Średnia arytmetyczno-geometryczna - Arithmetic–geometric mean

Wykres średniej arytmetyczno-geometrycznej (kolor ciemnoniebieski)

{\ Displaystyle \ Operatorname {agm} (1, x)}

W matematyce średnia arytmetyczno-geometryczna dwóch dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ jest zdefiniowana w następujący sposób:

Zadzwoń $x$ i $y$ $a 0$ i $g 0$ :

{\ Displaystyle {\ zacznij {wyrównany} a_ {0}& = x \ \ g_ {0} i = y. \ koniec {wyrównany}}}

Następnie określić dwa współzależne sekwencji $(n)$ i $(g n)$ jako

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a_ {n + 1} i = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {n} + g_ {n}), \ \ g_ {n + 1} i = { \sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{wyrównany}}}

Te dwa ciągi zbiegają się do tej samej liczby, średniej arytmetyczno-geometrycznej $x$ i $y$ ; jest oznaczany przez $M (x, y)$ lub czasami przez $agm(x, y)$ lub $AGM (x, y)$ .

Średnia arytmetyczno-geometryczna jest używana w szybkich algorytmach dla funkcji wykładniczych i trygonometrycznych , a także niektórych stałych matematycznych , w szczególności do obliczania $π$ .

Przykład

Aby znaleźć średnią arytmetyczno-geometryczną $a 0 = 24$ i $g 0 = 6$ , wykonaj następujące czynności:

{\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcccl} a_ {1} i = i {\ tfrac {1} {2}} (24 + 6) i = i 15 \ \ g_ {1} i = i {\ sqrt { 24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\kropki \\&&\vkropki &&\end{array}}}

Pierwsze pięć iteracji daje następujące wartości:

$n$	$n$	$g n$
0	24	6
1	1 5	1 2
2	13 0,5	13 0,416 407 864 998 738 178 455 042 ...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 7 45 176 983 217 305...	13.458 171 481 7 06 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 8 20...	13.458 171 481 725 615 420 766 8 06...

Liczba cyfr w którym $n$ i $g$ $n$ gotów (podkreślone) w przybliżeniu podwaja się przy każdej iteracji. Średnia arytmetyczno-geometryczna 24 i 6 jest wspólną granicą tych dwóch ciągów, która wynosi w przybliżeniu13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 .

Historia

Pierwszy algorytm oparty na tej parze sekwencji pojawił się w pracach Lagrange'a . Jego właściwości zostały następnie przeanalizowane przez Gaussa .

Nieruchomości

Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich nigdy nie jest większa niż średnia arytmetyczna (patrz nierówność średnich arytmetycznych i geometrycznych ). W konsekwencji, dla $n > 0$ , $(g n)$ jest zwiększenie sekwencji $($ _n ) jest malejąca kolejność i $g n \leq M (x, y) \leq$ _n . To są ścisłe nierówności, jeśli $x \neq y$ .

$M (x, y)$ jest więc liczbą pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną $x$ i $y$ ; jest również pomiędzy $x$ i $y$ .

Jeśli $r \geq 0$ , to $M (rx, ry) = rM (x, y)$ .

Istnieje wyrażenie całkowe dla $M (x, y)$ :

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} M (x, y) i = {\ Frac {\ pi } {2}} \ lewo (\ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi } {2}} \frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\ \&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}} }\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {xy}{x+y} }\right)}}\end{wyrównany}}}

gdzie $K (k)$ jest całkowitą całką eliptyczną pierwszego rodzaju :

{\ Displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} {\ Frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} }(\theta )}}}}

Rzeczywiście, ponieważ proces arytmetyczno-geometryczny zbiega się tak szybko, zapewnia wydajny sposób obliczania całek eliptycznych za pomocą tego wzoru. W inżynierii jest używany na przykład w projektowaniu filtrów eliptycznych .

