Równoważność (geometria) - Equipollence (geometry)

W geometrii euklidesowej , equipollence jest binarny zależność pomiędzy skierowanych odcinków . Odcinek AB od punktu A do punktu B ma kierunek przeciwny do odcinka BA . Dwa skierowane segmenty linii są równoważne, gdy mają tę samą długość i kierunek.

Właściwość równoległoboku

Ostateczną cechą przestrzeni euklidesowej jest własność równoległoboku wektorów: Jeśli dwa segmenty są równowartościowe, to tworzą dwa boki równoległoboku :

Jeżeli dany wektor posiada między a i b , c i d , to wektor, który posiada między i C jest taki sam jak ten, który posiada między b i d .

—  Bertrand Russell , The Principles of Mathematics , strona 432

Historia

Koncepcję odcinków liniowych równoważnych rozwinął Giusto Bellavitis w 1835 roku. Następnie termin wektor został przyjęty dla klasy odcinków liniowych równoważnych. Wykorzystanie przez Bellavitis idei relacji do porównywania różnych, ale podobnych obiektów stało się powszechną techniką matematyczną, szczególnie w przypadku stosowania relacji równoważności . Bellavitis użył specjalnego zapisu dla równoważności segmentów AB i CD :

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

Poniższe fragmenty, przetłumaczone przez Michaela J. Crowe, pokazują oczekiwanie Bellavitis na koncepcje wektorów :

Równoważność utrzymuje się, gdy ktoś zastępuje zawarte w nich linie innymi liniami, które są odpowiednio do nich równoważne, bez względu na to, jak mogą one znajdować się w przestrzeni. Z tego można zrozumieć, w jaki sposób można zsumować dowolną liczbę i dowolny rodzaj linii , i że niezależnie od kolejności, w jakiej te linie są brane, otrzymamy tę samą sumę ekwiwalentną...

W ekwiwalencjach, podobnie jak w równaniach, można przenieść linię z jednej strony na drugą pod warunkiem zmiany znaku...

Zatem przeciwnie skierowane segmenty są względem siebie negatywami: ${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

Równoważność, gdzie n oznacza liczbę dodatnią, wskazuje, że AB jest równoległe i ma ten sam kierunek co CD , a ich długości mają zależność wyrażoną przez AB = n.CD .${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$

Odcinek od A do B jest wektorem związanym , podczas gdy klasa odcinków równoważnych z nim jest wektorem swobodnym , w żargonie wektorów euklidesowych .

Średnice sprzężone

Wśród historycznych zastosowań ekwiolencji Bellavitis i innych omówione zostaną sprzężone średnice elips oraz hiperbole:

a) Sprzężona średnica elips

Bellavitis (1854) zdefiniował ekwiolencję OM elipsy i odpowiednią styczną MT jako

(1a) ${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} & \ operatorname {OM} \ bumpeq x \ operatorname {OA} + Y \ operatorname {OB} \\ & \ operatorname {MT} \ bumpeq -y \ operatorname {OA} + x\ mathrm {OB} \\&\left[x^{2}+y^{2}=1;\ x=\cos t,\ y=\sin t\right]\\\Rightarrow &\mathrm {OM} \bumpeq \cos t\cdot \mathrm {OA} +\sin t\cdot \mathrm {OB} \end{macierz}}}$

gdzie OA i OB są sprzężonymi półśrednicami elipsy, które odniósł do dwóch innych sprzężonych półśrednic OC i OD następującym związkiem i jego odwrotnością:

${\ Displaystyle {\ zacząć macierz} {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {OC} i \ bumpeq c \ operatorname {OA} + d \ operatorname {OB} i \ qquad & & \ operatorname {OA} & \ bumpeq c \ mathrm {OC} -d\mathrm {OD} \\\mathrm {OD} &\bumpeq -d\mathrm {OA} +c\mathrm {OB} &&&\mathrm {OB} &\bumpeq d\mathrm {OC} +c\mathrm {OD} \end{wyrównany}}\\\left[c^{2}+d^{2}=1\right]\end{macierz}}}$

tworzenie niezmiennika

${\ Displaystyle (\ operatorname {OC}) ^ {2} + (\ operatorname {OD}) ^ {2} \ bumpeq (\ operatorname {OA}) ^ {2} + (\ operatorname {OB}) ^ {2 }}$.

