Aksjomaty Wightmana - Wightman axioms

Kwantowa teoria pola
Diagram Feynmana
Historia
tło Teoria pola Elektromagnetyzm Słaba siła Duża siła Mechanika kwantowa Szczególna teoria względności Ogólna teoria względności Teoria mierników
Symetrie Symetria w mechanice kwantowej C-symetria P-symetria Symetria T. Symetria translacji przestrzeni Symetria tłumaczenia czasu Symetria rotacyjna Symetria Lorentza Symetria Poincaré Symetria mierników Wyraźne złamanie symetrii Spontaniczne złamanie symetrii Teoria Yanga-Millsa Brak opłaty Ładunek topologiczny
Przybory Anomalia Przejście Efektywna teoria pola Wartość oczekiwana Pola duchów Duchy Faddeev – Popov Diagram Feynmana Teoria cechowania kratownicowego Formuła redukcji LSZ Funkcja partycji Propagator Kwantyzacja Regularyzacja Renormalizacja Stan próżni Twierdzenie Wicka Aksjomaty Wightmana Parametryzacja Feynmana
Równania Równanie Diraca Równanie Kleina – Gordona Równania Proca Równanie Wheelera – DeWitta Równania Bargmanna – Wignera Równanie Joosa – Weinberga Równanie Weyla
Model standardowy Stan próżni kwantowej Dynamika kwantowa Termodynamika kwantowa Elektrodynamika kwantowa Interakcja elektrosłaba Chromodynamika kwantowa Mechanizm Higgsa Wirtualna cząstka
Niekompletne teorie Przyczynowa dynamiczna triangulacja Przyczynowe systemy fermionów Zestawy przyczynowe Konformalna teoria pola Morze Diraca Teoria zaburzeń Dwuwymiarowa konformalna teoria pola Kwantowa teoria pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni Termiczna kwantowa teoria pola Topologiczna kwantowa teoria pola Geometria kwantowa Półklasyczna grawitacja Spin pianka Teoria strun Teoria superstrun Teoria M. Supersymetria Supergrawitacja Technicolor Teoria wszystkiego Kanoniczna grawitacja kwantowa Grawitacja kwantowa Pętla kwantowej grawitacji Kosmologia kwantowa pętli Teoria zmiennych ukrytych Teoria upadku obiektywnego
Naukowcy Adler Anderson Być Bogoliubov Coleman Callan DeWitt Dirac Dyson Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Złoty kamień obrzydliwy Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordania Lando Zawietrzny Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin
v t mi

W fizyce , to Wightman aksjomaty (zwane również aksjomaty garding-Wightman ), nazwany Lars garding i Arthur Wightman , są próbą matematycznie ścisłego formułowania teorii pola kwantowego . Arthur Wightman sformułował aksjomaty we wczesnych latach pięćdziesiątych, ale zostały one opublikowane po raz pierwszy dopiero w 1964 r., Kiedy teoria rozpraszania Haaga-Ruelle'a potwierdziła ich znaczenie.

Aksjomaty istnieją w kontekście konstruktywnej kwantowej teorii pola i mają stanowić podstawę do rygorystycznego traktowania pól kwantowych oraz ścisłą podstawę stosowanych metod perturbacyjnych. Jednym z problemów milenijnych jest uświadomienie sobie aksjomatów Wightmana w przypadku pól Yanga-Millsa .

Racjonalne uzasadnienie

Jedną z podstawowych idei aksjomatów Wightmana jest to, że istnieje przestrzeń Hilberta, w której grupa Poincarégo działa jednolicie . W ten sposób realizowane są pojęcia energii, pędu, pędu i środka masy (odpowiadające wzmocnieniom).

Istnieje również założenie stabilności, które ogranicza widmo czteropędu do dodatniego stożka światła (i jego granicy). Jednak to nie wystarczy, aby zaimplementować lokalność . W tym celu aksjomaty Wightmana mają zależne od położenia operatory zwane polami kwantowymi, które tworzą kowariantne reprezentacje grupy Poincarégo .

Ponieważ kwantowa teoria pola boryka się z problemami związanymi z ultrafioletem, wartość pola w punkcie nie jest dobrze zdefiniowana. Aby obejść ten problem, aksjomaty Wightmana wprowadzają ideę rozmazania funkcji testowej, aby ujarzmić rozbieżności UV, które pojawiają się nawet w teorii pola swobodnego . Ponieważ aksjomaty dotyczą operatorów nieograniczonych , domeny operatorów muszą zostać określone.

