Działka Bodego - Bode plot

Rysunek 1A: Wykres Bodego dla filtra górnoprzepustowego pierwszego rzędu (jednobiegunowego) ; przybliżenia w linii prostej są oznaczone jako „biegun Bodego”; faza zmienia się od 90° przy niskich częstotliwościach (ze względu na udział licznika, który wynosi 90° przy wszystkich częstotliwościach) do 0° przy wysokich częstotliwościach (gdzie udział fazy mianownika wynosi -90° i anuluje udział licznika ).

Rysunek 1B: Wykres Bodego dla filtra dolnoprzepustowego pierwszego rzędu (jednobiegunowego) ; przybliżenia w linii prostej są oznaczone jako „biegun Bodego”; faza jest o 90° mniejsza niż na rysunku 1A, ponieważ udział fazy licznika wynosi 0° dla wszystkich częstotliwości.

W elektrotechnice i teorii sterowania , A Bode wykres / b oʊ d I / to wykres z odpowiedzi częstotliwościowej układu. Zwykle jest to kombinacja wykresu wielkości Bodego, wyrażającego wielkość (zwykle w decybelach ) odpowiedzi częstotliwościowej oraz wykresu fazy Bodego, wyrażającego przesunięcie fazowe .

Zgodnie z oryginalną koncepcją Hendrika Wade'a Bode'a w latach 30., wykres jest asymptotycznym przybliżeniem charakterystyki częstotliwościowej przy użyciu odcinków linii prostych .

Przegląd

Wśród kilku ważnych wkładów w teorię obwodów i teorię sterowania , inżynier Hendrik Wade Bode , pracując w Bell Labs w latach 30. XX wieku, opracował prostą, ale dokładną metodę tworzenia wykresów wzmocnienia i przesunięcia fazowego. Te noszą jego imię, wykres zysku Bodego i wykres fazy Bodego . "Bode" jest często wymawiane / b oʊ d I / BOH -dee chociaż holenderski wymowa jest Bo-fe. ( Holenderski: [boːdə] ).

Bode stanął przed problemem zaprojektowania stabilnych wzmacniaczy ze sprzężeniem zwrotnym do zastosowania w sieciach telefonicznych. Opracował technikę projektowania graficznego wykresów Bodego, aby pokazać margines wzmocnienia i margines fazy wymagany do utrzymania stabilności przy zmianach charakterystyk obwodu spowodowanych podczas produkcji lub podczas pracy. Opracowane zasady zostały zastosowane do problemów projektowych serwomechanizmów i innych systemów sterowania ze sprzężeniem zwrotnym. Wykres Bodego jest przykładem analizy w dziedzinie częstotliwości .

Definicja

Wykres Bodego dla liniowego, niezmiennego w czasie systemu z funkcją transferu ( będącą częstotliwością zespoloną w domenie Laplace'a ) składa się z wykresu wielkości i wykresu fazy. ${\ Displaystyle H (s)}$ $s$

Wielkość wykres Bode jest wykresem w funkcji częstotliwości (z bycia urojona ). -Działający działki wielkości jest logarytmiczna i wielkość jest podana w decybelach , czyli wartość na skali jest naniesiona na osi w . $|H(s=j\omega)|$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $j$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $|H|$ ${\ Displaystyle 20 \ log _ {10} | H |}$

Diagram fazowy Bode jest wykresem fazy , zwykle w stopniach, z funkcją przenoszenia w funkcji . Faza jest wykreślana na tej samej osi logarytmicznej, co wykres wielkości, ale wartość fazy jest wykreślana na liniowej osi pionowej. ${\ Displaystyle \ arg \ lewo (H (s = j \ omega) \ prawo)}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega}$

Pasmo przenoszenia

Ta sekcja ilustruje, że wykres Bodego jest wizualizacją odpowiedzi częstotliwościowej systemu.

