Obserwowalność - Observability

Obserwowalność jest miarą tego, jak dobrze stany wewnętrzne systemu można wywnioskować na podstawie wiedzy o jego zewnętrznych wyjściach. W teorii sterowania obserwowalność i sterowalność układu liniowego to matematyczne dualizmy . Koncepcja obserwowalności została wprowadzona przez węgiersko-amerykańskiego inżyniera Rudolfa E. Kálmána dla liniowych układów dynamicznych. Dynamiczny system zaprojektowany do szacowania stanu systemu na podstawie pomiarów wyjść nazywany jest obserwatorem stanu lub po prostu obserwatorem dla tego systemu.

Definicja

Rozważmy system fizyczny modelowany w reprezentacji w przestrzeni stanów . Mówi się, że system jest obserwowalny, jeśli, dla jakiejkolwiek możliwej ewolucji wektorów stanu i sterowania , aktualny stan można oszacować przy użyciu tylko informacji z wyjść (fizycznie odpowiada to na ogół informacjom uzyskanym przez czujniki ). Innymi słowy, na podstawie wyjść systemu można określić zachowanie całego systemu. Z drugiej strony, jeśli system nie jest obserwowalny, istnieją trajektorie stanów, których nie można rozróżnić jedynie poprzez pomiar wyjść.

Liniowe systemy niezmiennicze w czasie

Dla niezmienniczych w czasie systemów liniowych w reprezentacji w przestrzeni stanów istnieją wygodne testy sprawdzające, czy system jest obserwowalny. Rozważ system SISO ze zmiennymi stanu (zobacz przestrzeń stanów, aby uzyskać szczegółowe informacje na temat systemów MIMO ) podanymi przez ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t)}

Macierz obserwowalności

Jeżeli rząd Pozycja w matrycy obserwowalności zdefiniowany jako

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = {\ zacząć {bmatrix} C \ \ CA \ \ CA ^ {2} \ \ \ vdots \ \ CA ^ {n-1} \ koniec {bmatrix}}}

jest równy , to system jest obserwowalny. Uzasadnieniem tego testu jest to, że jeśli wiersze są liniowo niezależne, to każda ze zmiennych stanu jest widoczna poprzez liniowe kombinacje zmiennych wyjściowych . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ $y$

Pojęcia pokrewne

Wskaźnik obserwowalności

Wskaźnik obserwowalności liniowego niezmiennego w czasie układu dyskretnego jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której spełniony jest warunek: , gdzie $v$ ${\ Displaystyle {\ tekst {ranking}} {({\ mathcal {O}} _ {v})} = {\ tekst {ranga}} {({\ mathcal {O}} _ {v + 1})} }$

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {v} = {\ zacząć {bmatrix} C \ \ CA \ \ CA ^ {2} \ \ \ vdots \ \ CA ^ {v-1} \ koniec {bmatrix} }.}

Nieobserwowalna podprzestrzeń

Niedostrzegalna podprzestrzeń systemu liniowego jest jądrem mapie liniowej podanej przez ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} G \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {n} i \ rightarrow {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}; \ mathbb {R} ^ {n}) \ \ x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\\\end{aligned}}}$

gdzie jest zbiorem funkcji ciągłych od do . można również zapisać jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}; \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle N}$

{\ Displaystyle N = \ bigcap _ {k = 0} ^ {n-1} \ ker (CA ^ {k}) = \ ker {\ mathcal {O}}}

Ponieważ system jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy , gdy , system jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest podprzestrzeń zerową. ${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {ranga} } ({\ mathcal {O}}) = n}$ ${\ Displaystyle N}$

Poprawne są następujące właściwości nieobserwowalnej podprzestrzeni:

${\ Displaystyle N \ podzbiór Ke (C)}$
${\ Displaystyle A (N) \ podzbiór N}$
${\ Displaystyle N = \ bigcup {\ {S \ podzbiór R ^ {n} \ średni S \ podzbiór Ke (C), A (S) \ podzbiór N \}}}$

Wykrywalność

Nieco słabszym pojęciem niż obserwowalność jest wykrywalność . System jest wykrywalny, jeśli wszystkie nieobserwowalne stany są stabilne.

Warunki wykrywalności są ważne w kontekście sieci czujników .

Liniowe systemy zmienne w czasie

Rozważmy ciągły liniowy system zmienności czasu

{\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t) \,}

{\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t). \,}

Załóżmy, że matryce , i są podane, jak również wejść i wyjść i wszystkim to jest możliwe, aby określić, z dokładnością do stałej addytywnej wektora, który leży w przestrzeni zerowej z definicją ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle u}$ $y$ $t\w [t_{0},t_{1}];$ $x(t_{0})$ $M(t_{0},t_{1})$

{\ Displaystyle M (t_ {0}, t_ {1}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ phi (t, t_ {0}) ^ {T} C (t) ^{T}C(t)\phi (t,t_{0})dt}

gdzie jest macierz stanów przejściowych . $\phi$

Możliwe jest określenie unikalności, jeśli jest nieosobliwa . W rzeczywistości nie jest możliwe odróżnienie stanu początkowego for od stanu if w pustej przestrzeni . $x(t_{0})$ $M(t_{0},t_{1})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}-x_{2}$ $M(t_{0},t_{1})$