Aksjomaty Wightmana ograniczają przyczynową strukturę teorii, narzucając przemienność lub antykomutatywność między podobnymi do kosmosu rozdzielonymi polami.

Postulują również istnienie niezmiennego stanu Poincarégo zwanego próżnią i żądają, aby był on wyjątkowy. Ponadto aksjomaty zakładają, że próżnia jest „cykliczna”, to znaczy, że zbiór wszystkich wektorów, który można otrzymać, oceniając w stanie próżni elementy algebry wielomianu generowane przez operatory pola rozmazanego, jest gęstym podzbiorem całego Hilberta przestrzeń.

Wreszcie istnieje prymitywne ograniczenie przyczynowości, które stwierdza, że ​​każdy wielomian w polach rozmazanych może być dowolnie dokładnie przybliżony (tj. Jest to granica operatorów w słabej topologii ) przez wielomiany w polach rozmazanych nad funkcjami testowymi z obsługą w zestawie otwartym w Minkowskim przestrzeń, której przyczynowym zamknięciem jest cała przestrzeń Minkowskiego.

Aksjomaty

W0 (założenia relatywistycznej mechaniki kwantowej)

Mechanika kwantowa jest opisana według von Neumanna ; w szczególności czyste stany są nadawane przez promienie, tj. jednowymiarowe podprzestrzenie jakiejś dającej się oddzielić, złożonej przestrzeni Hilberta . Poniżej iloczyn skalarny wektorów przestrzeni Hilberta Ψ i Φ będzie oznaczony przez , a norma Ψ będzie oznaczona przez . Prawdopodobieństwo przejścia między dwoma czystymi stanami [Ψ] i [Φ] można zdefiniować za pomocą niezerowych reprezentantów wektorów Ψ i Φ jako ${\ Displaystyle \ langle \ Psi, \ Phi \ rangle}$${\ Displaystyle \ lVert \ Psi \ rVert}$

${\ Displaystyle P ([\ Psi], [\ Phi]) = {\ Frac {| \ langle \ Psi, \ Phi \ rangle | ^ {2}} {\ lVert \ Psi \ rVert ^ {2} \ lVert \ Phi \ rVert ^ {2}}}}$

i jest niezależne od tego, które reprezentatywne wektory, Ψ i Φ, zostały wybrane.

Teorię symetrii opisuje Wigner. Ma to na celu wykorzystanie udanego opisu relatywistycznych cząstek autorstwa Eugene Paula Wignera w jego słynnym artykule z 1939 roku. Zobacz klasyfikację Wignera . Wigner postulował, aby prawdopodobieństwo przejścia między stanami było takie samo dla wszystkich obserwatorów związanych z transformacją szczególnej teorii względności . Mówiąc bardziej ogólnie, uważał, że stwierdzenie, że teoria jest niezmienna w grupie G, jest wyrażone w postaci niezmienności prawdopodobieństwa przejścia między dowolnymi dwoma promieniami. W oświadczeniu postuluje się, że grupa działa na zbiorze promieni, czyli na przestrzeni rzutowej. Niech ( a , L ) będzie elementem grupy Poincaré (niejednorodnej grupy Lorentza). Zatem a jest prawdziwym czterowektorem Lorentza reprezentującym zmianę pochodzenia czasoprzestrzeni x ↦ x - a gdzie x jest w przestrzeni Minkowskiego M ^4, a L jest transformacją Lorentza , którą można zdefiniować jako liniową transformację cztero- wymiarowa czasoprzestrzeń, która zachowuje odległość Lorentza c²t² - x ⋅ x każdego wektora ( ct , x ). Wówczas teoria jest niezmienna w grupie Poincarégo, jeśli dla każdego promienia Ψ przestrzeni Hilberta i każdego elementu grupy ( a , L ) dany jest przekształcony promień Ψ ( a , L ), a prawdopodobieństwo przejścia pozostaje niezmienione przez transformację:

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ Psi (a, L), \ Phi (a, L) \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \ Psi, \ Phi \ prawo \ rangle}$

Twierdzenie Wignera mówi, że w tych warunkach transformacja w przestrzeni Hilberta jest operatorem liniowym lub antyliniowym (jeśli ponadto zachowują normę, to są operatorami unitarnymi lub antyjednostkowymi); operator symetrii w przestrzeni rzutowej promieni może zostać podniesiony do leżącej poniżej przestrzeni Hilberta. Robiąc to dla każdego elementu grupy ( a , L ), otrzymujemy rodzinę operatorów unitarnych lub antyjednostkowych U ( a , L ) w naszej przestrzeni Hilberta, tak że promień Ψ przekształcony przez ( a , L ) jest taki sam jak promień zawierający U ( a , L ) ψ. Jeśli ograniczymy uwagę do elementów grupy związanych z tożsamością, to przypadek antyunifikacyjny nie występuje.

