Obserwator państwowy - State observer

W teorii sterowania , A obserwator stan lub estymatorem stanu jest systemem, który zapewnia oszacowanie stanu wewnętrznego w danym systemie rzeczywistym, na podstawie pomiarów wejściu i wyjściu układu rzeczywistego. Jest typowo realizowany komputerowo i stanowi podstawę wielu praktycznych zastosowań.

Znajomość stanu systemu jest niezbędna do rozwiązania wielu problemów teorii sterowania ; na przykład stabilizowanie systemu za pomocą sprzężenia zwrotnego stanu . W większości praktycznych przypadków stan fizyczny układu nie może być określony przez bezpośrednią obserwację. Zamiast tego pośrednie skutki stanu wewnętrznego są obserwowane na wyjściach systemu. Prostym przykładem są pojazdy w tunelu: tempo i prędkości, z jakimi pojazdy wjeżdżają i wyjeżdżają z tunelu, można obserwować bezpośrednio, ale dokładny stan wewnątrz tunelu można jedynie oszacować. Jeżeli system jest obserwowalny , możliwe jest pełne zrekonstruowanie stanu systemu na podstawie jego pomiarów wyjściowych za pomocą obserwatora stanu.

Typowy model obserwatora

Obserwatory liniowe, ślizgowe i sześcienne są jednymi z kilku struktur obserwatorów używanych do estymacji stanu układów liniowych. W kolejnych rozdziałach opisana jest liniowa struktura obserwatora.

Sprawa czasu dyskretnego

Zakłada się, że stan liniowego, niezmiennego w czasie fizycznego systemu dyskretnego jest spełniony

${\ Displaystyle x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k)}$

${\ Displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k)}$

gdzie w czasie , to stan tego zakładu; jest jego wejściami; i jest jego wyjściami. Równania te mówią po prostu, że zarówno bieżące wyjścia elektrowni, jak i jej przyszły stan są określone wyłącznie przez jej bieżące stany i bieżące wejścia. (Chociaż równania te są wyrażone w postaci dyskretnych kroków czasowych, bardzo podobne równania obowiązują dla układów ciągłych ). Jeśli ten system jest obserwowalny, to wyjście zakładu, , może być wykorzystane do sterowania stanem obserwatora stanu. ${\displaystyle k}$${\displaystyle x(k)}$${\ Displaystyle u (k)}$${\ Displaystyle y (k)}$${\ Displaystyle y (k)}$

Model obserwatora układu fizycznego jest wtedy zwykle wyprowadzany z powyższych równań. Dodatkowe warunki mogą być zawarte w celu zapewnienia, że ​​po otrzymaniu kolejnych zmierzonych wartości wejść i wyjść zakładu, stan modelu będzie zbieżny ze stanem zakładu. W szczególności wyjście obserwatora można odjąć od wyjścia rośliny, a następnie pomnożyć przez macierz ; jest on następnie dodawany do równań stanu obserwatora w celu wytworzenia tak zwanego obserwatora Luenbergera , zdefiniowanego poniższymi równaniami. Zauważ, że zmienne obserwatora stanu są zwykle oznaczane przez „czapkę”: i aby odróżnić je od zmiennych równań spełnianych przez układ fizyczny. ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (k)}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} (k)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (k + 1) = A {\ kapelusz {x}} (k) + L \ lewo [y (k) - {\ kapelusz {y}} (k) \ prawej] +Bu(k)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} (k) = C {\ kapelusz {x}} (k) + Du (k)}$

Obserwator jest nazywany asymptotycznie stabilnym, jeśli błąd obserwatora zbiega się do zera, gdy . Dla obserwatora Luenberger błąd obserwatora spełnia . Obserwator Luenbergera dla tego układu czasu dyskretnego jest zatem asymptotycznie stabilny, gdy macierz ma wszystkie wartości własne wewnątrz okręgu jednostkowego. ${\ Displaystyle e (k) = {\ kapelusz {x}} (k)-x (k)}$${\displaystyle k\do \infty}$${\ Displaystyle e (k + 1) = (A-LC) e (k)}$${\ Displaystyle A-LC}$

