Kostka - Cube

Sześcian regularny
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Rodzaj	Bryła platońska
krótki kod	4=
Elementy	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Twarze po bokach	6{4}
notacja Conway	C
Symbole Schläfli	{4,3}
	t{2,4} lub {4}×{} tr{2,2} lub {}×{}×{}
Konfiguracja twarzy	V3.3.3.3
Symbol Wythoffa	3 | 2 4
Schemat Coxetera
Symetria	O h , B 3 , [4,3], (*432)
Grupa rotacyjna	O , [4,3] + , (432)
Bibliografia	U 06 , C 18 , W 3
Nieruchomości	regularne , wypukłe zonohedron
Kąt dwuścienny	90°
4.4.4 ( rysunek wierzchołka )	Oktaedron ( podwójny wielościan )
Internet

Siatka z kostki

Model 3D sześcianu

W geometrii , A kostka jest trójwymiarowy obcy przedmiot ograniczony przez sześć kwadratowych twarzy, faset lub stron, z trzema spotkania w każdym wierzchołku .

Sześcian jest jedyną regularny sześciokąt i jest jednym z pięciu brył platońskich . Ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków.

Sześcian jest również kwadratowym równoległościanem , równobocznym prostopadłościanem i prawym romboedrem . Jest to regularny graniastosłup kwadratowy w trzech orientacjach i trójkątny trapezon w czterech orientacjach.

Sześcian jest podwójny do ośmiościanu . Ma symetrię sześcienną lub oktaedryczną .

Sześcian jest jedynym wypukłym wielościanem, którego ściany są same kwadratami .

Rzuty prostopadłe

Kostka ma cztery specjalne występy prostokątne , skupione na wierzchołku, krawędzie twarzy i prostopadłej do jej wierzchołka rysunku . Pierwsza i trzecia odpowiadają samolotom Coxetera A ₂ i B ₂ .

Rzuty prostopadłe

Wyśrodkowany przez	Twarz	Wierzchołek
Samoloty Coxetera	B 2	2
Symetria projekcyjna	[4]	[6]
Przechylone widoki

Dachówka sferyczna

Sześcian może być również reprezentowany jako sferyczne płytki i rzutowany na płaszczyznę za pomocą projekcji stereograficznej . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.

Rzut prostokątny	Projekcja stereograficzna

współrzędne kartezjańskie

W przypadku sześcianu wyśrodkowanego na początku, z krawędziami równoległymi do osi i długości krawędzi 2, współrzędne kartezjańskie wierzchołków są

(±1, ±1, ±1)

natomiast wnętrze składa się ze wszystkich punktów ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) z -1 < x _i < 1 dla wszystkich i .

Równanie w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

W geometrii analitycznej powierzchnia sześcianu o środku ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) i długości krawędzi 2a jest miejscem wszystkich punktów ( x , y , z ) takich, że

${\ Displaystyle \ max \ {| x-x_ {0} |, | y-y_ {0} | | z-z_ {0} | \} = a.}$

Sześcian można również uznać za przypadek graniczny superelipsoidy 3D, ponieważ wszystkie trzy wykładniki zbliżają się do nieskończoności.

Formuły

Dla sześcianu o długości krawędzi : ${\displaystyle a}$

powierzchnia	${\ Displaystyle 6a ^ {2} \,}$	Tom	${\displaystyle a^{3}\,}$
przekątna ściany	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$	przekątna przestrzeni	${\textstyle {\sqrt {3}}a}$
promień kuli opisanej	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	promień sfery stycznej do krawędzi	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$
promień wpisanej kuli	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	kąty między ścianami (w radianach )	${\displaystyle {\frac {\pi}{2}}}$

Ponieważ objętość sześcianu jest trzecią potęgą jego boków , trzecie potęgi nazywane są sześcianami , przez analogię do kwadratów i drugich potęg. ${\displaystyle a\razy a\razy a}$

Sześcian ma największą objętość wśród prostopadłościanów (prostokątnych pudełek) o danej powierzchni . Ponadto sześcian ma największą objętość wśród prostopadłościanów o tym samym całkowitym rozmiarze liniowym (długość+szerokość+wysokość).