Niech ( a , L ) i ( b , M ) będą dwoma transformacjami Poincarégo i oznaczmy ich produkt grupowy przez ( a , L ). ( B , M ); z fizycznej interpretacji widzimy, że promień zawierający U ( a , L ) [ U ( b , M ) ψ] musi (dla dowolnego psi) być promieniem zawierającym U (( a , L ). ( b , M )) ψ (asocjatywność operacji grupowej). Wracając z promieni do przestrzeni Hilberta, te dwa wektory mogą różnić się fazą (a nie normą, ponieważ wybieramy operatory unitarne), która może zależeć od dwóch elementów grupowych ( a , L ) i ( b , M ), tj. nie mamy reprezentacji grupy, ale raczej reprezentację rzutową . Fazy ​​tej nie zawsze można anulować przez ponowne zdefiniowanie każdego U (a), na przykład dla cząstek o spinie ½. Wigner pokazał, że najlepszym, jaki można dostać dla grupy Poincare, jest

${\ Displaystyle U (a, L) U (b, M) = \ pm U ((a, L). (b, M))}$

tj. faza jest wielokrotnością . W przypadku cząstek o spinie całkowitym (piony, fotony, grawitony ...) można usunąć znak + / - przez dalsze zmiany fazowe, ale w przypadku reprezentacji półparzystego spinu nie można, a znak zmienia się nieciągle w miarę ruchu dowolna oś pod kątem 2π. Możemy jednak skonstruować reprezentację obejmującej grupę grupy Poincare , zwanej niejednorodną SL (2, C ) ; ma elementy ( a , A ), gdzie jak poprzednio, a jest czterowektorem, ale teraz A jest złożoną macierzą 2 × 2 z wyznacznikiem jednostkowym. Oznaczamy operatory unitarne, które otrzymujemy za pomocą U ( a , A ), a one dają nam ciągłą, jednolitą i prawdziwą reprezentację, ponieważ zbiór U ( a , A ) jest zgodny z prawem grup niejednorodnego SL (2, C ) . ${\ displaystyle \ pi}$

Ze względu na zmianę znaku przy rotacji o 2π, operatory hermitowskie przekształcające się jako spin 1/2, 3/2 itd., Nie mogą być obserwowalne . Ten pojawia się jako univalence reguły nadwyboru reguły : fazy pomiędzy stanami wirowania 0, 1, 2, itd. Oraz te spin 1/2, 3/2 itd nie są widoczne. Ta reguła jest dodatkiem do nieobserwowalności ogólnej fazy wektora stanu. Odnośnie obserwabli i stanów | v ), otrzymujemy reprezentację U ( a , L ) grupy Poincarégo , na podprzestrzeniach spinowych liczb całkowitych, oraz U ( a , A ) niejednorodnej SL (2, C ) na podprzestrzeni półparzystej liczby całkowitej, która działa zgodnie z następująca interpretacja:

Zespół odpowiadający U ( , L ) | v ) należy interpretować w odniesieniu do współrzędnych dokładnie w taki sam sposób, jak zespół odpowiadający | v ) jest interpretowana w odniesieniu do współrzędnych x ; i podobnie dla nieparzystych podprzestrzeni. ${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = L ^ {- 1} (xa)}$

Grupa tłumaczeń czasoprzestrzennych jest przemienna , więc operatory mogą być jednocześnie diagonalne. Wytwórcy tych grup daje nam cztery podmioty samosprzężonego , , j = 1, 2, 3, które przekształcić w ramach jednorodnej grupy jako czterowektor, zwany energii pędu czterowektor. ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {j}}$

Druga część zerowego aksjomatu Wightmana mówi, że reprezentacja U ( a , A ) spełnia warunek widmowy - że równoczesne widmo energii-pędu jest zawarte w stożku przednim:

${\ displaystyle P_ {0} \ geq 0}$ ............... ${\ Displaystyle P_ {0} ^ {2} -P_ {j} P_ {j} \ geq 0.}$

Trzecią częścią aksjomatu jest to, że istnieje wyjątkowy stan, reprezentowany przez promień w przestrzeni Hilberta, który jest niezmienny pod działaniem grupy Poincarégo. Nazywa się to próżnią.