W celach kontrolnych wyjście systemu obserwatorów jest przesyłane z powrotem do wejścia zarówno obserwatora, jak i instalacji poprzez macierz wzmocnień . ${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle u (k) = - K {\ kapelusz {x}} (k)}$

Równania obserwatora stają się wtedy:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (k + 1) = A {\ kapelusz {x}} (k) + L \ lewo (y (k) - {\ kapelusz {y}} (k) \ prawej) -BK{\kapelusz {x}}(k)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} (k) = C {\ kapelusz {x}} (k)-DK {\ kapelusz {x}} (k)}$

lub prościej

${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} (k + 1) = \ lewo (A-BK \ prawo) {\ kapelusz {x}} (k) + L \ lewo (y (k) - {\ kapelusz {y) }}(k)\prawo)}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} (k) = \ lewo (C-DK \ prawo) {\ kapelusz {x}} (k)}$

Dzięki zasadzie separacji wiemy, że możemy wybierać i samodzielnie bez szkody dla ogólnej stabilności systemów. Z reguły bieguny obserwatora są zwykle wybierane tak, aby zbiegały się 10 razy szybciej niż bieguny układu . ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle A-LC}$${\ Displaystyle A-BK}$

Przypadek ciągły

Poprzedni przykład dotyczył obserwatora zaimplementowanego w systemie LTI z czasem dyskretnym. Jednak proces jest podobny w przypadku czasu ciągłego; wzmocnienia obserwatora dobierane są tak, aby dynamika błędu ciągłego czasu asymptotycznie zbiegała się do zera (tj. kiedy jest macierzą Hurwitza ). ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle A-LC}$

Dla systemu liniowego w czasie ciągłym

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = Ax + Bu,}$

${\ Displaystyle y = Cx + Du}$

gdzie , obserwator wygląda podobnie do opisanego powyżej przypadku czasu dyskretnego: ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n} u \ w \ mathbb {R} ^ {m} r \ w \ mathbb {R} ^ {r}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = A {\ kapelusz {x}} + Bu + L \ lewo (y-{\ kapelusz {y}} \ prawej)}$.

${\ Displaystyle {\ kapelusz {y}} = C {\ kapelusz {x}} + Du}$

Błąd obserwatora spełnia równanie ${\ Displaystyle e = x-{\ kapelusz {x}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {e}} = (A-LC) e}$.

Wartości własne macierzy mogą być wybrane dowolnie przez odpowiedni dobór wzmocnienia obserwatora, gdy para jest obserwowalna, czyli warunek obserwowalności jest spełniony. W szczególności może być wykonany Hurwitz, więc błąd obserwatora przy . ${\ Displaystyle A-LC}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle [A,C]}$${\ Displaystyle e (t) \ do 0}$${\displaystyle t\do \infty}$

Peaking i inne metody obserwatora

Gdy wzmocnienie obserwatora jest wysokie, liniowy obserwator Luenbergera bardzo szybko zbliża się do stanów układu. Jednak wysokie wzmocnienie obserwatora prowadzi do zjawiska szczytowego, w którym początkowy błąd estymatora może być zbyt duży (tj. niepraktyczny lub niebezpieczny w użyciu). W konsekwencji dostępne są nieliniowe metody obserwatora o dużym wzmocnieniu, które szybko zbiegają się bez zjawiska pików. Na przykład, sterowanie trybem ślizgowym może być wykorzystane do zaprojektowania obserwatora, który sprowadza jeden błąd estymowanego stanu do zera w skończonym czasie, nawet przy występowaniu błędu pomiaru; w pozostałych stanach występuje błąd, który zachowuje się podobnie do błędu obserwatora Luenbergera po ustąpieniu pików. Obserwatorzy w trybie ślizgowym mają również atrakcyjne właściwości odporności na zakłócenia, które są podobne do filtra Kalmana . Innym podejściem jest zastosowanie multi-obserwatora, który znacząco poprawia stany nieustalone i redukuje przeregulowanie obserwatora. Multi obserwator może być dostosowany do każdego systemu, w którym ma zastosowanie High Gain Observer. ${\ Displaystyle L}$