Rozważmy liniowy, niezmienny w czasie system z funkcją transferu . Załóżmy, że system podlega sinusoidalnemu wejściu o częstotliwości , ${\ Displaystyle H (s)}$ ${\ Displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle u (t) = \ grzech (\ omega t) \;,}

który jest stosowany uporczywie, tj. od czasu do czasu . Odpowiedź będzie miała formę $-\infty$ $t$

{\ Displaystyle y (t) = y_ {0} \ sin (\ omega t + \ varphi ) \;,}

tj. również sygnał sinusoidalny o amplitudzie przesuniętej w fazie względem sygnału wejściowego o fazę . $y_{0}$ $\varphi$

Można wykazać, że wielkość odpowiedzi wynosi

{\ Displaystyle y_ {0} = | H (\ operatorname {j} \ omega) |}

( 1 )

i że przesunięcie fazowe jest

{\ Displaystyle \ varphi = \ arg H (\ operatorname {j} \ omega) \;.}

( 2 )

Szkic do dowodu tych równań znajduje się w załączniku .

Podsumowując, pod wpływem sygnału wejściowego o częstotliwości system odpowiada z tą samą częstotliwością sygnałem wyjściowym, który jest wzmacniany o współczynnik i przesunięty w fazie o . Wielkości te zatem charakteryzują pasmo przenoszenia i są pokazane na wykresie Bodego. ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle | H (\ operatorname {j} \ omega) |}$ ${\ Displaystyle \ arg (H (\ operatorname {j} \ omega ))}$

Zasady ręcznie robionej fabuły Bodego

W przypadku wielu praktycznych problemów szczegółowe wykresy Bodego można aproksymować za pomocą prostych odcinków, które są asymptotami dokładnej odpowiedzi. Efekt każdego z warunków funkcji transferu wielu elementów można aproksymować za pomocą zestawu linii prostych na wykresie Bodego. Pozwala to na graficzne rozwiązanie całej funkcji odpowiedzi częstotliwościowej. Przed powszechną dostępnością komputerów cyfrowych szeroko stosowano metody graficzne, aby zmniejszyć potrzebę żmudnych obliczeń; rozwiązanie graficzne można wykorzystać do identyfikacji możliwych zakresów parametrów dla nowego projektu.

Założeniem wykresu Bodego jest to, że można rozważyć logarytm funkcji w postaci:

{\ Displaystyle f (x) = A \ prod (x-c_ {n}) ^ {a_ {n}}}

jako suma logów jego zer i biegunów :

{\ Displaystyle \ log (f (x)) = \ log (A) + \ suma a_ {n} \ log (x-c_ {n}) \;.}

Ta idea jest wyraźnie wykorzystywana w metodzie rysowania diagramów fazowych. Metoda rysowania wykresów amplitudy domyślnie wykorzystuje ten pomysł, ale ponieważ logarytm amplitudy każdego bieguna lub zera zawsze zaczyna się od zera i ma tylko jedną zmianę asymptoty (linie proste), metodę można uprościć.

Prostoliniowy wykres amplitudy

Decybele amplitudy są zwykle wykonywane przy użyciu do zdefiniowania decybeli. Biorąc pod uwagę transmitancję w postaci ${\ Displaystyle {\ tekst {dB}} = 20 \ log _ {10} (X)}$

{\ Displaystyle H (s) = A \ prod {\ Frac {(s-x_ {n}) ^ {a_ {n}} {(s-y_ {n}) ^ {b_ {n}}}}}

gdzie i są stałymi, , , i jest funkcją transferu: $x_{n}$ $y_{n}$ $s=\mathrm {j} \omega$ ${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0}$ ${\ Displaystyle H}$

Na każdej wartości s gdzie (zero), zwiększyć nachylenie linii przez per dekady . ${\ Displaystyle \ omega = x_ {n}}$ ${\ Displaystyle 20 \ cdot a_ {n} \ \ operatorname {dB}}$
Przy każdej wartości s gdzie (biegun) zmniejszaj nachylenie linii o dekadę. ${\ Displaystyle \ omega = y_ {n}}$ ${\ Displaystyle 20 \ cdot b_ {n} \ \ operatorname {dB}}$
Początkowa wartość wykresu zależy od granic. Punkt początkowy znajduje się przez wprowadzenie początkowej częstotliwości kątowej do funkcji i znalezienie . ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle | H (\ operatorname {j} \ omega) |}$
Początkowe nachylenie funkcji przy wartości początkowej zależy od liczby i kolejności zer i biegunów, które mają wartości poniżej wartości początkowej i można je znaleźć przy użyciu dwóch pierwszych reguł.

