Twierdzenie Bohra-Van Leeuwena - Bohr–Van Leeuwen theorem

Bohr-Van Leeuwen twierdzenie mówi, że kiedy mechaniki statystycznej i mechaniki klasycznej są stosowane konsekwentnie The średnia termiczny z namagnesowania jest zawsze zero. To sprawia, że ​​magnetyzm w ciałach stałych jest wyłącznie efektem mechaniki kwantowej i oznacza, że ​​fizyka klasyczna nie może wyjaśnić paramagnetyzmu , diamagnetyzmu i ferromagnetyzmu . Niezdolność fizyki klasycznej do wyjaśnienia tryboelektryczności wynika również z twierdzenia Bohra-Van Leeuwena.

Historia

To, co jest dziś znane jako twierdzenie Bohra-Van Leeuwena, zostało odkryte przez Nielsa Bohra w 1911 w jego rozprawie doktorskiej, a później zostało ponownie odkryte przez Hendrikę Johannę van Leeuwen w jej pracy doktorskiej w 1919. W 1932 Van Vleck sformalizował i rozszerzył początkowe twierdzenie Bohra w książce o podatnościach elektrycznych i magnetycznych.

Znaczenie tego odkrycia polega na tym, że fizyka klasyczna nie dopuszcza takich rzeczy jak paramagnetyzm , diamagnetyzm i ferromagnetyzm, a zatem fizyka kwantowa jest potrzebna do wyjaśnienia zdarzeń magnetycznych. Ten wynik, „być może najbardziej deflacyjna publikacja wszechczasów”, mógł przyczynić się do opracowania przez Bohra quasi-klasycznej teorii atomu wodoru w 1913 roku.

Dowód

Mechanika statystyczna
Termodynamika Teoria kinetyczna
Statystyki cząstek Twierdzenie o statystyce spinowej Identyczne cząstki Maxwell-Boltzmann Bosego-Einsteina Fermi-Dirac Parastatystyka Statystyki Anyonic Statystyki warkoczy
Zespoły termodynamiczne NVE Microcanonical Kanoniczny NVT µVT Wielki kanoniczny NPH izoentalpowo-izobaryczny NPT izotermiczny–izobaryczny
Modele Debye Einstein Śpiewam Potts
Potencjały Energia wewnętrzna Entalpia Energia swobodna Helmholtza Energia swobodna Gibbsa Wielki potencjał / Darmowa energia Landau
Naukowcy Maxwell Boltzmanna Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tołman Debye Fermi Bose
v T mi

Intuicyjny dowód

Twierdzenie Bohra-Van Leeuwena dotyczy systemu izolowanego, który nie może się obracać. Jeśli izolowany układ może się obracać w odpowiedzi na przyłożone z zewnątrz pole magnetyczne, to twierdzenie to nie ma zastosowania. Jeżeli dodatkowo istnieje tylko jeden stan równowagi termicznej w danej temperaturze i polu, a systemowi będzie czas na powrót do równowagi po przyłożeniu pola, wówczas namagnesowanie nie będzie.

Prawdopodobieństwo, że system będzie w danym stanie ruchu jest przewidywane przez statystyki Maxwella-Boltzmanna jako proporcjonalne do , gdzie jest energią układu, jest stałą Boltzmanna i jest temperaturą bezwzględną . Energia ta jest równa sumie energii kinetycznej ( dla cząstki o masie i prędkości ) i energii potencjalnej . ${\ Displaystyle \ exp (-U / k_ {\ tekst {B}} T)}$${\ Displaystyle U}$${\displaystyle k_{\tekst{B}}}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle mv ^ {2}/2}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle v}$

Pole magnetyczne nie wpływa na energię potencjalną. Siła Lorentza na cząstce z ładunkiem i prędkością wynosi${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ lewo (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B} \ po prawej)}$

gdzie jest pole elektryczne i jest indukcją magnetyczną . Tempo wykonanej pracy jest i nie zależy od . Dlatego energia nie zależy od pola magnetycznego, więc rozkład ruchów nie zależy od pola magnetycznego. ${\ Displaystyle \ mathbf {E}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$

W polu zerowym nie będzie ruchu wypadkowego naładowanych cząstek, ponieważ układ nie jest w stanie się obracać. Będzie zatem średni moment magnetyczny równy zero. Ponieważ rozkład ruchów nie zależy od pola magnetycznego, moment w równowadze termicznej pozostaje zerowy w każdym polu magnetycznym.