Obserwatorzy stanu dla układów nieliniowych

Wysokie wzmocnienie, tryb ślizgowy i obserwatorzy rozszerzone są najczęstszymi obserwatorami systemów nieliniowych. Aby zilustrować zastosowanie obserwatorów trybu ślizgowego dla systemów nieliniowych, najpierw rozważmy system nieliniowy bez danych wejściowych:

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x)}$

gdzie . Załóżmy również, że istnieje mierzalny wynik podany przez ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle y \ w \ mathbb {R}}$

${\displaystyle y=h(x).}$

Istnieje kilka nieprzybliżonych podejść do projektowania obserwatora. Dwóch obserwatorów podanych poniżej stosuje się również w przypadku, gdy system ma wejście. To jest,

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x) + B (x) u}$

${\displaystyle y=h(x).}$

Linearyzowalna dynamika błędów

Jedna z sugestii Krenera i Isidori oraz Krenera i Respondka może być zastosowana w sytuacji, gdy istnieje transformacja linearyzująca (tzn. dyfeomorfizm , jak ta stosowana w linearyzacji ze sprzężeniem zwrotnym ) taka, że ​​w nowych zmiennych równania systemowe czytają ${\ Displaystyle Z = \ Phi (x)}$

${\ Displaystyle {\ kropka {z}} = Az + \ phi (y)}$

${\displaystyle y=cz.}$

Obserwator Luenberger jest następnie zaprojektowany jako

${\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {z}}} = A {\ kapelusz {z}} + \ phi (y) - L \ lewo (C {\ kapelusz {z}} - Y \ prawej)}$.

Błąd obserwatora dla transformowanej zmiennej spełnia to samo równanie, co w klasycznym przypadku liniowym. ${\ Displaystyle e = {\ kapelusz {z}}-z}$

${\ Displaystyle {\ kropka {e}} = (A-LC) e}$.

Jak pokazali Gauthier, Hammouri i Othman oraz Hammouri i Kinnaert, jeśli istnieje transformacja taka, że ​​system może zostać przekształcony w formę ${\ Displaystyle Z = \ Phi (x)}$

${\ Displaystyle {\ kropka {z}} = A (u (t)) z + \ phi (y, u (t)),}$

${\displaystyle y=cz,}$

wtedy obserwator jest zaprojektowany jako

${\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {z}}} = A (u (t)) {\ kapelusz {z}} + \ phi (y, u (t)) - L (t) \ lewo (C { \kapelusz {z}}-y\prawo)}$,

gdzie jest zmienny w czasie zysk obserwatora. ${\ Displaystyle L (t)}$

Ciccarella, Dalla Mora i Germani uzyskali bardziej zaawansowane i ogólne wyniki, usuwając potrzebę przekształcenia nieliniowego i udowadniając globalną asymptotyczną zbieżność oszacowanego stanu do stanu rzeczywistego, stosując tylko proste założenia dotyczące regularności.

Obserwator trybu ślizgowego

Jak omówiono dla powyższego przypadku liniowego, zjawisko pikowania występujące w obserwatorach Luenbergera uzasadnia użycie obserwatora modu ślizgowego . Obserwator w trybie ślizgowym wykorzystuje nieliniowe sprzężenie zwrotne o wysokim wzmocnieniu do kierowania szacowanych stanów do hiperpowierzchni, gdzie nie ma różnicy między szacowanym wyjściem a zmierzonym wyjściem. Wzmocnienie nieliniowe stosowane w obserwatorze jest zazwyczaj implementowane za pomocą skalowanej funkcji przełączania, takiej jak signum (tj. sgn) szacowanego – zmierzonego błędu wyjściowego. Stąd, z powodu tego sprzężenia zwrotnego o dużym wzmocnieniu, pole wektorowe obserwatora jest zagięte, tak że trajektorie obserwatora przesuwają się wzdłuż krzywej, gdzie szacowany wynik dokładnie odpowiada zmierzonemu wynikowi. Tak więc, jeśli system jest obserwowalny z jego danych wyjściowych, wszystkie stany obserwatora zostaną przeniesione do rzeczywistych stanów systemu. Dodatkowo, wykorzystując znak błędu do napędzania obserwatora w trybie ślizgowym, trajektorie obserwatora stają się niewrażliwe na wiele form szumu. W związku z tym niektórzy obserwatorzy w trybie przesuwnym mają atrakcyjne właściwości podobne do filtru Kalmana, ale z prostszą implementacją.

