Heksomino - Hexomino
Heksomino (lub 6-omino ) jest Polyomino porządku 6, to jest wielokąta w płaszczyźnie z 6 równych rozmiarów pól związanych krawędzi do krawędzi. Nazwa tego typu figur tworzona jest z przedrostkiem hex(a)- . Gdy rotacje i odbicia nie są uważane za odrębne kształty, istnieje 35 różnych wolnych heksomin. Gdy odbicia są uważane za odrębne, istnieje 60 jednostronnych heksomin. Gdy rotacje są również uważane za odrębne, istnieje 216 stałych heksomin.
Symetria
Powyższy rysunek pokazuje wszystkie 35 możliwych wolnych heksomin, pokolorowanych zgodnie z ich grupami symetrii :
- Dwadzieścia szarych heksomin nie ma symetrii . Ich grupa symetrii składa się tylko z odwzorowania tożsamości .
- Sześć czerwonych heksomin ma oś symetrii lustrzanej równoległą do linii siatki. Ich grupa symetrii ma dwa elementy, tożsamość i odbicie w linii równoległej do boków kwadratów.
- Dwa zielone heksomina mają oś symetrii lustrzanej pod kątem 45° do linii siatki. Ich grupa symetrii ma dwa elementy, tożsamość i odbicie diagonalne.
- Pięć niebieskich heksomin ma symetrię punktową, znaną również jako symetria obrotowa rzędu 2. Ich grupa symetrii ma dwa elementy, identyczność i obrót o 180°.
- Dwa fioletowe heksomina mają dwie osie symetrii lustrzanej, obie równoległe do linii siatki (a więc jedną oś poziomą i jedną oś pionową). Ich grupa symetrii składa się z czterech elementów. Jest to dwuścienna grupa rzędu 2, znana również jako czterogrupa Kleina .
Jeśli odbicia heksomina są uważane za odrębne, tak jak w przypadku jednostronnych heksomin, to pierwsza i czwarta kategoria powyżej podwoiłyby się, co dałoby dodatkowe 25 heksomin, w sumie 60. Jeśli rotacje są również uważane za odrębne, wtedy heksomina z pierwszej kategorii liczą się ośmiokrotnie, z trzech kolejnych kategorii liczą się czterokrotnie, a te z ostatniej kategorii liczą się dwukrotnie. Daje to 20 × 8 + (6 + 2 + 5) × 4 + 2 × 2 = 216 stałych heksomin.
Pakowanie i układanie płytek
Każdy z 35 heksomin spełnia kryterium Conwaya ; stąd każde heksomina jest w stanie ułożyć płaszczyznę.
Mimo że cały zestaw 35 heksomin ma łącznie 210 kwadratów, nie można ich upakować w prostokąt . (Taki układ jest możliwy z 12 pentominami, które można upakować w dowolny z prostokątów 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 i 6 × 10.) Prosty sposób na pokazanie, że takie upakowanie heksomin nie jest możliwe odbywa się za pomocą argumentu parzystości . Jeśli heksomina ułożone są we wzór szachownicy , wówczas 11 heksomin zakryje parzystą liczbę czarnych kwadratów (albo 2 białe i 4 czarne lub odwrotnie), a pozostałe 24 heksomina zakryją nieparzystą liczbę czarnych kwadratów (3 białe i 3 czarne). Ogólnie rzecz biorąc, w dowolnym układzie pokryje się parzysta liczba czarnych kwadratów. Jednak każdy prostokąt składający się z 210 kwadratów będzie miał 105 czarnych i 105 białych kwadratów, a zatem nie może być pokryty 35 heksominami.
Istnieją jednak inne proste figury składające się z 210 kwadratów, które można zapakować heksominami. Na przykład kwadrat 15 × 15 z prostokątem 3 × 5 usuniętym ze środka ma 210 kwadratów. W szachownicy ma 106 białych i 104 czarnych kwadratów (lub odwrotnie), więc parzystość nie przeszkadza w pakowaniu, a pakowanie jest rzeczywiście możliwe. Do prostokąta o rozmiarze 420 można również dopasować dwa zestawy elementów lub zestaw 60 jednostronnych heksamin (18 z nich pokrywa parzystą liczbę czarnych kwadratów) pasujący do prostokąta o rozmiarze 360.
Siatki wielościenne na kostkę
Wielościanów netto do sześcianu jest koniecznie heksomino, z 11 hexominoes (po prawej) faktycznie sieci. Pojawiają się po prawej stronie, ponownie pokolorowane zgodnie z ich grupami symetrii.
Siatka wielościenna dla sześcianu nie może zawierać O-tetromino, I-pentomino, U-pentomino lub V-pentomino.