Punkt w przestrzeni

Dla sześcianu, którego opisująca sfera ma promień R , oraz dla danego punktu w jego trójwymiarowej przestrzeni o odległości d _i od ośmiu wierzchołków sześcianu, mamy:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {8} d_ {i} ^ {4}}{8}} + {\ Frac {16R ^ {4}}{9}} = \ lewo ({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{ 2}.}$

Podwojenie kostki

Podwojenie sześcianu , czyli problem Delian , to problem starożytnych matematyków greckich polegający na używaniu tylko cyrkla i linijki do rozpoczęcia od długości krawędzi danego sześcianu i skonstruowania długości krawędzi sześcianu z podwojoną długością sześcianu. objętość oryginalnej kostki. Nie byli w stanie rozwiązać tego problemu, aw 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że jest to niemożliwe, ponieważ pierwiastek sześcienny z 2 nie jest liczbą konstruktywną .

Jednolita kolorystyka i symetria

Drzewo symetrii ośmiościennej

Sześcian ma trzy jednolite kolory, nazwane kolorami kwadratów wokół każdego wierzchołka: 111, 112, 123.

Sześcian ma cztery klasy symetrii, które mogą być reprezentowane przez przechodnie wierzchołkowe kolorowanie ścian. Najwyższa ośmiościenny symetria O _h ma wszystkie twarze tego samego koloru. Dwuścienny symetria D _4h pochodzi z kostki będącego pryzmat, ze wszystkie cztery boki są tego samego koloru. Podzbiory pryzmatyczne D _2d mają taki sam kolor jak poprzedni, a D _2h ma naprzemienne kolory boków, w sumie trzy kolory, sparowane przeciwległymi bokami. Każda forma symetrii ma inny symbol Wythoffa .

Nazwa	Sześcian regularny	Pryzmat kwadratowy	Trapezopryzm prostokątny	Prostokątny prostopadłościan	Pryzmat rombowy	Trapezoedr trójkątny
Schemat Coxetera
Symbol Schläfli	{4,3}	{4}×{} rr{4,2}	z 2 {2,4}	{ } 3 tr{2,2}	{}×2{}
Symbol Wythoffa	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Symetria	O h [4,3] (*432)	D 4h [4,2] (*422)	D 2d [4,2 + ] (2*2)	D 2h [2,2] (*222)		D 3d [6,2 + ] (2*3)
Kolejność symetrii	24	16	8	8		12
Obraz (jednolita kolorystyka)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Relacje geometryczne

11 siatek kostki.

Te znajome sześciościenne kości mają kształt sześcianu.

Sześcian ma jedenaście siatek (jedna pokazana powyżej): oznacza to, że istnieje jedenaście sposobów na spłaszczenie pustego sześcianu poprzez przecięcie siedmiu krawędzi. Aby pokolorować sześcian tak, aby żadne dwie sąsiadujące ściany nie miały tego samego koloru, potrzeba co najmniej trzech kolorów.

Sześcian jest komórką jedynej regularnej płytki trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Wśród brył platońskich wyróżnia się także tym, że posiada ściany o parzystej liczbie boków, a co za tym idzie, jest jedynym członkiem tej grupy, który jest zonohedronem (każda ściana ma symetrię punktową).

Kostkę można pociąć na sześć identycznych ostrosłupów kwadratowych . Jeśli te kwadratowe piramidy są następnie dołączone do ścian drugiego sześcianu, otrzymuje się dwunastościan rombowy (z parami trójkątów współpłaszczyznowych połączonymi w ściany rombowe).

Inne wymiary

Analog sześcianu w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej ma specjalną nazwę – teserakt lub hipersześcian . Dokładniej, hipersześcian (lub n -wymiarowy sześcian lub po prostu n -sześcian) jest odpowiednikiem sześcianu w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej, a teserakt jest hipersześcianem 4 rzędu. Hipersześcian jest również nazywany politopem miar .