Zgodnie z sugestią Drakunova, obserwator ślizgowy można również zaprojektować dla klasy układów nieliniowych. Taki obserwator można zapisać w kategoriach oryginalnego oszacowania zmiennej i ma postać ${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = \ lewo [{\ Frac {\ częściowy H ({\ kapelusz {x}}})} {\ częściowy x}} \ prawej] ^ {-1} M ({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

gdzie:

• Wektor obejmuje skalarnych funkcji signum do wymiarów. To jest, ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot}})}$${\ Displaystyle n}$

  ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (z) = {\ zacząć {bmatrix} \ operatorname {sgn} (z_ {1}) \ \ \ operatorname {sgn} (z_ {2}) \ \ \ vdots \ \ \ operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\nazwa operatora {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  dla wektora .${\ Displaystyle Z \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$

• Wektor ma składniki, które są funkcją wyjściową i jej powtarzającymi się pochodnymi Liego. W szczególności, ${\ Displaystyle H (x)}$${\ Displaystyle h (x)}$

  ${\ Displaystyle H (x) \ triangleq {\ zacząć {bmatrix} h_ {1} (x) \ \ h_ {2} (x) \ \ h_ {3} (x) \ \ \ vdots \ \ h_ {n} (x)\end{bmatryca}}\triangleq {\begin{bmatryca}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \ \L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatryca}}}$

  gdzie jest i- ^tą pochodną Lie funkcji wyjścia wzdłuż pola wektorowego (tj. wzdłuż trajektorii układu nieliniowego). W szczególnym przypadku, gdy system nie ma wejście lub ma względny stopień z n , to zbiór wyjścia i jego pochodne. Ponieważ odwrotnością Jacobiego linearyzacji of musi istnieć dla tego obserwatora być dobrze zdefiniowane, transformacja jest gwarancją miejscowy dyfeomorfizmu .${\ Displaystyle L_ {f} ^ {i} h}$ ${\ Displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle H (x (t))}$${\ Displaystyle y (t) = h (x (t))}$${\displaystyle n-1}$${\ Displaystyle H (x)}$${\ Displaystyle H (x)}$

• Macierzą diagonalną z korzyści jest taka, że ${\ Displaystyle M ({\ kapelusz {x}})}$

  ${\ Displaystyle M ({\ kapelusz {x}}) \ triangleq \ operatorname {diag} (m_ {1} ({\ kapelusz {x}}), m_ {2} ({\ kapelusz {x}}), \ ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&&\\&m_{2}({\hat {x} })&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix }}}$

  gdzie dla każdego elementu i odpowiednio duży, aby zapewnić osiągalność trybu przesuwnego.${\ Displaystyle i \ w \ {1,2, \ kropki, n \}}$${\ Displaystyle m_ {i} ({\ kapelusz {x}})> 0}$

• Wektor obserwatora jest taki, że ${\ Displaystyle V (t)}$

  ${\ Displaystyle V (t) \ triangleq {\ zacząć {bmatrix} v_ {1} (t) \ \ v_ {2} (t) \ \ v_ {3} (t) \ \ \ vdots \ \ v_ {i} (t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatryca}}\triangleq {\begin{bmatryca}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}} )\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2} ({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}} \\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat { x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\nazwa operatora {sgn}(v_{n -1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{równanie}}\end{bmatryca}}}$

  gdzie tutaj jest normalna funkcja signum zdefiniowana dla skalarów i oznacza „operator wartości równoważnej” funkcji nieciągłej w trybie przesuwania.${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot}})}$${\ Displaystyle \ {\ ldots \} _ {\ tekst {równ.}}}$

Pomysł można krótko wyjaśnić w następujący sposób. Zgodnie z teorią trybów ślizgowych, aby opisać zachowanie systemu, po rozpoczęciu trybu ślizgowego funkcję należy zastąpić wartościami równoważnymi (patrz równoważne sterowanie w teorii trybów ślizgowych ). W praktyce przełącza (gada) z dużą częstotliwością, przy składowej wolnej równej wartości ekwiwalentnej. Zastosowanie odpowiedniego filtra dolnoprzepustowego w celu pozbycia się włączonej składowej wysokiej częstotliwości pozwala uzyskać wartość sterowania równoważnego, która zawiera więcej informacji o stanie estymowanego układu. Opisany powyżej obserwator wykorzystuje tę metodę kilkakrotnie, aby uzyskać stan układu nieliniowego idealnie w skończonym czasie. ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (v_ {i} (t) \! - \! h_ {i} ({\ kapelusz {x}} (t)))}$

