Akcja (fizyka) - Action (physics)

W fizyce , działanie to wartość liczbowa opisująca w jaki sposób system fizyczny został zmieniony w miarę upływu czasu . Działanie jest istotne, ponieważ równania ruchu układu można wyprowadzić z zasady działania stacjonarnego . W prostym przypadku pojedynczej cząstki poruszającej się z określoną prędkością, działaniem jest pęd cząstki razy odległość, którą porusza się, zsumowany na jej drodze lub równoważnie, dwukrotność jej energii kinetycznej razy czas, przez który ma tę ilość energii zsumowaną w rozpatrywanym okresie. W przypadku bardziej skomplikowanych systemów wszystkie takie ilości są sumowane. Mówiąc bardziej formalnie, działanie jest funkcją matematyczną, która jako argument przyjmuje trajektorię systemu , zwaną także ścieżką lub historią , i ma jako wynik liczbę rzeczywistą . Ogólnie rzecz biorąc, akcja przyjmuje różne wartości dla różnych ścieżek. Działanie ma wymiary o energii x czas lub pędu x długość i jego jednostka SI jest dżul -drugie (jak stałą Plancka h ).

Wstęp

Zasada Hamiltona mówi, że różniczkowe równania ruchu dowolnego układu fizycznego można przeformułować jako równoważne równanie całkowe . Tak więc istnieją dwa różne podejścia do formułowania modeli dynamicznych.

To odnosi się nie tylko do mechaniki klasycznej pojedynczej cząstki, ale również do klasycznych dziedzinach takich jak elektromagnetycznych i grawitacyjnych pól . Zasada Hamiltona została również rozszerzona na mechanikę kwantową i kwantową teorię pola — w szczególności całkowe sformułowanie ścieżkowe mechaniki kwantowej wykorzystuje tę koncepcję — gdzie układ fizyczny losowo podąża jedną z możliwych ścieżek, z fazą amplitudy prawdopodobieństwa dla każdej z nich. ścieżka jest określana przez działanie na ścieżce.

Rozwiązanie równania różniczkowego

Prawa empiryczne są często wyrażane jako równania różniczkowe , które opisują, jak wielkości fizyczne, takie jak położenie i pęd, zmieniają się w sposób ciągły w czasie , przestrzeni lub ich uogólnieniu. Biorąc pod uwagę początkowe i brzegowe warunki sytuacji, „rozwiązaniem” tych równań empirycznych jest jedna lub więcej funkcji, które opisują zachowanie układu i są nazywane równaniami ruchu .

Minimalizacja całki działania

Akcja jest częścią alternatywnego podejścia do znajdowania takich równań ruchu. Mechanika klasyczna postuluje, że ścieżka, którą faktycznie podąża system fizyczny, jest tą, dla której działanie jest zminimalizowane , lub ogólniej, jest stacjonarna . Innymi słowy, działanie spełnia zasadę wariacyjną : zasadę działania stacjonarnego (patrz także poniżej). Działanie jest określone przez całkę , a klasyczne równania ruchu układu można wyprowadzić minimalizując wartość tej całki.

Ta prosta zasada zapewnia głęboki wgląd w fizykę i jest ważną koncepcją we współczesnej fizyce teoretycznej .

Historia

Działanie zostało określone na kilka przestarzałych obecnie sposobów podczas opracowywania koncepcji.

Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli i Pierre Louis Maupertuis zdefiniowali działanie światła jako całkę jego prędkości lub odwrotną prędkość wzdłuż jego drogi.
Leonhard Euler (i prawdopodobnie Leibniz) zdefiniował działanie cząstki materialnej jako całkę prędkości cząstki na jej drodze w przestrzeni.
Pierre Louis Maupertuis wprowadził w jednym artykule kilka doraźnych i sprzecznych definicji działania , definiując działanie jako energię potencjalną, jako wirtualną energię kinetyczną oraz jako hybrydę zapewniającą zachowanie pędu w zderzeniach.