Aby obsłużyć nierozkładalne wielomiany drugiego rzędu , w wielu przypadkach można aproksymować jako . ${\ Displaystyle topór ^ {2} + bx + c}$ ${\ Displaystyle ({\ sqrt {a}} x + {\ sqrt {c}}) ^ {2}}$

Zauważ, że zera i bieguny występują, gdy jest równe pewnej lub . Dzieje się tak, ponieważ funkcja, o której mowa, jest wielkością , a ponieważ jest funkcją złożoną, . Tak więc w każdym miejscu, w którym występuje zero lub biegun, w którym występuje ten termin , wielkość tego terminu wynosi . ${\ Displaystyle \ omega}$ $x_{n}$ $y_{n}$ ${\ Displaystyle H (\ operatorname {j} \ omega)}$ ${\ Displaystyle | H (\ operatorname {j} \ omega) | = {\ sqrt {H \ cdot H ^ {*}}}}$ ${\ Displaystyle (s + x_ {n})}$ ${\textstyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega)\cdot (x_{n}-\mathrm {j} \omega)}}={\sqrt {x_{n}^{ 2}+\omega ^{2}}}}$

Skorygowany wykres amplitudy

Aby skorygować liniowy wykres amplitudy:

Przy każdym zerze umieść punkt nad linią, ${\ Displaystyle 3 \ cdot a_ {n} \ \ operatorname {dB}}$
Na każdym biegunie umieść punkt poniżej linii, ${\ Displaystyle 3 \ cdot b_ {n} \ \ operatorname {dB}}$
Narysuj gładką krzywą przez te punkty, używając prostych linii jako asymptotów (linie, do których zbliża się krzywa).

Należy zauważyć, że ta metoda korekcji nie obejmuje sposobu obsługi złożonych wartości lub . W przypadku wielomianu nierozkładalnego najlepszym sposobem poprawienia wykresu jest obliczenie wartości transmitancji na biegunie lub zero odpowiadającym wielomianowi nierozkładalnemu i umieszczenie tej kropki nad lub pod linią na tym biegunie lub zera . $x_{n}$ $y_{n}$

Wykres fazy w linii prostej

Biorąc pod uwagę transmitancję w takiej samej postaci jak powyżej:

{\ Displaystyle H (s) = A \ prod {\ Frac {(s-x_ {n}) ^ {a_ {n}} {(s-y_ {n}) ^ {b_ {n}}}}}

chodzi o narysowanie oddzielnych wykresów dla każdego bieguna i zera, a następnie zsumowanie ich. Rzeczywista krzywa fazowa jest podana przez . ${\ Displaystyle - \ arctan \ lewo ({\ tfrac {\ operatorname {im} [H (s)]} {\ operatorname {Re} [H (s)]}} \ prawej)}$

Aby narysować wykres fazowy, dla każdego bieguna i zera:

Jeśli jest dodatnia, linia startu (z zerowym nachyleniem) w ${\ Displaystyle A}$ $0^{\circ}$
Jeśli jest ujemna, linia startu (z zerowym nachyleniem) w ${\ Displaystyle A}$ $-180^{\circ}$
Jeśli suma liczby niestabilnych zer i biegunów jest nieparzysta, dodaj do tej bazy 180°
Co każdą (dla stabilnych zer ), zwiększaj nachylenie o stopnie na dekadę, zaczynając jedną dekadę wcześniej (np.: ) ${\ Displaystyle \ omega = | x_ {n} |}$ ${\ Displaystyle - \ nazwa operatora {Re} (z) <0}$ ${\ Displaystyle 45 \ cdot a_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ omega = | x_ {n} |}$ ${\textstyle {\frac {|x_{n}|}{10}}}$
Co każdą (dla stabilnych słupów ) zmniejszaj nachylenie o stopnie na dekadę, zaczynając jedną dekadę wcześniej (np. ) ${\ Displaystyle \ omega = | y_ {n} |}$ ${\ Displaystyle - \ nazwa operatora {Re} (p) <0}$ ${\ Displaystyle 45 \ cdot b_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ omega = | y_ {n} |}$ ${\textstyle {\frac {|y_{n}|}{10}}}$
„Niestabilne” (prawa połowa płaszczyzny) bieguny i zera ( ) mają przeciwne zachowanie ${\ Displaystyle \ Operatorname {Re} (s)> 0}$
Spłaszcz ponownie nachylenie, gdy faza zmieniła się o stopnie (dla zera) lub stopnie (dla bieguna), ${\ Displaystyle 90 \ cdot a_ {n}}$ ${\ Displaystyle 90 \ cdot b_ {n}}$
Po wykreśleniu jednej linii dla każdego bieguna lub zera, dodaj linie razem, aby uzyskać końcowy wykres fazy; to znaczy, że końcowy wykres fazy jest superpozycją każdego wcześniejszego wykresu fazy.