Zmodyfikowany błąd obserwacji można zapisać w stanach przekształconych . W szczególności, ${\ Displaystyle e = H (x)-H ({\ kapelusz {x}})}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ kropka {e}} i = {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} H (x) - {\ Frac {\ operatorname {d} } }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M ({\hat {x}})\,\nazwa operatora {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{wyrównany}}}$

a więc

${\ Displaystyle {\ zacznij {wyrównany} {\ zacznij {bmatrix} {\ kropka {e}} _ {1} \ \ {\ kropka {e}} _ {2} \ \ \ vdots \ \ {\ kropka {e }}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord { \overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h} }_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmacierz }} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\, \operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({ \hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\ \vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmacierz}}-{\begin{bmacierz}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{ 1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\nazwa operatora {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\ kapelusz {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\nazwa operatora {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)) )\\\vdots \\m_{n-1}\nazwa operatora {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\ m_{n}\nazwa operatora {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmacierz}}\\&={\begin{bmacierz }h_{2}(x)-m_{1}({\kapelusz {x}} )\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x )}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x )-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\nazwa operatora {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\ kapelusz {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\nazwa operatora {sgn}(v_{n}(t )-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatryca}}.\end{wyrównany}}}$

Więc:

1. Dopóki , pierwszy rząd dynamiki błędu, , będzie spełniał warunki wystarczające do wejścia w tryb ślizgowy w skończonym czasie.${\ Displaystyle m_ {1} ({\ kapelusz {x}}) \ geq | h_ {2} (x (t)) |}$${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\kapelusz {x}})-m_{1}({\kapelusz {x}})\operator {sgn}(e_{ 1})}$${\displaystyle e_{1}=0}$
2. Na powierzchni odpowiednia kontrolka równoważna będzie równa , i tak . Stąd tak długo, jak , drugi rząd dynamiki błędu, , wejdzie w tryb ślizgowy w skończonym czasie.${\displaystyle e_{1}=0}$${\ Displaystyle v_ {2} (t) = \ {m_ {1} ({\ kapelusz {x}}) \ operatorname {sgn} (e_ {1}) \} _ {\ tekst {eq}}}$${\displaystyle h_{2}(x)}$${\ Displaystyle V_ {2} (t) -h_ {2} ({\ kapelusz {x}}) = h_ {2} (x) - h_ {2} ({\ kapelusz {x}}) = e_ {2 }}$${\ Displaystyle m_ {2} ({\ kapelusz {x}}) \ geq | h_ {3} (x (t)) |}$${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\kapelusz {x}})-m_{2}({\kapelusz {x}})\operator {sgn}(e_{ 2})}$${\displaystyle e_{2}=0}$
3. Na powierzchni odpowiednia kontrola równoważna będzie równa . W związku z tym, o ile The ^ty rząd dynamiki błędów wejdzie do trybu ślizgowych w ograniczonym czasie.${\ Displaystyle e_ {i} = 0}$${\ Displaystyle V_ {i + 1} (t) = \ {\ ldots \} _ {\ tekst {równ.}}}$${\ Displaystyle h_ {i + 1} (x)}$${\ Displaystyle m_ {i + 1} ({\ kapelusz {x}}) \ geq | h_ {i + 2} (x (t)) |}$${\ Displaystyle (i+1)}$${\ Displaystyle {\ kropka {e}} _ {i + 1} = h_ {i + 2} ({\ kapelusz {x}})-m_ {i + 1} ({\ kapelusz {x}}) \ operatorname {sgn}(e_{i+1})}$${\displaystyle e_{i+1}=0}$

