Stan miernika Lorenza - Lorenz gauge condition

W elektromagnetyzmu The warunek miernik Lorenz lub Lorenz manometr , za Ludvig Lorenz , częściowy wskaźnik mocowania z potencjału wektorowego elektromagnetycznego wymagając nazwa jest często mylona z Hendrik Lorentz , który dał swoje nazwisko do wielu pojęć w tej dziedzinie. Warunek jest niezmienny Lorentza . Warunek nie określa całkowicie miernika: nadal można dokonać transformacji miernika, gdzie jest harmoniczna funkcja skalarna (to znaczy funkcja skalarna spełniająca równanie bezmasowego pola skalarnego ). Warunek Lorenza służy do wyeliminowania zbędnej składowej o spinie-0 w (1/2, 1/2) teorii reprezentacji grupy Lorentza . Jest również używany do masywnych pól o spinie 1, gdzie koncepcja przekształceń cechowania w ogóle nie ma zastosowania. ${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$${\displaystyle A^{\mu }\to A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,}$

Opis

W elektromagnetyzmie warunek Lorenza jest zwykle używany w obliczeniach zależnych od czasu pól elektromagnetycznych za pośrednictwem opóźnionych potencjałów . Stan jest taki

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,}$

gdzie jest czteropotencjał , przecinek oznacza częściowe zróżnicowanie, a powtórzony indeks wskazuje, że używana jest konwencja sumowania Einsteina . Warunek ma tę zaletę, że jest niezmiennikiem Lorentza . Nadal pozostawia znaczne stopnie swobody. ${\displaystyle A^{\mu }}$

W zwykłej notacji wektorowej i jednostkach SI warunek jest taki

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,}$

gdzie jest magnetyczny potencjał wektora i jest potencjałem elektrycznym ; patrz także mocowanie manometru . ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \varphi }$

W jednostkach Gaussa warunkiem jest

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$

Szybkie uzasadnienie miernika Lorenza można znaleźć za pomocą równań Maxwella i związku między potencjałem wektora magnetycznego a polem magnetycznym:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}$

W związku z tym,

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}$

Ponieważ curl wynosi zero, co oznacza, że istnieje funkcja skalarna takie, że ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$

Daje to dobrze znane równanie pola elektrycznego,

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$

Wynik ten można umieścić w równaniu Ampère-Maxwella,

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}$

To pozostawia

${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$

Aby mieć niezmienność Lorentza, pochodne czasu i pochodne przestrzenne muszą być traktowane jednakowo (tj. Tego samego rzędu). Dlatego wygodnie jest wybrać stan miernika Lorenza, który daje wynik

${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} .}$

Podobna procedura z naciskiem na elektryczny potencjał skalarny i dokonanie tego samego wyboru miernika przyniesie rezultaty

${\displaystyle \Box \varphi =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\varphi =-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho .}$

Są to prostsze i bardziej symetryczne formy niejednorodnych równań Maxwella . Zauważ, że miernik Coulomba również rozwiązuje problem niezmienności Lorentza, ale pozostawia termin sprzęgający z pochodnymi pierwszego rzędu.

Tutaj

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

jest prędkością światła w próżni i jest operatorem d'Alembertów . Równania te są ważne nie tylko w warunkach próżni, ale także w mediach spolaryzowanych, jeśli i są odpowiednio gęstością źródła i gęstością cyrkulacji pól indukcji elektromagnetycznej i obliczane jak zwykle z równań i za pomocą równań ${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Jawne rozwiązania dla i - unikalne, jeśli wszystkie wielkości znikają wystarczająco szybko w nieskończoności - są znane jako opóźnione potencjały . ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Historia

Praca Lorenza, pierwotnie opublikowana, nie została dobrze przyjęta przez Maxwella . Maxwell wyeliminował siłę elektrostatyczną Coulomba ze swojego wyprowadzenia równania fali elektromagnetycznej, ponieważ pracował nad tym, co dziś można nazwać miernikiem Coulomba . Dlatego miernik Lorenza zaprzeczał pierwotnemu wyprowadzeniu równania fali EM Maxwella, wprowadzając efekt opóźnienia do siły Coulomba i wprowadzając go do równania fali elektromagnetycznej wraz z polem elektrycznym zmieniającym się w czasie , które zostało wprowadzone w artykule Lorenza „O tożsamości wibracji światła z prądami elektrycznymi ”. Praca Lorenza była pierwszym symetryzującym skróceniem równań Maxwella po tym, jak sam Maxwell opublikował swój artykuł z 1865 roku. W 1888 roku, po eksperymentach Heinricha Rudolfa Hertza na falach elektromagnetycznych , weszły do ​​powszechnego użytku . W 1895 r. Kolejny impuls do teorii opóźnionych potencjałów nastąpił po interpretacji danych dotyczących elektronów przez JJ Thomsona (po której badanie zjawisk elektrycznych zmieniło się z zależnego od czasu rozkładu ładunku elektrycznego i prądu elektrycznego na ruchome ładunki punktowe ).

Zobacz też

• Mocowanie manometru

Bibliografia

Linki zewnętrzne i dalsze czytanie

Generał

• Weisstein, EW "Lorenz Gauge" . Wolfram Research .

Dalsza lektura

• Lorenz, L. (1867). „O tożsamości drgań światła z prądami elektrycznymi”. Magazyn filozoficzny . Seria 4. 34 (230): 287–301.
• van Bladel, J. (1991). „Lorenz czy Lorentz?”. IEEE Anteny and Propagation Magazine . 33 (2): 69. doi : 10.1109 / MAP.1991.5672647 . S2CID   21922455 .
  • Patrz także Bladel, J. (1991). „Lorenz czy Lorentz? [Uzupełnienie]”. IEEE Anteny and Propagation Magazine . 33 (4): 56. Bibcode : 1991IAPM ... 33 ... 56B . doi : 10.1109 / MAP.1991.5672657 .
• Becker, R. (1982). Pola elektromagnetyczne i interakcje . Publikacje Dover . Rozdział 3.
• O'Rahilly, A. (1938). Elektromagnetyka . Longmans, zielony i Współpracy . Rozdział 6.

Historia

• Nevels, R .; Shin, Chang-Seok (2001). „Lorenz, Lorentz i miernik”. IEEE Anteny and Propagation Magazine . 43 (3): 70–71. Bibcode : 2001IAPM ... 43 ... 70N . doi : 10.1109 / 74.934904 .
• Whittaker, ET (1989). Historia teorii eteru i elektryczności . 1–2 . Publikacje Dover . p. 268.