Przykład

Aby utworzyć wykres liniowy dla filtra dolnoprzepustowego pierwszego rzędu (jednobiegunowego), należy rozważyć funkcję przenoszenia w kategoriach częstotliwości kątowej:

{\ Displaystyle H_ {\ operatorname {lp}} (\ operatorname {j} \ omega ) = {1 \ ponad 1+ \ operatorname {j} {\ omega \ ponad {\ omega _ {\ operatorname {c}}}} }\;.}

Powyższe równanie jest znormalizowaną postacią transmitancji. Wykres Bodego jest pokazany na rysunku 1(b) powyżej, a konstrukcja aproksymacji prostej jest omówiona w dalszej części.

Wykres wielkości

Wielkość (w decybelach ) powyższej funkcji przenoszenia (znormalizowana i przekonwertowana na postać częstotliwości kątowej), podana przez wyrażenie wzmocnienia w decybelach : ${\ Displaystyle A_ {\ operatorka {vdB}}}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A_ {\ operatorname {vdB}} i = 20 \ cdot \ log | H_ {\ operatorname {lp}} (\ operatorname {j} \ omega) | \ \ & = 20 \ cdot \log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\mathrm {c} }}}\right|}}\\&=-20 \cdot \log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\mathrm {c} }}}\right|\\&=-10\cdot \log \left( 1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}\right)\end{wyrównany}}}

Następnie wykreślony w funkcji częstotliwości wejściowej w skali logarytmicznej, może być aproksymowany dwoma liniami i tworzy asymptotyczny (przybliżony) wykres Bode'a transmitancji: ${\ Displaystyle \ omega}$

Pierwsza linia dla częstotliwości kątowych poniżej jest linią poziomą przy 0 dB, ponieważ przy niskich częstotliwościach składnik jest mały i można go pominąć, co powoduje, że równanie wzmocnienia w decybelach powyżej jest równe zeru, ${\ Displaystyle \ omega _ {\ operatorname {c}}}$ ${\omega \ponad {\omega_{\mathrm {c}}}}$
Druga linia dla częstotliwości kątowych powyżej jest linią o nachyleniu -20 dB na dekadę, ponieważ przy wysokich częstotliwościach termin dominuje, a wyrażenie wzmocnienia w decybelach powyżej upraszcza się, do którego jest linią prostą o nachyleniu na dekadę. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ operatorname {c}}}$ ${\omega \ponad {\omega_{\mathrm {c}}}}$ $-20\log {\omega \ponad {\omega_{\mathrm {c}}}}$ $-20\\mathrm {dB}$

Te dwie linie spotykają się na częstotliwości narożnej . Z wykresu widać, że dla częstotliwości znacznie poniżej częstotliwości narożnej obwód ma tłumienie 0 dB, co odpowiada wzmocnieniu pasma jednokrotnego, tj. amplituda wyjścia filtra jest równa amplitudzie wejścia. Częstotliwości powyżej częstotliwości narożnej są tłumione – im wyższa częstotliwość, tym większe tłumienie .

Wykres fazowy

Wykres fazowy Bodego uzyskuje się przez wykreślenie kąta fazowego transmitancji podanej przez

{\ Displaystyle \ arg H_ {\ operatorname {lp}} (\ operatorname {j} \ omega) = - \ tan ^ {-1} {\ omega \ ponad {\ omega _ {\ operatorname {c}}}}}

versus , gdzie i są odpowiednio wejściowymi i odciętymi częstotliwościami kątowymi. Dla częstotliwości wejściowych znacznie niższych niż narożnik stosunek jest mały i dlatego kąt fazowy jest bliski zeru. Wraz ze wzrostem stosunku wartość bezwzględna fazy wzrasta i staje się -45 stopni, gdy . Gdy stosunek wzrasta dla częstotliwości wejściowych znacznie większych niż częstotliwość narożna, kąt fazowy asymptotycznie zbliża się do -90 stopni. Skala częstotliwości dla wykresu fazowego jest logarytmiczna. ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ operatorname {c}}}$ ${\omega \ponad {\omega_{\mathrm {c}}}}$ ${\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {\ operatorname {c}}}$