Tak więc, dla wystarczająco dużych zysków, wszystkie stany oszacowane przez obserwatora osiągają stan rzeczywisty w skończonym czasie. W rzeczywistości zwiększanie umożliwia osiągnięcie zbieżności w dowolnym pożądanym, skończonym czasie, o ile każda funkcja może być powiązana z pewnością. Stąd wymóg, aby odwzorowanie było dyfeomorfizmem (tj. aby jego linearyzacja jakobianu była odwracalna) zakłada, że ​​zbieżność oszacowanego wyniku implikuje zbieżność oszacowanego stanu. Oznacza to, że wymaganie jest warunkiem obserwowalności. ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\ Displaystyle | h_ {i} (x (0)) |}$${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$

W przypadku obserwatora trybu ślizgowego dla układu z wejściem konieczne są dodatkowe warunki, aby błąd obserwacji był niezależny od wejścia. Na przykład, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy H (x)} {\ częściowy x}} B (x)}$

nie zależy od czasu. Obserwator jest wtedy

${\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = \ lewo [{\ Frac {\ częściowy H ({\ kapelusz {x}}})} {\ częściowy x}} \ prawej] ^ {-1} M ({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$

Wielu obserwatorów

Multi Observer rozszerza strukturę High Gain Observer z jednego do wielu obserwatorów, z wieloma modelami pracującymi jednocześnie. Ma on dwie warstwy: pierwsza składa się z wielu obserwatorów o dużym wzmocnieniu z różnymi stanami estymacji, a druga określa wagi ważności obserwatorów pierwszej warstwy. Algorytm jest prosty w implementacji i nie zawiera żadnych ryzykownych operacji, takich jak różnicowanie. Pomysł wielu modeli był wcześniej stosowany w celu uzyskania informacji w sterowaniu adaptacyjnym.

• 

  Schemat wielu obserwatorów

Załóżmy, że liczba obserwatorów wysokiego zysku wynosi n +1

${\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {x_ {k}}}} (t) = A {\ kapelusz {x_ {k}}} (t) + B \ phi _ {0} ({\ kapelusz {x} }(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))}$ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {y_ {k}}} (t) = C {\ kapelusz {x_ {k}}} (t)}$

gdzie jest indeks obserwatora. Obserwatorzy pierwszej warstwy mają takie samo wzmocnienie, ale różnią się od stanu początkowego . W drugiej warstwie wszystkie z obserwatorów są łączone w jeden, aby uzyskać oszacowanie pojedynczego wektora stanu ${\ Displaystyle k = 1 ... n + 1}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x_{k}(0)}$${\ Displaystyle x_ {k} (t)}$${\ Displaystyle k = 1 ... n + 1}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {y_ {k}}} (t) = \ suma \ limity _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) {\ kapelusz {x_ {k} }}(t)}$

gdzie są czynniki wagowe. Czynniki te są zmieniane, aby zapewnić estymację w drugiej warstwie i usprawnić proces obserwacji. ${\ Displaystyle \ alfa _ {k} \ w \ mathbb {R}}$

Załóżmy, że

${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) \ xi _ {k} (t) = 0}$

i

${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) = 1}$

gdzie jest jakiś wektor, który zależy od błędu obserwatora . ${\ Displaystyle \ xi _ {k} \ w \ mathbb {R} ^ {n \ razy 1}}$${\displaystyle kth}$${\ Displaystyle e_ {k} (t)}$

Niektóre transformacje prowadzą do problemu regresji liniowej

${\ Displaystyle [- \ xi _ {n + 1} (t)] = [\ xi _ {1} (t) - \ xi _ {n + 1} (t) \ kropki \ xi _ {k} (t )-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatryca}\alpha _ {1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmacierz}}}$

Wzór ten daje możliwość szacowania . Aby skonstruować rozmaitość, potrzebujemy mapowania między i zapewnienia, które jest obliczalne w oparciu o mierzalne sygnały. Pierwszą rzeczą jest wyeliminowanie zjawiska parkowania z powodu błędu obserwatora ${\ Displaystyle \ alfa _ {k} (t)}$${\ Displaystyle m: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ xi _ {k} (t) = m (e_ {k} (t))}$${\ Displaystyle \ X _ {k} (t)}$${\ Displaystyle \ alfa _ {k} (t)}$

${\ Displaystyle e_ {\ sigma} (t) = \ suma \ limity _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) e_ {k} (t)}$.