Średnia arytmetyczno-geometryczna jest połączona z funkcją theta Jacobiego przez ${\ Displaystyle \ theta _ {3}}$

{\ Displaystyle M (1, x) = \ theta _ {3} ^ {-2} \ lewo (\ exp \ lewo (- \ pi {\ Frac {M (1, x)) {M \ lewo (1, 1 {\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{ 2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2 }.}

Pojęcia pokrewne

Odwrotność średniej arytmetyczno-geometrycznej z 1 i pierwiastka kwadratowego z 2 nosi nazwę stałej Gaussa , od Carla Friedricha Gaussa .

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {M (1, {\ sqrt {2}})}} = G = 0,8346268 \ kropki}

W 1941 roku (a co za tym idzie ) został uznany za transcendentalny przez Theodora Schneidera . ${\ Displaystyle M (1, {\ sqrt {2}})}$ ${\ Displaystyle G}$

Średnia geometryczna harmonicznych może być obliczona w sposób analogiczny przy użyciu sekwencji geometrycznych i harmonicznych środków. Okazuje się, że $GH(x,y) = 1/M(1/ x, 1/ y) = xy /M(x,y)$ . Średnia arytmetyczno-harmoniczna może być zdefiniowana w podobny sposób, ale przyjmuje taką samą wartość jak średnia geometryczna (patrz rozdział „Obliczenia” tam ).

Średnia arytmetyczno-geometryczna może służyć do obliczania m.in. logarytmów , pełnych i niepełnych całek eliptycznych pierwszego i drugiego rodzaju oraz funkcji eliptycznych Jacobiego .

Dowód istnienia

Z nierówności średnich arytmetycznych i geometrycznych możemy wywnioskować, że:

{\ Displaystyle g_ {n} \ leq a_ {n}}

a zatem

{\ Displaystyle g_ {n + 1} = {\ sqrt {g_ {n} \ cdot a_ {n}}} \ geq {\ sqrt {g_ {n} \ cdot g_ {n}}} = g_ {n}}

to znaczy, sekwencja $g n$ jest niemalejącą.

Co więcej, łatwo zauważyć, że jest ona również ograniczona powyżej przez większą z $x$ i $y$ (co wynika z faktu, że zarówno średnie arytmetyczne, jak i geometryczne dwóch liczb leżą między nimi). Tak więc, zgodnie z twierdzeniem o zbieżności monotonicznej , ciąg jest zbieżny, więc istnieje $g$ takie, że:

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} g_ {n} = g}

Widzimy jednak również, że:

{\ Displaystyle a_ {n} = {\ Frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}}}

a więc:

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}} ={\frac {g^{2}}{g}}=g}

CO BYŁO DO OKAZANIA

Dowód wyrażenia całkowego

Ten dowód podaje Gauss. Pozwolić

{\ Displaystyle I (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ pi /2} \ frac {d \ theta} {\ sqrt {x ^ {2} \ cos ^ {2} \ teta + r ^{2}\sin ^{2}\theta }}},}

Zmiana zmiennej całkowania na , gdzie ${\ Displaystyle \ theta '}$

{\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {2x \ sin \ theta '}{(x + y) + (xy) \ sin ^ {2} \ theta '}}}

daje

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja (x, y) i = \ int _ {0} ^ {\ pi /2} {\ Frac {d\ theta}} {\ sqrt {{\ bigl (}{\ frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^ {2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\ duży )}.\end{wyrównany}}}

Tak więc mamy

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja (x, y) i = ja (a_ {1}, g_ {1}) = ja (a_ {2}, g_ {2}) = \ cdots \ \ i = ja {\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{wyrównany}} }

Ostatnia równość pochodzi z przestrzegania tego .