W1 (założenia dotyczące dziedziny i ciągłości pola)

Dla każdej funkcji testowej f istnieje zbiór operatorów, które wraz z ich połączeniami są zdefiniowane na gęstym podzbiorze przestrzeni stanu Hilberta, zawierającej próżnię. Pola A są rozkładami temperowanymi o wartościach operatora . Przestrzeń stanów Hilberta jest rozpięta przez wielomiany pola działające na próżnię (warunek cykliczności). ${\ Displaystyle A_ {1} (f), \ ldots, A_ {n} (f)}$

W2 (prawo transformacji pola)

Pola są kowariantne pod działaniem grupy Poincarégo i przekształcają się zgodnie z pewną reprezentacją S grupy Lorentza lub SL (2, C ), jeśli spin nie jest liczbą całkowitą:

${\ Displaystyle U (a, L) ^ {\ sztylet} A (x) U (a, L) = S (L) A (L ^ {- 1} (xa)).}$

W3 (lokalna przemienność lub mikroskopowa przyczynowość)

Jeśli podpory dwa pola są przestrzennie rozdzielone, to pola albo dojazdy lub anticommute.

Cykliczność próżni i jej niepowtarzalność są czasami rozważane oddzielnie. Ponadto, nie jest własnością asymptotycznej kompletności - to Hilberta przestrzeń stanów jest trwała przez asymptotyczne przestrzeni i występujący w kolizji macierzy S . Inną ważną właściwością teorii pola jest przerwa masowa, która nie jest wymagana przez aksjomaty - widmo energii i pędu ma lukę między zerem a pewną liczbą dodatnią. ${\ Displaystyle H ^ {\ tekst {w}}}$${\ displaystyle H ^ {\ text {out}}}$

Konsekwencje aksjomatów

Z tych aksjomatów wynikają pewne ogólne twierdzenia:

• Twierdzenie CPT - istnieje ogólna symetria przy zmianie parzystości, odwróceniu cząstka-antycząstka i odwróceniu czasu (jak się okazuje, żadna z tych symetrii sama nie istnieje w przyrodzie)
• Połączenie między spinem a statystyką - pola, które przekształcają się zgodnie ze spinu półcałkowitego przeciwkomutem, podczas gdy te z całkowitym spinem komutującym (aksjomat W3) Istnieją techniczne drobne szczegóły tego twierdzenia. Można to załatać za pomocą transformacji Kleina . Zobacz parastatistics . Zobacz także duchy w BRST .
• Niemożność komunikacji ponadświetlnej - jeśli dwóch obserwatorów jest od siebie podobnych do siebie, to działania jednego obserwatora (w tym zarówno pomiary, jak i zmiany w hamiltonianie) nie wpływają na statystyki pomiarowe drugiego obserwatora.

Arthur Wightman wykazał, że rozkłady wartości oczekiwanej próżni , spełniające pewien zestaw właściwości wynikających z aksjomatów, są wystarczające do zrekonstruowania teorii pola - twierdzenie o rekonstrukcji Wightmana , w tym istnienie stanu próżni ; nie znalazł warunku na wartości oczekiwane próżni gwarantujące wyjątkowość próżni; warunek ten, własność klastra , odkryli później Res Jost , Klaus Hepp , David Ruelle i Othmar Steinmann .

Jeśli teoria ma lukę masową , tj. Nie ma mas między 0 a pewną stałą większą od zera, to rozkłady oczekiwań próżni są asymptotycznie niezależne w odległych regionach.

Twierdzenie Haaga mówi, że nie może istnieć żaden obraz interakcji - że nie możemy użyć przestrzeni Focka cząstek nie oddziałujących jako przestrzeni Hilberta - w tym sensie, że zidentyfikowalibyśmy przestrzenie Hilberta poprzez wielomiany pola działające w określonym czasie na próżnię.

Związek z innymi ramami i koncepcjami w kwantowej teorii pola

Ramy Wightmana nie obejmują nieskończonych stanów energii, takich jak skończone stany temperatury.