Oblicz pochodną czasów, aby znaleźć odwzorowanie m prowadzące do zdefiniowanego jako ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ eta _ {k} (t) = {\ kapelusz {y}} _ {k} (t) -y (t)}$${\ Displaystyle \ X _ {k} (t)}$

${\ Displaystyle \ xi _ {k} (t) = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i \ cdots & 0 \ \ CL i 1 i 0 i \ cdots & 0 \ \ CAL & CL i 1 & \ cdots & 0 \ \ CA ^ {2} L & CAL & CL & \ cdots & 0 \ \ \ vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}( \tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmacierz}}}$

gdzie jest pewna stała czasowa. Należy zauważyć, że przekaźniki na obu i ich całkach, dlatego są łatwo dostępne w systemie sterowania. Dalej określa prawo szacowania; a tym samym dowodzi, że rozmaitość jest mierzalna. W drugiej warstwie na wprowadza się jako estymat współczynników. Błąd mapowania jest określony jako ${\displaystyle t_{d}>0}$${\ Displaystyle \ X _ {k} (t)}$${\ Displaystyle \eta _ {k} (t)}$${\ Displaystyle \ alfa _ {k} (t)}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ alfa}} _ {k} (t)}$${\ Displaystyle k = 1 \ kropki n + 1}$${\ Displaystyle \ alfa _ {k} (t)}$

${\ Displaystyle e_ {\ xi} (t) = \ suma \ limity _ {k = 1} ^ {n + 1} {\ kapelusz {\ alfa}} _ {k} (t) \ xi _ {k} ( t)}$

gdzie . Jeżeli współczynniki są równe , to błąd odwzorowania Teraz można obliczyć z powyższego równania, a co za tym idzie zjawisko pikowania jest redukowane dzięki właściwościom rozmaitości. Stworzone mapowanie daje dużą elastyczność w procesie estymacji. Nawet możliwe jest oszacowanie wartości w drugiej warstwie i obliczenie stanu . ${\ Displaystyle e_ {\ xi} (t) \ w \ mathbb {R} ^ {n \ razy 1}, {\ kapelusz {\ alfa}} _ {k} (t) \ w \ mathbb {R}}$${\displaystyle {\kapelusz {\alfa}}(t)}$${\ Displaystyle \ alfa _ {k} (t)}$${\ Displaystyle e_ {\ xi} (t) = 0}$${\displaystyle {\kapelusz {x}}}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x}$

Obserwatorzy ograniczający

Obserwatorzy ograniczający lub interwałowy stanowią klasę obserwatorów, które zapewniają dwie oceny stanu jednocześnie: jedna z ocen zapewnia górną granicę rzeczywistej wartości stanu, podczas gdy druga zapewnia dolną granicę. Wiadomo zatem, że rzeczywista wartość stanu zawsze mieści się w tych dwóch szacunkach.

Granice te są bardzo ważne w zastosowaniach praktycznych, ponieważ umożliwiają każdorazowe poznanie dokładności estymacji.

Matematycznie można użyć dwóch obserwatorów Luenbergera, jeśli są odpowiednio dobrane, wykorzystując na przykład dodatnie własności układów : jeden dla górnej granicy (która zapewnia zbieżność do zera z góry, gdy , przy braku szumu i niepewności ), oraz dolna granica (która zapewnia, że zbiega się do zera od dołu). To znaczy zawsze${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} _ {U} (k)}$${\ Displaystyle e (k) = {\ kapelusz {x}} _ {U} (k)-x (k)}$${\displaystyle k\do \infty}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} _ {L} (k)}$${\ Displaystyle e (k) = {\ kapelusz {x}} _ {L} (k)-x (k)}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} _ {U} (k) \ geq x (k) \ geq {\ kapelusz {x}} _ {L} (k)}$

Zobacz też

• Estymacja ruchomego horyzontu
• Filtr Kalmana
• Rozszerzony filtr Kalmana
• Systemy pozytywne

Bibliografia

Referencje w linii

Ogólne odniesienia General

Linki zewnętrzne

• Filtr Kalmana wyjaśniony w prosty sposób , samouczek krok po kroku dotyczący filtra Kalmana z równaniami