Definicja matematyczna

Wyrażona w języku matematycznym, za pomocą rachunku wariacyjnego , ewolucja systemu fizycznego (tj. sposób, w jaki system faktycznie przechodzi z jednego stanu do drugiego) odpowiada punktowi stacjonarnemu (zazwyczaj minimum) działania.

Kilka różnych definicji „akcji” jest powszechnie używanych w fizyce. Akcja jest zwykle całką w czasie. Jednak gdy akcja dotyczy pól , może być zintegrowana również po zmiennych przestrzennych. W niektórych przypadkach akcja jest zintegrowana na ścieżce, którą podąża system fizyczny.

Akcja jest zwykle reprezentowana jako całka w czasie, mierzona na ścieżce systemu między czasem początkowym a czasem końcowym rozwoju systemu:

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \ dt}

gdzie całka L nazywana jest Lagrange'em . Aby całka działania była dobrze zdefiniowana, trajektoria musi być ograniczona w czasie i przestrzeni.

Działanie ma wymiary o [energii] × [czas] , a jego jednostka SI jest dżul -drugie, która jest identyczna jak jednostka pędu .

Działanie w fizyce klasycznej

W fizyce klasycznej termin „działanie” ma wiele znaczeń.

Działanie (funkcjonalne)

Najczęściej termin ten jest używany dla funkcjonału, który przyjmuje jako dane wejściowe funkcję czasu i (dla pól ) przestrzeni i zwraca skalar . W mechanice klasycznej funkcją wejściową jest ewolucja q ( t ) układu między dwoma razy t ₁ i t ₂ , gdzie q reprezentuje uogólnione współrzędne . Działanie to określa się jako całkę z Lagrange'a L do ewolucji wejścia pomiędzy dwa razy: ${\mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)]}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q} (t), {\ kropka {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}

gdzie punkty końcowe ewolucji są ustalone i zdefiniowane jako i . Zgodnie z zasadą Hamiltona prawdziwa ewolucja q _prawda ( t ) jest ewolucją, w której działanie jest stacjonarne (minimum, maksimum lub punkt siodłowy ). Ta zasada skutkuje równaniami ruchu w mechanice Lagrange'a . ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1} = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2} = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)]}$

Akcja skrócona (funkcjonalna)

Zwykle oznaczany jako , jest to również funkcjonalny . Tutaj funkcja wejściowa jest ścieżką, którą podąża system fizyczny bez względu na jego parametryzację przez czas. Na przykład tor orbity planetarnej jest elipsą, a tor cząstki w jednorodnym polu grawitacyjnym to parabola; w obu przypadkach ścieżka nie zależy od tego, jak szybko cząstka ją pokonuje. Akcja skrócona jest zdefiniowana jako całka uogólnionego pędu wzdłuż toru we współrzędnych uogólnionych : ${\mathcal {S}}_{0}$ ${\mathcal {S}}_{0}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}= \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} = \ int p_ {i} \ dq_ {i}.}

Zgodnie z zasadą Maupertuisa , prawdziwa ścieżka to droga, dla której skrócone działanie jest stacjonarne . ${\mathcal {S}}_{0}$

główna funkcja Hamiltona

Główną funkcję Hamiltona uzyskuje się z funkcjonału czynności poprzez ustalenie początkowego czasu i początkowego punktu końcowego , pozwalając jednocześnie na zmianę górnego limitu czasu i drugiego punktu końcowego . Główna funkcja Hamiltona spełnia równanie Hamiltona-Jacobiego, sformułowanie mechaniki klasycznej . Ze względu na podobieństwo do równania Schrödingera równanie Hamiltona-Jacobiego stanowi prawdopodobnie najbardziej bezpośredni związek z mechaniką kwantową . $S=S(q,t;q_{0},t_{0})$ ${\mathcal {S}}$ $t_{0}$ $q_{0},$ $t$ $q$

Funkcja charakterystyczna Hamiltona

Gdy całkowita energia E jest zachowana, równanie Hamiltona-Jacobiego można rozwiązać za pomocą addytywnego rozdzielenia zmiennych :