Istnieją również odpowiedniki sześcianu w niższych wymiarach: punkt w wymiarze 0, odcinek linii w jednym wymiarze i kwadrat w dwóch wymiarach.

Powiązane wielościany

Podwójny sześcian to ośmiościan , widziany tutaj z wierzchołkami w środku kwadratowych ścian sześcianu.

Hemicube jest ilorazem 2-do-1 sześcianu.

Iloraz sześcianu przez antypodyczne mapie daje rzutowe wielościan , na hemicube .

Jeśli oryginalny sześcian ma długość krawędzi 1, jego podwójny wielościan ( oktaedr ) ma długość krawędzi . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}/2}$

Sześcian jest przypadkiem szczególnym w różnych klasach wielościanów ogólnych:

Wierzchołki sześcianu można podzielić na dwie grupy po cztery, z których każda tworzy regularny czworościan ; bardziej ogólnie jest to określane jako demicube . Te dwa razem tworzą regularny związek , Stella octgula . Przecięcie tych dwóch form tworzy ośmiościan foremny. Symetrie czworościanu foremnego odpowiadają symetriom sześcianu, które odwzorowują każdy czworościan do siebie; pozostałe symetrie sześcianu odwzorowują je nawzajem.

Jeden taki czworościan foremny ma objętość 1/3tego sześcianu. Pozostała przestrzeń składa się z czterech równych nieregularnych czworościanów o objętości1/6 sześcianu, każdy.

Spirytus kostka jest sześcio-ośmiościan . Jeśli odetniemy mniejsze rogi, otrzymamy wielościan o sześciu ścianach ośmiokątnych i ośmiu trójkątnych. W szczególności możemy otrzymać ośmiokąty foremne ( sześcian ścięty ). Sześcio-ośmiościan rombowy mały uzyskuje się przez odcięcie obu naroży i krawędzi do odpowiedniej kwoty.

Sześcian może być wpisany w dwunastościan tak, że każdy wierzchołek sześcianu jest wierzchołkiem dwunastościanu, a każda krawędź jest przekątną jednej ze ścian dwunastościanu; wzięcie wszystkich takich kostek daje początek regularnemu złożeniu pięciu sześcianów.

Jeśli dwa przeciwległe rogi sześcianu zostaną ścięte na głębokości trzech wierzchołków bezpośrednio z nimi połączonych, otrzymamy nieregularny ośmiościan. Osiem z tych nieregularnych ośmiościanów można przymocować do trójkątnych ścian ośmiościanu foremnego, aby uzyskać sześcian.

Sześcian jest topologicznie powiązany z serią sferycznych wielościanów i płytek z figurami wierzchołków rzędu 3 .

* n 32 mutacja symetrii regularnych płytek: { n ,3} v T mi
Kulisty				Euklidesa	Kompaktowa hiperb.		Parako.	Niekompaktowy hiperboliczny
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Sześcian należy do rodziny wielościanów jednorodnych spokrewnionych z sześcianem i ośmiościanem foremnym.

Jednolite wielościany ośmiościenne
Symetria : [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 1,1 }	t{3,4} t{3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr{4,3} s 2 {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	godz.{4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 1,1 }
		=	=	=				= lub	= lub	=
Duals do jednolitych wielościanów
V4 3	V3.8 2	V(3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	Wersja 4.6.8	V3 4 0,4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Sześcian jest powiązany topologicznie jako część ciągu regularnych kafelków, rozciągających się na płaszczyznę hiperboliczną : {4,p}, p=3,4,5...