{\ Displaystyle I (z, z) = \ pi / (2z)}

Wreszcie uzyskujemy pożądany rezultat

{\ Displaystyle M (x, y) = \ pi / {\ bigl (} 2I (x, y) {\ duży )}.}

Aplikacje

Liczba π

Na przykład, zgodnie z algorytmem Gaussa-Legendre'a :

{\ Displaystyle \ pi = {\ Frac {4 \, M (1,1/{\ sqrt {2}}) ^ {2}} {1-\ suma _ {j = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {j+1}c_{j}^{2}}},}

gdzie

{\ Displaystyle c_ {j} = {\ Frac {1} {2}} \ po lewej (a_ {j-1} -g_ {j-1} \ po prawej),}

with i , które można obliczyć bez utraty precyzji za pomocą $a_{0}=1$ $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$

{\ Displaystyle c_ {j} = {\ Frac {c_ {j-1} ^ {2}} {4a_ {j}}}.}

Całka eliptyczna zupełna K (sin α )

Przyjęcie i oddanie WZA $a_{0}=1$ $g_{0}=\cos\alfa$

{\ Displaystyle M (1, \ cos \ alfa) = {\ Frac {\ pi} {2K (\ sin \ alfa)}}}

gdzie $K (k)$ jest całkowitą całką eliptyczną pierwszego rodzaju :

{\ Displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ pi /2} (1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta) ^ {-1/2} \ d \ teta .}

Oznacza to, że ten okres kwartalny może być skutecznie obliczony przez ZWZ,

{\ Displaystyle K (k) = {\ Frac {\ pi} {2 M (1, {\ sqrt {1-k ^ {2}}})}}.}

Inne aplikacje

Wykorzystując tę właściwość ZWZ wraz z przemianami wznoszących John Landen , Richard P. Brent sugeruje pierwszych algorytmów AGM do szybkiej oceny elementarnych funkcji transcendentalnych ( $e x$ , $cos x$ , $sin x$ ). Następnie wielu autorów zajęło się badaniem wykorzystania algorytmów AGM.

Zobacz też

Zewnętrzne linki

Kalkulator średniej arytmetyczno-geometrycznej

Bibliografia

Uwagi

Inne

Daróczy, Zoltán; Pales, Zsolt (2002). „Gauss-kompozycja środków i rozwiązanie problemu Matkowski-Suto”. Publicationes Mathematicae Debrecen . 61 (1–2): 157–218.
„Proces średniej arytmetyczno-geometrycznej” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „średnia arytmetyczno-geometryczna” . MatematykaŚwiat .

^ Agm (24, 6) w Wolfram Alpha
^ ^B Cox David A. (2004). „Średnia arytmetyczno-geometryczna Gaussa” . W Berggren, J. Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter (red.). Pi: A Source Book (wyd. trzecie). Skoczek. P. 481. Numer ISBN 978-0-387-20571-7.po raz pierwszy opublikowany w L'Enseignement Mathématique , t. 30 (1984), s. 275-330
^ Carson, BC (2010), "Całki eliptyczne" , w Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
^ Dimopoulos, Herkules G. (2011). Analogowe filtry elektroniczne: teoria, konstrukcja i synteza . Skoczek. s. 147–155. Numer ISBN 978-94-007-2189-0.
^ Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi i AGM: Studium w teorii liczb analitycznych i złożoności obliczeniowej (wyd. pierwsze). Wiley-Interscience. Numer ISBN 0-471-83138-7. strony 35, 40
^ Schneider, Theodor (1941). Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale . Journal für die reine und angewandte Mathematik [ Czasopismo Matematyki Czystej i Stosowanej ] . 183 . s. 110–128.
^ Todd, John (1975). „Stałe lemniskatowe” . Komunikaty ACM . 18 (1): 14-19. doi : 10.1145/360569.360580 .
^ R [pseudonim], Martin, średnia geometryczno-harmoniczna (odpowiedź) , StackExchange , pobrane 19 września 2020 r.
^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 17” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria matematyki stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginalnego druku z poprawkami (grudzień 1972); wyd. pierwsze). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Krajowe Biuro Standardów; Publikacje Dovera. s. 598-599. Numer ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Król Ludwik V. (1924). O bezpośrednich numerycznych obliczeniach funkcji eliptycznych i całek . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
^ Salamin, Eugeniusz (1976). „Obliczanie π za pomocą średniej arytmetyczno-geometrycznej” . Matematyka Obliczeń . 30 (135): 565–570. doi : 10.2307/2005327 . JSTOR 2005327 . MR 0404124 .
^ Landen, Jan (1775). „Badanie ogólnego twierdzenia o znalezieniu długości dowolnego łuku dowolnej hiperboli stożkowej, za pomocą dwóch łuków eliptycznych, z kilkoma innymi nowymi i użytecznymi twierdzeniami wyprowadzonymi z nich”. Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego . 65 : 283–289. doi : 10.1098/rstl.1775.0028 . S2CID 186208828 .
^ Brent Richard P. (1976). „Szybka wielokrotna precyzyjna ocena funkcji elementarnych” . Dziennik ACM . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .
^ Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi i WZA . Nowy Jork: Wiley. Numer ISBN 0-471-83138-7. MR 0877728 .

