Kolejność całkowania (rachunek różniczkowy) - Order of integration (calculus)

W rachunku różniczkowym , zamiana kolejności całkowania jest metodologią, która przekształca iterowane całki (lub całki wielokrotne za pomocą twierdzenia Fubiniego ) funkcji w inne, miejmy nadzieję prostsze całki, poprzez zmianę kolejności, w której wykonywane są całki. W niektórych przypadkach kolejność integracji może być prawidłowo zamieniona; w innych nie.

Stwierdzenie problemu

Problemem egzaminacyjnym jest ocena całki postaci

{\ Displaystyle \ iint _ {D} \ f (x, y) \ dx \ dy}

gdzie D jest jakimś dwuwymiarowym obszarem na płaszczyźnie xy . Dla niektórych funkcji f prostego integracji jest możliwe, ale jeżeli nie jest to prawdą, integralny czasami może być zmniejszona do prostszej postaci, zmieniając kolejność integracji. Trudność tej wymiany polega na określeniu zmiany opisu dziedziny D .

Metoda ma również zastosowanie do innych całek wielokrotnych .

Czasami, nawet jeśli pełna ocena jest trudna, a może wymaga całkowania numerycznego, całka podwójna może zostać zredukowana do całkowania pojedynczego, jak pokazano poniżej. Redukcja do pojedynczej integracji sprawia, że ocena numeryczna jest znacznie łatwiejsza i wydajniejsza.

Związek z integracją przez części

Rysunek 1: Integrację na trójkątnym obszarze można wykonać za pomocą pionowych lub poziomych pasków jako pierwszego kroku. To jest widok z góry, patrząc w dół osi z na płaszczyznę xy . Nachylona linia to krzywa y = x .

Rozważ iterowaną całkę

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \ \ int _ {a} ^ {x} \ h (y) \ dy \ dx}

które napiszemy, używając notacji przedrostkowej powszechnie spotykanej w fizyce:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \ \ int _ {a} ^ {x} \ h (y) \ dy.}

W tym wyrażeniu druga całka jest obliczana najpierw względem y, a x jest utrzymywane na stałym poziomie—pasek o szerokości dx jest całkowany najpierw w kierunku y (pasek o szerokości dx w kierunku x jest całkowany względem y zmiennej w kierunku y ), dodając nieskończoną liczbę prostokątów o szerokości dy wzdłuż osi y . Tworzy to trójwymiarowy plaster dx szerokości wzdłuż x -osiowy z Y = do y = x wzdłuż Y -osiowy i w z kierunkiem oo = f ( x , y ). Zauważ, że jeśli grubość dx jest nieskończenie mała, x zmienia się tylko nieskończenie maleńko na wycinku. Możemy założyć, że x jest stałe. Ta integracja jest taka, jak pokazano na lewym panelu na rysunku 1, ale jest niewygodna, zwłaszcza gdy funkcja h ( y ) nie jest łatwa do zintegrowania. Całkę można zredukować do pojedynczego całkowania, odwracając kolejność całkowania, jak pokazano na prawym panelu rysunku. Aby zrealizować tę wymianę zmiennych, najpierw całkuje się pasek szerokości dy od linii x = y do granicy x = z , a następnie całkuje wynik od y = a do y = z , co daje w wyniku:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \ \ int _ {a} ^ {x} h (y) \ dy = \ int _ {a} ^ {z} h (y) \ dy \ \ int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(zy\right)h(y)\,dy.}

Wynik ten można uznać za przykład wzoru na całkowanie przez części , jak podano poniżej:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} f (x) g '(x) \ dx = \ lewo [f (x) g (x) \ prawo] _ {a} ^ {z} - \ int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx}

Zastąpić:

{\ Displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} h (y) \ dy ~ {\ tekst {i}} ~ g '(x) = 1.}

Co daje wynik.