Podstawiając odwrotność do (1a), pokazał, że OM zachowuje swoją formę

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} \ operatorname {OM} \ bumpeq (cx + dy) \ operatorname {OC} + (cy-dx) \ operatorname {OD} \ \ \ lewo [(cx + dy) ^ {2 }+(cy-dx)^{2}=1\right]\end{macierz}}}$

b) Sprzężona średnica hiperboli

We francuskim tłumaczeniu artykułu Bellavitis z 1854 r. Charles-Ange Laisant (1874) dodał rozdział, w którym zaadaptował powyższą analizę do hiperboli . Równoważenie OM i jego styczna MT hiperboli są zdefiniowane przez

(1b) ${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} i \ operatorem {OM} \ bumpeq x \ operatorem {OA} + r \ operatorem {OB} \\ & \ operatorem {MT} \ bumpeq r \ operatorem {OA} + x \ operatorem {OB} \\&\left[x^{2}-y^{2}=1;\ x=\cosh t,\ y=\sinh t\right]\\\Rightarrow &\mathrm {OM} \ bumpeq \cosh t\cdot \mathrm {OA} +\sinh t\cdot \mathrm {OB} \end{macierz}}}$

Tutaj OA i OB są sprzężonymi półśrednicami hiperboli, przy czym OB jest wyimaginowany, z których obie odnosił się do dwóch innych sprzężonych półśrednic OC i OD przez następującą transformację i jej odwrotność:

${\ Displaystyle {\ zacząć macierz} {\ zacząć {wyrównany} \ operatorname {OC} i \ bumpeq c \ operatorname {OA} + d \ operatorname {OB} i \ qquad & & \ operatorname {OA} & \ bumpeq c \ mathrm {OC} -d\mathrm {OD} \\\mathrm {OD} &\bumpeq d\mathrm {OA} +c\mathrm {OB} &&&\mathrm {OB} &\bumpeq -d\mathrm {OC} +c\mathrm {OD} \end{wyrównany}}\\\left[c^{2}-d^{2}=1\right]\end{macierz}}}$

tworzenie niezmiennej relacji

${\ Displaystyle (\ operatorname {OC}) ^ {2} - (\ operatorname {OD}) ^ {2} \ bumpeq (\ operatorname {OA}) ^ {2} - (\ operatorname {OB}) ^ {2 }}$.

Zastępując (1b), pokazał, że OM zachowuje swoją formę

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} \ operatorname {OM} \ bumpeq (cx-dy) \ operatorname {OC} + (cy-dx) \ operatorname {OD} \ \ \ lewo [(cx-dy) ^ {2 }-(cy-dx)^{2}=1\right]\end{macierz}}}$

Z nowoczesnej perspektywy transformację Laisanta między dwiema parami sprzężonych półśrednic można interpretować jako wzrosty Lorentza w zakresie rotacji hiperbolicznych, a także ich wizualną demonstrację w postaci diagramów Minkowskiego .

Rozbudowa

Równoważność geometryczna jest również używana na sferze:

Aby docenić metodę Hamiltona , przypomnijmy najpierw znacznie prostszy przypadek abelowej grupy przekładów w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej. Każda translacja jest reprezentowana jako wektor w przestrzeni, tylko kierunek i wielkość są istotne, a lokalizacja nieistotna. Złożenie dwóch translacji określa zasada równoległoboku od głowy do ogona dodawania wektorów; a przyjęcie odwrotności oznacza odwrócenie kierunku. W teorii zwojów Hamiltona mamy uogólnienie takiego obrazu z abelowej grupy translacji na nieabelową SU(2) . Zamiast wektorów w przestrzeni mamy do czynienia z skierowanymi łukami wielkich okręgów o długości < π na sferze jednostkowej S ² w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Dwa takie łuki są uważane za równoważne, jeśli przesuwając jeden po wielkim okręgu, można sprawić, by pokrywał się z drugim.

Na wielkim okręgu kuli dwa skierowane łuki kołowe są równoważne, gdy zgadzają się co do kierunku i długości łuku. Klasa równoważności takich łuków jest związana z versorem kwaternionów

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a}$gdzie a jest długością łuku, a r określa płaszczyznę wielkiego koła przez prostopadłość.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Giusto Bellavitis (1835) „Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze)”, Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244-59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze , link z Google Books .

• Charles-Ange Laisant (1874): francuskie tłumaczenie z dodatkami Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des Equipolences , link z Google Books .

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni WR Hamilton i jej Relazione Col Metodo delle Equipollenze , link z HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence , Gauthier-Villars, link z Historycznego zbioru matematycznego Uniwersytetu Michigan .
• Lena L. Zerwanie (1930) Teoria ekwipolencji; Metoda geometrii analitycznej Sig. Bellavitis , link z HathiTrust.

Zewnętrzne linki

• Aksjomatyczna definicja ekwiolencji