Bardziej formalny dowód

Aby zmniejszyć złożoność dowodu, zostanie użyty układ z elektronami. ${\ Displaystyle N}$

Jest to właściwe, ponieważ większość magnetyzmu w ciele stałym jest przenoszona przez elektrony, a dowód można łatwo uogólnić na więcej niż jeden rodzaj naładowanej cząstki.

Każdy elektron ma ujemny ładunek i masę . ${\displaystyle e}$${\displaystyle m_{\tekst{e}}}$

Jeśli jego położenie i prędkość to , wytwarza prąd i moment magnetyczny${\displaystyle \mathbf {r}}$${\displaystyle \mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ Frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ razy \ mathbf {j} = {\ Frac {e} {2 c}} \ mathbf {r} \ razy \mathbf {v} .}$

Z powyższego równania wynika, że ​​moment magnetyczny jest liniową funkcją współrzędnych prędkości, więc całkowity moment magnetyczny w danym kierunku musi być liniową funkcją postaci

${\ Displaystyle \ mu = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ kropka {\ mathbf {r}}} _ {i}}$

gdzie kropka reprezentuje pochodną po czasie i są współczynnikami wektorowymi zależnymi od współrzędnych położenia . ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$${\ Displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}$

Statystyka Maxwella-Boltzmanna daje prawdopodobieństwo, że n-ta cząstka ma pęd i współrzędną jako${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {n}}$

${\ Displaystyle dP \ propto \ exp {\ lewo [-{\ Frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},}$

gdzie jest hamiltonian , całkowita energia układu. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$

Średnia termiczna dowolnej funkcji tych uogólnionych współrzędnych wynosi zatem${\ Displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}$

${\ Displaystyle \ langle f \ rangle = {\ Frac {\ int FDP} {\ int dP}}.}$

W obecności pola magnetycznego

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ Frac {1} {2 m_ {\ tekst {e}}}} \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ lewo (\ mathbf {p} _ { i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),}$

gdzie jest magnetycznym potencjałem wektorowym i jest elektrycznym potencjałem skalarnym . Dla każdej cząstki składowe pędu i położenia są powiązane równaniami mechaniki hamiltonowskiej :${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}$${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {q} )}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ kropka {\ mathbf {p}}} _ {i} i = - \ częściowy {\ mathcal {H}} / \ częściowy \ mathbf {r} _ {i} \ \ {\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=\częściowy {\mathcal {H}}/\częściowy \mathbf {p} _{i}.\end{wyrównany}}}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {R}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i} - {\ Frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}, }$

więc moment jest liniową funkcją pędu . ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Moment uśredniony termicznie,

${\ Displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ Frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}}}$

jest sumą wyrazów proporcjonalnych do całek postaci

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (\ mathbf {p} _ {i} - {\ Frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}) DP}$

gdzie reprezentuje jedną ze współrzędnych momentu. ${\displaystyle p}$

Całka jest nieparzystą funkcją , więc znika. ${\displaystyle p}$

Dlatego . ${\ Displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}$

Aplikacje

Twierdzenie Bohra-Van Leeuwena jest przydatne w kilku zastosowaniach, w tym w fizyce plazmy : „Wszystkie te odniesienia opierają swoją dyskusję na temat twierdzenia Bohra-Van Leeuwena na modelu fizycznym Nielsa Bohra, w którym idealnie odbijające ściany są niezbędne, aby zapewnić prądy, które anulują sieć wkład z wnętrza elementu plazmy i skutkuje zerowym diamagnetyzmem netto dla elementu plazmy.

Diamagnetyzm o czysto klasycznym charakterze występuje w plazmach, ale jest konsekwencją nierównowagi termicznej, takiej jak gradient gęstości plazmy. Elektromechanika i elektrotechnika również widzą praktyczne korzyści z twierdzenia Bohra-Van Leeuwena.

Zobacz też

• Lista artykułów dotyczących plazmy (fizyki)

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Początek XX wieku: teoria względności i mechanika kwantowa wreszcie przynoszą zrozumienie