[1] Agm (24, 6) w Wolfram Alpha

[BerggrenBorwein2004-2] B Cox David A. (2004). „Średnia arytmetyczno-geometryczna Gaussa” . W Berggren, J. Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter (red.). Pi: A Source Book (wyd. trzecie). Skoczek. P. 481. Numer ISBN 978-0-387-20571-7.po raz pierwszy opublikowany w L'Enseignement Mathématique , t. 30 (1984), s. 275-330

[3] Carson, BC (2010), "Całki eliptyczne" , w Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

[Dimopoulos2011-4] Dimopoulos, Herkules G. (2011). Analogowe filtry elektroniczne: teoria, konstrukcja i synteza . Skoczek. s. 147–155. Numer ISBN 978-94-007-2189-0.

[5] Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi i AGM: Studium w teorii liczb analitycznych i złożoności obliczeniowej (wyd. pierwsze). Wiley-Interscience. Numer ISBN 0-471-83138-7. strony 35, 40

[7] Schneider, Theodor (1941). Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale . Journal für die reine und angewandte Mathematik [ Czasopismo Matematyki Czystej i Stosowanej ] . 183 . s. 110–128.

[8] Todd, John (1975). „Stałe lemniskatowe” . Komunikaty ACM . 18 (1): 14-19. doi : 10.1145/360569.360580 .

[9] R [pseudonim], Martin, średnia geometryczno-harmoniczna (odpowiedź) , StackExchange , pobrane 19 września 2020 r.

[10] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 17” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria matematyki stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginalnego druku z poprawkami (grudzień 1972); wyd. pierwsze). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Krajowe Biuro Standardów; Publikacje Dovera. s. 598-599. Numer ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[11] Król Ludwik V. (1924). O bezpośrednich numerycznych obliczeniach funkcji eliptycznych i całek . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.

[12] Salamin, Eugeniusz (1976). „Obliczanie π za pomocą średniej arytmetyczno-geometrycznej” . Matematyka Obliczeń . 30 (135): 565–570. doi : 10.2307/2005327 . JSTOR 2005327 . MR 0404124 .

[13] Landen, Jan (1775). „Badanie ogólnego twierdzenia o znalezieniu długości dowolnego łuku dowolnej hiperboli stożkowej, za pomocą dwóch łuków eliptycznych, z kilkoma innymi nowymi i użytecznymi twierdzeniami wyprowadzonymi z nich”. Transakcje filozoficzne Towarzystwa Królewskiego . 65 : 283–289. doi : 10.1098/rstl.1775.0028 . S2CID 186208828 .

[14] Brent Richard P. (1976). „Szybka wielokrotna precyzyjna ocena funkcji elementarnych” . Dziennik ACM . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .

[15] Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi i WZA . Nowy Jork: Wiley. Numer ISBN 0-471-83138-7. MR 0877728 .

Languages

In other projects