezentujący tę liczbę w kącie z $Õ / 2$ o pochodzeniu .

Rotacja knota wiąże również kwantową teorię pola przy skończonej odwrotności temperatury $β$ z modelem statystyczno-mechanicznym na „rurze” $R 3 \times S 1$ z urojoną współrzędną czasową $τ,$ która jest okresowa z okresem $β$ .

Należy jednak zauważyć, że obrót Wicka nie może być postrzegany jako obrót na złożonej przestrzeni wektorowej, która jest wyposażona w konwencjonalną normę i metrykę indukowaną przez iloczyn skalarny , ponieważ w tym przypadku obrót zniknąłby się i nie miałby żadnego efektu.

Interpretacja i rygorystyczny dowód

Obroty knota można uznać za przydatną sztuczkę, która obowiązuje ze względu na podobieństwo równań dwóch pozornie odrębnych dziedzin fizyki. W Quantum Field Theory in a Nutshell autorstwa Anthony'ego Zee omawia rotacje Wicka, mówiąc, że

Z pewnością uderzyłbyś w mistyczne typy, gdybyś im powiedział, że temperatura jest równoważna cyklicznemu czasowi urojonemu. Na poziomie arytmetycznej to połączenie pochodzi jedynie z faktu, że główne obiekty w fizyce kwantowej

exp (-i H T)

oraz z fizyki cieplnej

exp (βH)

są formalnie związane przez analitycznej kontynuacji. Niektórzy fizycy, w tym ja, uważają, że może być w tym coś głębokiego, czego nie do końca rozumiemy.

Se

Udowodniono, że bardziej rygorystyczne powiązanie między euklidesową a kwantową teorią pola można skonstruować za pomocą twierdzenia o rekonstrukcji Osterwaldera-Schradera.

Zobacz też

Bibliografia

^ Knot, GC (1954-11-15). „Właściwości funkcji falowych Bethe-Salpetera” . Przegląd fizyczny . 96 (4): 1124–1134. doi : 10.1103/PhysRev.96.1124 . ISSN 0031-899X .
^ Zee, A. (01.02.2010). Kwantowa teoria pola w pigułce: wydanie drugie . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 978-1-4008-3532-4.
^ Schlingemann, Dirk (01.10.1999). „Od euklidesowej teorii pola do kwantowej teorii pola” . Recenzje z fizyki matematycznej . 11 (09): 1151–1178. arXiv : hep-th/9802035 . doi : 10.1142/S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X .

Linki zewnętrzne

A Spring in Imaginary Time — arkusz z mechaniki Lagrange'a ilustrujący, jak zastąpienie długości wyimaginowanym czasem zamienia parabolę wiszącej sprężyny w odwróconą parabolę rzucanej cząstki
Euclidean Gravity — krótka notatka Raya Streatera na temat programu „Euclidean Gravity”.

[1] Knot, GC (1954-11-15). „Właściwości funkcji falowych Bethe-Salpetera” . Przegląd fizyczny . 96 (4): 1124–1134. doi : 10.1103/PhysRev.96.1124 . ISSN 0031-899X .

[2] Zee, A. (01.02.2010). Kwantowa teoria pola w pigułce: wydanie drugie . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 978-1-4008-3532-4.

[3] Schlingemann, Dirk (01.10.1999). „Od euklidesowej teorii pola do kwantowej teorii pola” . Recenzje z fizyki matematycznej . 11 (09): 1151–1178. arXiv : hep-th/9802035 . doi : 10.1142/S0129055X99000362 . ISSN 0129-055X .

Languages

In other projects