Działka znormalizowana

Poziomą oś częstotliwości, zarówno na wykresie wielkości, jak i fazy, można zastąpić znormalizowanym (niewymiarowym) stosunkiem częstotliwości . W takim przypadku mówi się, że wykres jest znormalizowany i jednostki częstotliwości nie są już używane, ponieważ wszystkie częstotliwości wejściowe są teraz wyrażone jako wielokrotności częstotliwości odcięcia . ${\omega \ponad {\omega_{\mathrm {c}}}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ operatorname {c}}}$

Przykład z zerem i biegunem

Rysunki 2-5 dodatkowo ilustrują budowę wykresów Bodego. Ten przykład z biegunem i zerem pokazuje, jak używać superpozycji. Na początek komponenty są prezentowane osobno.

Rysunek 2 przedstawia wykres wielkości Bodego dla bieguna zerowego i dolnoprzepustowego i porównuje je z wykresami linii prostej Bodego. Wykresy linii prostej są poziome do położenia bieguna (zero), a następnie opadają (wzrastają) z prędkością 20 dB/dekadę. Drugi rysunek 3 robi to samo dla fazy. Wykresy fazowe są poziome do współczynnika częstotliwości wynoszącego dziesięć poniżej położenia bieguna (zero), a następnie opadają (wznoszą się) o 45°/dekadę, aż częstotliwość jest dziesięciokrotnie wyższa niż położenie bieguna (zero). Wykresy są następnie ponownie poziome przy wyższych częstotliwościach przy końcowej całkowitej zmianie fazy o 90°.

Rysunek 4 i rysunek 5 pokazują, jak odbywa się superpozycja (proste dodawanie) wykresu biegunowego i zerowego. Wykresy linii prostej Bodego są ponownie porównywane z dokładnymi wykresami. Zero zostało przesunięte na wyższą częstotliwość niż biegun, aby zrobić ciekawszy przykład. Zauważ na rysunku 4, że spadek słupa o 20 dB/dekadę jest zatrzymany przez wzrost zera o 20 dB/dekadę, co skutkuje poziomym wykresem wielkości dla częstotliwości powyżej położenia zerowego. Zauważ na rysunku 5 na wykresie fazowym, że przybliżenie w linii prostej jest dość przybliżone w regionie, w którym zarówno biegun, jak i zero wpływają na fazę. Zauważ również na rysunku 5, że zakres częstotliwości, w których zmienia się faza na wykresie linii prostej, jest ograniczony do częstotliwości dziesięciokrotnie powyżej i poniżej położenia bieguna (zero). Tam, gdzie obecne są zarówno faza bieguna, jak i zero, wykres fazowy w linii prostej jest poziomy, ponieważ spadek bieguna o 45°/dekadę jest zatrzymywany przez nakładający się wzrost zera o 45°/dekadę w ograniczonym zakresie częstotliwości gdzie obaj są aktywnymi współtwórcami fazy.

Przykład z biegunem i zerem
Rysunek 2: Wykres wielkości Bodego dla bieguna zerowego i dolnoprzepustowego; krzywe oznaczone jako „Bode” to prostoliniowe wykresy Bodego
Rysunek 3: Wykres fazowy Bode'a dla bieguna zerowego i dolnoprzepustowego; krzywe oznaczone jako „Bode” to prostoliniowe wykresy Bodego
Rysunek 4: Wykres wielkości Bode'a dla kombinacji biegun-zero; położenie zera jest dziesięciokrotnie wyższe niż na rysunkach 2 i 3; krzywe oznaczone jako „Bode” to prostoliniowe wykresy Bodego
Rysunek 5: Wykres fazowy Bode'a dla kombinacji biegun-zero; położenie zera jest dziesięciokrotnie wyższe niż na rysunkach 2 i 3; krzywe oznaczone jako „Bode” to prostoliniowe wykresy Bodego

Zysk i margines fazy

Wykresy Bodego służą do oceny stabilności wzmacniaczy z ujemnym sprzężeniem zwrotnym poprzez znalezienie marginesów wzmocnienia i fazy wzmacniacza. Pojęcie wzmocnienia i marginesu fazy opiera się na wyrażeniu wzmocnienia dla wzmacniacza z ujemnym sprzężeniem zwrotnym podanym przez