{\ Displaystyle S (q_ {1}, \ kropki, q_ {N}, t) = W (q_ {1}, \ kropki, q_ {N}) - E \ cdot t}

gdzie niezależną od czasu funkcję W ( q ₁ , q ₂ , … q _N ) nazywamy funkcją charakterystyczną Hamiltona . Fizyczne znaczenie tej funkcji można zrozumieć, biorąc jej pochodną po całkowitym czasie

{\ Displaystyle {\ Frac {dW} {dt}} = {\ Frac {\ częściowy W} {\ częściowy q_ {i}}} {\ kropka {q}}_ {i} = p_ {i} {\ kropka {q}}_{i}.}

Można to zintegrować, aby dać

{\ Displaystyle W (q_ {1}, \ kropki, q_ {N}) = \ int p_ {i} {\ kropka {q}} _ {i} \, dt = \ int p_ {i} \, dq_ { i},}

co jest tylko skróconą czynnością .

Inne rozwiązania równań Hamiltona-Jacobiego

Do równania Hamilton-Jacobiego często rozwiązywany przez dodatek podzielności; w niektórych przypadkach poszczególne wyrazy rozwiązania, np. S _k ( q _k ), nazywane są również „działaniem”.

Działanie uogólnionej współrzędnej

Jest to pojedyncza zmienna J _k we współrzędnych kąta działania , zdefiniowana przez całkowanie pojedynczego uogólnionego pędu wokół zamkniętej ścieżki w przestrzeni fazowej , odpowiadającej ruchowi obrotowemu lub oscylacyjnemu:

{\ Displaystyle J_ {k} = \ p_ p_ {k} \ dq_ {k}}

Zmienna J _k nazywana jest „działaniem” uogólnionej współrzędnej q _k ; odpowiadającą jej zmienną kanoniczną sprzężoną z J _k jest jej „kąt” w _k , z powodów opisanych dokładniej pod współrzędnymi kąta działania . Integracja jest tylko nad jednym zmienna q _k , a zatem, w przeciwieństwie do zintegrowanego produktu kropka w skrócie całkowania powyżej. J _K zmiennej wynosi zmianę S _K ( q _k ), jak q _k zmienia się wokół zamkniętej ścieżki. Dla kilku układów fizycznych będących przedmiotem zainteresowania J _k jest albo stałą, albo zmienia się bardzo wolno; stąd zmienna J _k jest często używana w obliczeniach zaburzeń i wyznaczaniu niezmienników adiabatycznych .

Akcja dla przepływu Hamiltona

Zobacz tautologiczna jednoforma .

równania Eulera-Lagrange'a

W mechanice Lagrange'a wymaganie, aby całka działania była stacjonarna przy małych zaburzeniach, jest równoważne układowi równań różniczkowych (zwanych równaniami Eulera-Lagrange'a), które można uzyskać za pomocą rachunku wariacyjnego .

Zasada działania

Pola klasyczne

Zasada działania może być przedłużony do uzyskania równania ruchu dla pól, takich jak pola elektromagnetycznego lub pola grawitacyjnego .

Równanie Einsteina wykorzystuje grawitacyjna całka działania jako ograniczona przez zasady wariacyjnej .

Trajektoria (ścieżka w czasoprzestrzeni ) od ciała w polu grawitacyjnym można znaleźć stosując zasadę działania. Dla ciała swobodnie spadającego ta trajektoria jest geodezyjna .

Prawa konserwatorskie

Implikacje symetrii w sytuacji fizycznej można znaleźć z zasadą działania, wraz z równaniami Eulera-Lagrange'a , które wywodzą się z zasady działania. Przykładem jest twierdzenie Noether , które mówi, że każdej ciągłej symetrii w sytuacji fizycznej odpowiada prawo zachowania (i odwrotnie). Ten głęboki związek wymaga przyjęcia zasady działania.