W przeciwieństwie do lokalnej kwantowej teorii pola , aksjomaty Wightmana ograniczają strukturę przyczynową teorii wyraźnie, narzucając przemienność lub antykomutatywność między podobnymi do kosmosu rozdzielonymi polami, zamiast wyprowadzać strukturę przyczynową jako twierdzenie. Jeśli weźmie się pod uwagę uogólnienie aksjomatów Wightmana na wymiary inne niż 4, ten postulat (anty) przemienności wyklucza jakiekolwiek statystyki i statystyki warkocza w niższych wymiarach.

Postulat Wightmana o wyjątkowym stanie próżni niekoniecznie sprawia, że ​​aksjomaty Wightmana są nieodpowiednie w przypadku spontanicznego łamania symetrii, ponieważ zawsze możemy ograniczyć się do sektora superselekcji .

Cykliczność próżni, której wymagają aksjomaty Wightmana, oznacza, że ​​opisują one jedynie sektor superselekcji próżni; znowu nie jest to wielka utrata ogólności. Jednak założenie to pomija skończone stany energetyczne, takie jak solitony, których nie można wygenerować przez wielomian pól rozmazanych przez funkcje testowe, ponieważ soliton, przynajmniej z teoretycznej perspektywy pola, jest strukturą globalną obejmującą topologiczne warunki brzegowe w nieskończoności.

Ramy Wightmana nie obejmują efektywnych teorii pola, ponieważ nie ma ograniczeń co do tego, jak małe może być wsparcie funkcji testowej. To znaczy, nie ma skali odcięcia .

Ramy Wightmana również nie obejmują teorii cechowania . Nawet w teoriach cechowania abelowego konwencjonalne podejścia rozpoczynają się od „przestrzeni Hilberta” z nieokreśloną normą (stąd nie jest to prawdziwa przestrzeń Hilberta, która wymaga normy dodatnio-określonej, ale fizycy mimo to nazywają ją przestrzenią Hilberta) oraz stanami fizycznymi i fizycznymi operatorzy należą do kohomologii . To oczywiście nie jest nigdzie uwzględnione we frameworku Wightmana. (Jednak, jak wykazali Schwinger, Christ i Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal itp., Kanoniczna kwantyzacja teorii cechowania w mierniku Coulomba jest możliwa w przypadku zwykłej przestrzeni Hilberta i może to być sposób, aby wpaść w zakres stosowalność systematyki aksjomatów.)

Aksjomaty Wightmana można przeformułować w kategoriach stanu zwanego funkcjonałem Wightmana w algebrze Borchersa równej algebrze tensorowej przestrzeni funkcji testowych.

Istnienie teorii spełniających aksjomaty

Można uogólnić aksjomaty Wightmana na wymiary inne niż 4. W wymiarze 2 i 3 skonstruowano teorie oddziałujące (tj. Niewolne), które spełniają aksjomaty.

Obecnie nie ma dowodów na to, że aksjomaty Wightmana mogą być spełnione dla oddziałujących teorii w wymiarze 4. W szczególności model standardowy fizyki cząstek elementarnych nie ma matematycznie rygorystycznych podstaw. Istnieje nagroda w wysokości miliona dolarów za dowód, że aksjomaty Wightmana mogą być spełnione dla teorii cechowania , z dodatkowym wymogiem luki masowej.

Twierdzenie o rekonstrukcji Osterwaldera – Schradera

Przy pewnych założeniach technicznych wykazano, że euklidesowa QFT może zostać obrócona Wick do Wightman QFT. Zobacz twierdzenie Osterwaldera – Schradera . To twierdzenie jest kluczowym narzędziem do konstrukcji oddziałujących teorii w wymiarze 2 i 3, które spełniają aksjomaty Wightmana.

Zobacz też

• Szósty problem Hilberta
• Lokalna kwantowa teoria pola
• Aksjomaty Haaga – Kastlera

Bibliografia

Dalsza lektura

• Arthur Wightman , „Szósty problem Hilberta: matematyczne traktowanie aksjomatów fizyki”, w FE Browder (red.): Vol. 28 (część 1) Proc. Symp. Czysta matematyka. , Amer. Math. Soc., 1976, s. 241–268.
• Res Jost , Ogólna teoria pól kwantowych , Amer. Math. Soc., 1965.