{\ Displaystyle A_ {\ operatorname {FB} } = {\ Frac {A_ {\ operatorname {OL} }}{1+ \ beta A_ {\ operatorname {OL}}}} \;,}

gdzie A _FB to wzmocnienie wzmacniacza ze sprzężeniem zwrotnym ( wzmocnienie w pętli zamkniętej ), β to współczynnik sprzężenia zwrotnego, a A _OL to wzmocnienie bez sprzężenia zwrotnego ( wzmocnienie w pętli otwartej ). Wzmocnienie A _OL jest złożoną funkcją częstotliwości, zarówno wielkości, jak i fazy. Badanie tej zależności pokazuje możliwość nieskończonego wzmocnienia (interpretowanego jako niestabilność), jeśli iloczyn β A _OL = −1. (Oznacza to, że wielkość β A _OL jest jednością, a jej faza wynosi -180°, tak zwane kryterium stabilności Barkhausena ). Wykresy Bode'a służą do określenia, jak blisko wzmacniacza jest spełnienie tego warunku.

Kluczem do tego określenia są dwie częstotliwości. Pierwszy z nich, oznaczony tutaj jako f ₁₈₀ , to częstotliwość, gdzie zysk otwartej pętli odwraca znak. Druga, oznaczona tutaj f _{0 dB} , to częstotliwość, przy której wielkość iloczynu | β A _OL | = 1 (w dB, wielkość 1 to 0 dB). Oznacza to, że częstotliwość f ₁₈₀ jest określona przez warunek:

{\ Displaystyle \ beta A_ {\ operatorname {OL}} \ lewo (f_ {180} \ prawej) = - | \ beta A_ {\ operatorname {OL}} \ lewo (f_ {180} \ prawej) | = - | \beta A_{\mathrm {OL} }|_{180}\;,}

gdzie pionowe kreski oznaczają wielkość liczby zespolonej (na przykład ), a częstotliwość f _{0 dB} jest określona przez warunek: ${\ Displaystyle | a + \ operatorname {j} b | = \ lewo [a ^ {2} + b ^ {2} \ prawej] ^ {\ Frac {1} {2}}}$

{\ Displaystyle | \ beta A_ {\ operatorname {OL}} \ lewo (f_ {\ operatorname {0dB}} \ prawej) | = 1 \;.}

Jedną z miar bliskości niestabilności jest margines zysku . Działka faza Bode lokalizuje częstotliwości, w których faza beta _OL tutaj oznaczony biegu -180 °, a częstotliwość f ₁₈₀ . Wykorzystując tę częstotliwość, wykres wielkości Bodego wyznacza wielkość β A _OL . Jeżeli |β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1, wzmacniacz jest niestabilny, jak wspomniano. Jeżeli |β A _OL | ₁₈₀ < 1, niestabilność nie występuje, a separacja w dB wielkości |β A _OL | ₁₈₀ z |β A _OL | = 1 nazywa się marżą zysku . Ponieważ wielkość jeden wynosi 0 dB, margines wzmocnienia jest po prostu jedną z równoważnych postaci: . ${\ Displaystyle 20 \ log _ {10} (| \ beta A_ {\ operatorname {OL}} | _ {180}) = 20 \ log _ {10} (| A_ {\ operatorname {OL}} |)-20 \log _{10}(\beta ^{-1})}$

Inną równoważną miarą bliskości niestabilności jest margines fazowy . Wykres amplitudy Bodego lokalizuje częstotliwość, przy której amplitudę |β A _OL | osiąga jedność, oznaczoną tutaj jako częstotliwość f _{0 dB} . Wykorzystując tę częstotliwość, wykres fazy Bodego wyznacza fazę β A _OL . Jeżeli faza β A _OL ( f _{0 dB} ) > −180°, warunek niestabilności nie może być spełniony przy żadnej częstotliwości (ponieważ jego wielkość będzie wynosić < 1, gdy f = f ₁₈₀ ), a odległość fazy przy f _{0 dB} w stopniach powyżej -180° nazywa się marginesem fazy .