Całki główne-wartość

Aby zapoznać się z zastosowaniem do całek głównych wartości , zobacz Whittaker i Watson, Gakhov, Lu lub Zwillinger. Zobacz także omówienie transformacji Poincaré-Bertrand w Obolashvili. Przykład, w którym kolejności integracji nie można wymienić, podaje Kanwal:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi ja) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} {\ Frac {d {\ tau} {1}} {{\ tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}

podczas:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} g (\ tau) \ d \ tau \ lewo (\ int _ {l} ^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right )=0\ .}

Druga postać jest oceniana za pomocą częściowego rozszerzenia frakcji i oceny za pomocą wzoru Sokhotskiego-Plemelja :

{\ Displaystyle \ int _ {L} ^ {*} {\ Frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1}-t}} = \ int _ {L} ^ {*} {\ Frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}

Notacja wskazuje wartość główną Cauchy'ego . Zobacz Kanwala. ${\ Displaystyle \ int _ {L} ^ {*}}$

Podstawowe twierdzenia

Omówienie podstaw odwrócenia kolejności integracji można znaleźć w książce Fourier Analysis TW Körnera. Swoją dyskusję wprowadza na przykładzie, gdzie wymiana integracji prowadzi do dwóch różnych odpowiedzi, ponieważ warunki Twierdzenia II nie są spełnione. Oto przykład:

{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {2}-y ^ {2}} {\ po lewej (x ^ {2} + Y ^ {2} \ po prawej) ^ { 2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1} {1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}

{\ Displaystyle \ inft _ {1} ^ {\ infty} \ po lewej (\ inft _ {1} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {2}-y ^ {2}} {\ po lewej (x ^ {2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}

{\ Displaystyle \ inft _ {1} ^ {\ infty} \ lewo (\ infty _ ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {2}-y ^ {2}} {\ lewo (x ^ {2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}

Poniżej przytoczono dwa podstawowe twierdzenia rządzące dopuszczalnością wymiany za Chaudhry i Zubair:

Twierdzenie I — Niech f ( x , y ) będzie funkcją ciągłą o stałym znaku określonym dla a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞ i niech całki

{\ Displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \ dx}

oraz

{\ Displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \ dy}

traktowane jako funkcje odpowiedniego parametru są odpowiednio ciągłe dla c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Wtedy jeśli przynajmniej jedna z iterowanych całek

{\ Displaystyle \ inft _ {c} ^ {\ infty} \ lewo (\ inft _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ prawej) dy}

oraz

{\ Displaystyle \ inft _ {a} ^ {\ infty} \ \ lewo (\ inft _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ prawej) dx}

jest zbieżny, druga całka również jest zbieżna i ich wartości są zbieżne.

Twierdzenie II — Niech f ( x , y ) będzie ciągłe dla a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞ i niech całki

{\ Displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \ dx}

oraz

{\ Displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \ dy}

być odpowiednio jednostajnie zbieżne na każdym skończonym przedziale c ≤ y < C i na każdym skończonym przedziale a ≤ x < A . Wtedy jeśli przynajmniej jedna z iterowanych całek

{\ Displaystyle \ inft _ {c} ^ {\ infty} \ lewo (\ inft _ {a} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dx \ prawej) dy}

oraz

{\ Displaystyle \ inft _ {a} ^ {\ infty} \ \ lewo (\ inft _ {c} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dy \ po prawej) dx}

zbieżności, iterowane całki

{\ Displaystyle \ inft _ {c} ^ {\ infty} \ lewo (\ inft _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) dx \ prawej) dy}

oraz

{\ Displaystyle \ inft _ {a} ^ {\ infty} \ lewo (\ inft _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) dy \ prawej) dx}

również są zbieżne, a ich wartości są równe.

Najważniejsze twierdzenie dla aplikacji jest zacytowane przez Prottera i Morreya:

Twierdzenie — Załóżmy, że F jest regionem, w którym p i q są ciągłe i p ( x ) ≤ q ( x ) dla a ≤ x ≤ b . Załóżmy, że F ( x , y ) jest ciągła na F . Następnie ${\ Displaystyle F = \ lewo \ {(x, \ y): a \ równoważnik x \ równoważnik b, p (x) \ równoważnik y \ równoważnik q (x) \ prawo \} \,}$