Zauważ, że macierz zdefiniowana jak powyżej ma następujące właściwości: ${\ Displaystyle M}$

$M(t_{0},t_{1})$ jest symetryczny
$M(t_{0},t_{1})$ jest dodatnia półokreślona dla $t_{1}\geq t_{0}$
$M(t_{0},t_{1})$ spełnia równanie różniczkowe macierzy liniowej

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} M (t t_ {1}) = - A (t) ^ {T} M (t t_ {1}) - M (t t_ {1} )A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}

$M(t_{0},t_{1})$ spełnia równanie

{\ Displaystyle M (t_ {0} t_ {1}) = M (t_ {0} t) + \ phi (t t_ {0}) ^ {T} M (t t_ {1}) \ fi (t,t_{0})}

Uogólnienie macierzy obserwowalności

Układ jest obserwowalny w [ , ] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przedział [ , ] w takim, że macierz jest nieosobliwa. $t_{0}$ $t_{1}$ $t_{0}$ $t_{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $M(t_{0},t_{1})$

Jeśli są analityczne, to układ jest obserwowalny w przedziale [ , ] jeśli istnieje dodatnia liczba całkowita k taka, że ${\ Displaystyle A (t), C (t)}$ $t_{0}$ $t_{1}$ ${\bar {t}}\w [t_{0},t_{1}]$

{\ Displaystyle rank {\ zacząć {bmatrix} i N_ {0} ({\ bar {t}}) i \ \ i N_ {1} ({\ bar {t}}) i \ \ i: i \ \ i N_ {k }({\bar {t}})&\end{bmatryca}}=n,}

gdzie i jest definiowane rekurencyjnie jako ${\ Displaystyle N_ {0}(t): = C (t)}$ ${\ Displaystyle N_ {i} (t)}$

{\ Displaystyle N_ {i + 1} (t): = N_ {i} (t) A (t) + {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} N_ {i} ( t),\ i=0,\ldots ,k-1}

Przykład

Rozważ system różniący się analitycznie w i macierzach $(-\infty ,\infty )$

${\ Displaystyle A (t) = {\ zacząć {bmatrix} t i 1 i 0 \ \ 0 i t ^ {3} i 0 \ \ 0 i 0 i t ^ {2} \ koniec {bmatrix}}}$ , ${\ Displaystyle C (t) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

Następnie , a ponieważ ta macierz ma rangę = 3, system jest obserwowalny na każdym nietrywialnym przedziale . ${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} N_ {0} (0) \ \ N_ {1} (0) \ \ N_ {2} (0) \ koniec {bmatrix}} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 1 \\ 0&1&0\\1&0&0\end{bmatryca}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Systemy nieliniowe

Biorąc pod uwagę system , . Gdzie wektor stanu, wektor wejściowy i wektor wyjściowy. mają być gładkimi polami wektorowymi. ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x) + \ suma _ {j = 1} ^ {m} g_ {j} (x) u_ {j}}$ ${\ Displaystyle y_ {i} = h_ {i} (x), ja \ w p}$ ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle u \ w \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle y \ w \ mathbb {R} ^ {p}}$ $f,g,h$

Zdefiniuj przestrzeń obserwacji jako przestrzeń zawierającą wszystkie powtarzające się pochodne Liego , wtedy system jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {s}}$ $x_{0}$ ${\ Displaystyle {\ textrm {słabe}} (d {\ mathcal {O}} _ {s} (x_ {0})) = n}$

Notatka: ${\ Displaystyle d {\ mathcal {O}} _ {s} (x_ {0}) = \ operatorname {rozpiętość} (dh_ {1} (x_ {0}), \ ldots, dh_ {p} (x_ {0 }),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k= 1,2,\ldots .}$

Wczesne kryteria obserwowalności w nieliniowych układach dynamicznych odkryli Griffith i Kumar, Kou, Elliot i Tarn oraz Singh.

Układy statyczne i ogólne przestrzenie topologiczne

Obserwowalność może być również scharakteryzowana dla układów w stanie ustalonym (układów zwykle definiowanych za pomocą równań algebraicznych i nierówności) lub ogólniej dla zbiorów w . Podobnie jak kryteria obserwowalności są używane do przewidywania zachowania filtrów Kalmana lub innych obserwatorów w przypadku systemu dynamicznego, kryteria obserwowalności zbiorów w są używane do przewidywania zachowania uzgadniania danych i innych estymatorów statycznych. W przypadku nieliniowym obserwowalność można scharakteryzować dla poszczególnych zmiennych, a także dla zachowania lokalnego estymatora, a nie tylko zachowania globalnego. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Obserwowalność w systemach oprogramowania

W systemach oprogramowania obserwowalność odnosi się do możliwości zbierania danych o wykonaniu programu, stanach wewnętrznych modułów i komunikacji między komponentami. Aby poprawić obserwowalność, inżynierowie oprogramowania korzystają z szerokiej gamy technik i narzędzi rejestrowania i śledzenia .

Systemy

Languages

In other projects