Jeśli wystarczy proste tak lub nie w kwestii stabilności, wzmacniacz jest stabilny, jeśli f _{0 dB} < f ₁₈₀ . Kryterium to jest wystarczające do przewidywania stabilności tylko dla wzmacniaczy spełniających pewne ograniczenia dotyczące ich położenia biegunowego i zerowego ( systemy minimalnej fazy ). Chociaż te ograniczenia są zwykle spełnione, jeśli nie są, należy zastosować inną metodę, taką jak wykres Nyquista . Optymalne marginesy wzmocnienia i fazy można obliczyć za pomocą teorii interpolacji Nevanlinna-Pick .

Przykłady z wykorzystaniem wykresów Bodego

Rysunki 6 i 7 ilustrują zachowanie wzmocnienia i terminologię. Dla wzmacniacza trójbiegunowego, rysunek 6 porównuje wykres Bode'a dla wzmocnienia bez sprzężenia zwrotnego ( wzmocnienie w pętli otwartej ) A _OL ze wzmocnieniem ze sprzężeniem zwrotnym A _FB ( wzmocnienie w pętli zamkniętej ). Zobacz wzmacniacz z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, aby uzyskać więcej szczegółów.

W tym przykładzie, _OL = 100 dB przy niskich częstotliwościach, a 1 / β = 58 dB. Przy niskich częstotliwościach również A _FB ≈ 58 dB.

Ponieważ wzmocnienie A _OL w otwartej pętli jest wykreślane, a nie iloczyn β A _OL , warunek A _OL = 1 / β decyduje o f _{0 dB} . Wzmocnienie sprzężenia zwrotnego przy niskich częstotliwościach i dla dużego A _OL wynosi A _FB ≈ 1 / β (spójrz na wzór na wzmocnienie sprzężenia zwrotnego na początku tego rozdziału dla przypadku dużego wzmocnienia A _OL ), więc równoważny sposób znalezienia f _{0 dB} to szukanie miejsca, w którym wzmocnienie sprzężenia zwrotnego przecina się ze wzmocnieniem pętli otwartej. (Częstotliwość f _{0 dB} jest potrzebna później, aby znaleźć margines fazy.)

W pobliżu tego skrzyżowania dwóch wzmocnień przy f _{0 dB} kryteria Barkhausena są w tym przykładzie prawie spełnione, a wzmacniacz sprzężenia zwrotnego wykazuje ogromny szczyt wzmocnienia (byłaby nieskończoność, gdyby β A _OL = -1). Poza częstotliwością wzmocnienia jedności f _{0 dB} , wzmocnienie w otwartej pętli jest wystarczająco małe, aby A _FB ≈ A _OL (zbadaj wzór na początku tej sekcji dla przypadku małego A _OL ).

Figura 7 przedstawia odpowiednie porównanie fazy: faza wzmacniacza sprzężenia zwrotnego wynosi prawie zero na częstotliwości f ₁₈₀ , gdzie wzmocnienie w otwartej pętli ma fazę -180 ° C. W tym sąsiedztwie faza wzmacniacza sprzężenia zwrotnego gwałtownie spada w dół, stając się prawie taka sama jak faza wzmacniacza z otwartą pętlą. (Przypomnijmy, A _FB ≈ A _OL dla małego A _OL .)

Porównując punkty oznaczone na rys. 6 i rys. 7, widać, że częstotliwość wzmocnienia jedności f _{0 dB} i częstotliwość przeskoku fazowego f ₁₈₀ są w tym wzmacniaczu prawie równe, f ₁₈₀ ≈ f _{0 dB} ≈ 3,332 kHz, co oznacza margines zysku i margines fazy są prawie zerowe. Wzmacniacz jest stabilny na granicy.

Rysunki 8 i 9 ilustrują margines wzmocnienia i margines fazy dla różnych ilości sprzężenia zwrotnego β. Współczynnik sprzężenia zwrotnego jest wybierany mniejszy niż na rysunku 6 lub 7, przesuwając warunek | β A _OL | = 1 do niższej częstotliwości. W tym przykładzie 1 / β = 77 dB, a przy niskich częstotliwościach A _FB ≈ 77 dB również.

Rysunek 8 przedstawia wykres wzmocnienia. Na rysunku 8 przecięcie 1 / β i A _OL występuje przy f _{0 dB} = 1 kHz. Zauważ, że szczyt wzmocnienia A _{FB w} pobliżu f _{0 dB} prawie zniknął.