Mechanika kwantowa i kwantowa teoria pola

W mechanice kwantowej układ nie podąża jedną ścieżką, której działanie jest stacjonarne, ale zachowanie układu zależy od wszystkich dozwolonych ścieżek i wartości ich działania. Akcja odpowiadająca różnym ścieżkom służy do obliczenia całki ścieżkowej , która daje amplitudy prawdopodobieństwa różnych wyników.

Chociaż zasada działania jest równoważna w mechanice klasycznej z prawami Newtona , lepiej nadaje się do uogólnień i odgrywa ważną rolę we współczesnej fizyce. Rzeczywiście, ta zasada jest jednym z wielkich uogólnień w naukach fizycznych. To jest najlepiej rozumiany w mechanice kwantowej, zwłaszcza Richard Feynman jest całka preparatu , gdzie powstaje z destrukcyjnej interferencji amplitud kwantowej.

Równania Maxwella można również wyprowadzić jako warunki działania stacjonarnego .

Pojedyncza cząstka relatywistyczna

Gdy efekty relatywistyczne są znaczące, działanie punktowej cząstki o masie m przemieszczającej się po linii świata C sparametryzowanej przez właściwy czas jest ${\ Displaystyle \ tau}$

{\ Displaystyle S = - mc ^ {2} \ int _ {C} \ d \ tau.}

Jeśli zamiast tego, cząstka jest sparametryzowana przez współrzędny czas t cząstki, a współrzędny czas mieści się w zakresie od t ₁ do t ₂ , wtedy działanie staje się

{\ Displaystyle S = \ int _ {t1} ^ {t2} L \ dt}

gdzie jest Lagrange?

{\ Displaystyle L = - mc ^ {2} {\ sqrt {1-{\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}.}

Nowoczesne rozszerzenia

Zasadę działania można jeszcze bardziej uogólnić. Na przykład akcja nie musi być całką, ponieważ możliwe są akcje nielokalne . Przestrzeń konfiguracyjna nie musi być nawet przestrzenią funkcjonalną , biorąc pod uwagę pewne cechy, takie jak nieprzemienna geometria . Jednak fizyczna podstawa tych rozszerzeń matematycznych wymaga eksperymentalnego ustalenia.

Zobacz też

Bibliografia

Źródła i dalsza lektura

Aby zapoznać się z bibliografią z adnotacjami, zobacz Edwin F. Taylor, który wymienia między innymi następujące książki:

The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
Cornelius Lanczos , The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7 . Odniesienia najbardziej cytowany przez wszystkich tych, którzy zbadać to pole.
LD Landau i EM Lifshitz , Mechanika, Kurs Fizyki Teoretycznej (Butterworth-Heinenann, 1976), wyd. 3, tom. 1. ISBN 0-7506-2896-0 . Zaczyna się od zasady najmniejszego działania.
Thomas A. Moore „Zasada najmniejszego działania” w Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), tom 2, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , strony 840-842.
Gerald Jay Sussman i Jack Wisdom , Struktura i interpretacja mechaniki klasycznej (MIT Press, 2001). Rozpoczyna się zasadą najmniejszego działania, posługuje się nowoczesną notacją matematyczną, a sprawdza klarowność i spójność procedur programując je w języku komputerowym.
Dare A. Wells, Lagrange'an Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , 350-stronicowy kompleksowy „zarys” tematu.
Robert Weinstock, Rachunek wariacyjny, z zastosowaniami w fizyce i inżynierii (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2 . Stara, ale dobra, ze starannie zdefiniowanym formalizmem przed użyciem w fizyce i inżynierii.
Wolfgang Yourgrau i Stanley Mandelstam , Zasady wariacyjne w dynamice i teorii kwantowej (Dover Publications, 1979). Ładne opracowanie, które nie unika filozoficznych implikacji teorii i chwali podejście Feynmana do mechaniki kwantowej, które sprowadza się do zasady najmniejszego działania w granicach dużej masy.
Edwin F. Taylora strona

Linki zewnętrzne

Zasada najmniejszego działania interaktywne Interaktywne wyjaśnienie/strona internetowa

Languages

In other projects