* n 42 mutacja symetrii regularnych płytek: {4, n } v T mi
Kulisty	Euklidesa	Kompaktowy hiperboliczny				Parakompaktowy
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

Przy symetrii dwuściennej , Dih ₄ , sześcian jest topologicznie powiązany w serii jednolitych wielościanów i kafelków 4.2n.2n, rozciągających się do płaszczyzny hiperbolicznej:

* n 42 mutacja symetrii przyciętych płytek: 4,2 n .2 n v T mi
Symetria * n 42 [n,4]	Kulisty		Euklidesa	Kompaktowy hiperboliczny				Parakomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Obcięte cyfry
Konfig.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
figurki n-kis
Konfig.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Wszystkie te figury mają symetrię oktaedryczną .

Sześcian jest częścią ciągu wielościanów rombowych i kafelków o symetrii grupy Coxetera [ n ,3] . Sześcian może być postrzegany jako rombowy sześcian, gdzie romb to kwadraty.

Mutacje symetrii podwójnych płytek quasiregularnych : V(3.n) 2
*n32	Kulisty			Euklidesa	Hiperboliczny
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Dekarstwo
Konf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Kostka to graniastosłup kwadratowy :

Rodzina jednorodnych pryzmatów n- kątnych

• v
• T
• mi

Nazwa pryzmatu	Pryzmat dwukątny	(Trigonal) Trójkątny pryzmat	(czworokątny) pryzmat kwadratowy	Graniastosłup pięciokątny	Sześciokątny pryzmat	Graniastosłup siedmiokątny	Pryzmat ośmiokątny	Pryzmat enneagonalny	Graniastosłup dziesięciokątny	Pryzmat heksagonalny	Pryzmat dwunastokątny	...	Pryzmat apeirogonalny
Obraz wielościanu												...
Kulisty obraz kafelkowy												Samolot kafelkowy obraz
Konfiguracja wierzchołków.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	.4.4
Schemat Coxetera												...

Jako trójkątny trapezhedron sześcian jest powiązany z rodziną symetrii heksagonalnej dwuściennej.

Jednolite sześciokątne dwuścienne sferyczne wielościany
Symetria : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Podwójne do mundurów
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Regularne i jednolite związki kostek

Związek trzech kostek

Związek pięciu kostek

W jednolitych plastrach miodu i polichora

Jest elementem 9 z 28 wypukłych jednolitych plastrów miodu :

Sześcienny plaster miodu	Ścięty kwadratowy pryzmatyczny plaster miodu	Snub kwadratowy pryzmatyczny plaster miodu	Wydłużony trójkątny pryzmatyczny plaster miodu	Żyroskopowy trójkątny pryzmatyczny plaster miodu
Kantelowany sześcienny plaster miodu	Cantitruncated sześcienny plaster miodu	sześcienny plaster miodu z runcitruncated	Runcinated naprzemienny sześcienny plaster miodu

Jest również elementem pięciu jednorodnych czterowymiarowych polichor :

Teserakt	Kantelowany 16-ogniwowy	Runcinated tesseract	Cantitruncated 16-komorowy	Runcitruncated 16-komorowy

Wykres sześcienny

Wykres sześcienny
Nazwany po	P 3
Wierzchołki	8
Krawędzie	12
Promień	3
Średnica	3
Obwód	4
Automorfizmy	48
Liczba chromatyczna	2
Nieruchomości	Hamiltonian , regularny , symetryczny , odległościowo regularny , odległościowo przechodni , 3-wierzchołkowy , dwudzielny , planarny graf
Tabela wykresów i parametrów

Szkielet sześcianu (wierzchołki oraz krawędzie) tworzą wykres , 8 i 12 wierzchołków krawędzi. Jest to szczególny przypadek grafu hipersześcianowego . Jest to jeden z 5 grafów platońskich , z których każdy jest szkieletem platońskiej bryły .

Rozszerzeniem jest trójwymiarowy k- ary graf Hamminga , który dla k = 2 jest grafem sześciennym. Wykresy tego rodzaju występują w teorii przetwarzania równoległego w komputerach.

Zobacz też

• Piramida
• Teserakt
• Trapezohedron

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. "Cube" . MatematykaŚwiat .
• Kostka: Interaktywny model wielościanu *
• Objętość sześcianu z interaktywną animacją
• Kostka (strona Roberta Webba)