Rysunek 9 to wykres fazowy. Wykorzystując wartość f _{0 dB} = 1 kHz znalezioną powyżej z wykresu wielkości na rysunku 8, faza otwartej pętli przy f _{0 dB} wynosi -135°, co stanowi margines fazy 45° powyżej -180°.

Korzystając z rysunku 9, dla fazy -180° wartość f ₁₈₀ = 3,332 kHz (oczywiście ten sam wynik, co wcześniej). Wzmocnienie w pętli otwartej z rysunku 8 przy f ₁₈₀ wynosi 58 dB, a 1/β = 77 dB, więc margines wzmocnienia wynosi 19 dB.

Stabilność nie jest jedynym kryterium odpowiedzi wzmacniacza, aw wielu zastosowaniach bardziej rygorystycznym wymogiem niż stabilność jest dobra odpowiedź skokowa . Z reguły dobra odpowiedź skokowa wymaga marginesu fazy co najmniej 45°, a często zalecany jest margines powyżej 70°, szczególnie tam, gdzie problemem jest zmienność komponentów spowodowana tolerancjami produkcyjnymi. Zobacz także omówienie marginesu fazy w artykule odpowiedzi na krok .

Przykłady
Rysunek 6: Wzmocnienie wzmacniacza sprzężenia zwrotnego A _FB w dB i odpowiadającego mu wzmacniacza w pętli otwartej A _OL . Parametr 1/β = 58 dB, a przy niskich częstotliwościach również A _FB ≈ 58 dB. Margines wzmocnienia w tym wzmacniaczu jest bliski zeru, ponieważ | β A _OL | = 1 występuje przy prawie f = f _180° .
Rysunek 7: Faza wzmacniacza sprzężenia zwrotnego °A _FB w stopniach i odpowiedni wzmacniacz pętli otwartej °A _OL . Margines fazowy w tym wzmacniaczu jest bliski zeru, ponieważ przeskok fazowy występuje przy prawie jedności częstotliwości wzmocnienia f = f _{0 dB} gdzie | β A _OL | = 1.
Rysunek 8: Wzmocnienie wzmacniacza sprzężenia zwrotnego A _FB w dB i odpowiadającego mu wzmacniacza w pętli otwartej A _OL . W tym przykładzie 1 / β = 77 dB. Margines wzmocnienia w tym wzmacniaczu wynosi 19 dB.
Rysunek 9: Faza wzmacniacza sprzężenia zwrotnego A _FB w stopniach i odpowiedni wzmacniacz pętli otwartej A _OL . Margines fazy w tym wzmacniaczu wynosi 45°.

Ploter Bode

Rysunek 10: Wykres amplitudy filtra elektronicznego 10-go rzędu wykreślony przy użyciu aplikacji Bode Plotter.

Ploter Bodego to przyrząd elektroniczny przypominający oscyloskop , który tworzy diagram Bode'a lub wykres wzmocnienia napięcia obwodu lub przesunięcia fazowego w funkcji częstotliwości w systemie kontroli sprzężenia zwrotnego lub filtrze. Przykład tego pokazano na rysunku 10. Jest to niezwykle przydatne do analizy i testowania filtrów oraz stabilności systemów kontroli sprzężenia zwrotnego , poprzez pomiar częstotliwości narożnych (odcięcia) oraz marginesów wzmocnienia i fazy.

Jest to identyczne z funkcją wykonywaną przez wektorowy analizator sieci , ale analizator sieci jest zwykle używany przy znacznie wyższych częstotliwościach.

W celach edukacyjnych/badawczych wykreślanie diagramów Bode'a dla danych funkcji transferu ułatwia lepsze zrozumienie i szybsze uzyskiwanie wyników (patrz linki zewnętrzne).

Powiązane działki

Dwa powiązane wykresy, które wyświetlają te same dane w różnych układach współrzędnych, to wykres Nyquista i wykres Nicholsa . Są to wykresy parametryczne , z częstotliwością jako wejściem oraz wielkością i fazą odpowiedzi częstotliwościowej jako wyjściem. Wykres Nyquista wyświetla je we współrzędnych biegunowych , z odwzorowaniem wielkości na promień i fazę na argument (kąt). Wykres Nicholsa wyświetla je we współrzędnych prostokątnych w skali logarytmicznej .

Languages

In other projects