Szeregi harmoniczne (matematyka) - Harmonic series (mathematics)
Część serii artykułów o |
Rachunek różniczkowy |
---|
W matematyce , szereg harmoniczny jest rozbieżny nieskończona seria
Jego nazwa wywodzi się od pojęcia alikwotów lub harmoniki w muzyce : długości fal alikwotów wibrującej struny są1/2, 1/3, 1/4, itd. o podstawowej długości fali struny . Każdy wyraz szeregu po pierwszym jest średnią harmoniczną wyrazów sąsiednich; fraza średnia harmoniczna również wywodzi się z muzyki.
Historia
Rozbieżność szeregu harmonicznego została po raz pierwszy udowodniona w XIV wieku przez Nicole Oresme , ale osiągnięcie to popadło w zapomnienie. Dowody dostarczyli w XVII wieku Pietro Mengoli i Johann Bernoulli , ten ostatni dowód opublikował i spopularyzował jego brat Jacob Bernoulli .
Historycznie, sekwencje harmoniczne cieszyły się pewną popularnością wśród architektów. To było tak zwłaszcza w baroku okresie, gdy architekci wykorzystywali je w celu ustalenia proporcji z rzutów kondygnacji , od elewacji , oraz do ustanowienia relacji między harmonicznych wewnętrznej i zewnętrznej detali architektonicznych kościołów i pałaców.
Rozbieżność
Istnieje kilka dobrze znanych dowodów na rozbieżność szeregu harmonicznego. Kilka z nich podano poniżej.
Test porównawczy
Jednym ze sposobów udowodnienia rozbieżności jest porównanie szeregu harmonicznego z innym szeregiem rozbieżnym, w którym każdy mianownik jest zastępowany następną co do wielkości potęgą dwójki :
Każdy wyraz szeregu harmonicznego jest większy lub równy odpowiedniemu wyrazowi drugiego szeregu, a zatem suma szeregu harmonicznego musi być większa lub równa sumie drugiego szeregu. Jednak suma drugiej serii jest nieskończona:
(Tutaj „ ” jest jedynie konwencją zapisu wskazującą, że sumy częściowe szeregu rosną bez ograniczeń.)
Wynika z tego (z testu porównawczego ), że suma szeregu harmonicznego również musi być nieskończona. Dokładniej, powyższe porównanie dowodzi, że
dla każdej dodatniej liczby całkowitej k .
Ten dowód, zaproponowany przez Nicole Oresme około 1350 roku, jest uważany przez wielu w społeczności matematycznej za szczytowy punkt matematyki średniowiecznej . Do dziś jest to standardowy dowód nauczany na lekcjach matematyki. Test kondensacji Cauchy'ego jest uogólnieniem tego argumentu.
Test integralny
Można udowodnić, że szereg harmoniczny jest rozbieżny, porównując jego sumę z całką niewłaściwą . W szczególności rozważ rozmieszczenie prostokątów pokazane na rysunku po prawej stronie. Każdy prostokąt ma szerokość 1 jednostki i1/n jednostki wysokie, więc łączny obszar nieskończonej liczby prostokątów jest sumą szeregu harmonicznego:
Dodatkowo całkowita powierzchnia pod krzywą y =1/xod 1 do nieskończoności dana jest przez całkę niewłaściwą rozbieżną :
Ponieważ ten obszar jest całkowicie zawarty w prostokątach, całkowity obszar prostokątów również musi być nieskończony. Dokładniej, pierwsze prostokąty całkowicie pokrywają obszar pod krzywą i tak
Uogólnienie tego argumentu jest znane jako test całkowy .
Wskaźnik dywergencji
Szeregi harmoniczne rozchodzą się bardzo powoli. Na przykład suma pierwszych 10 43 wyrazów jest mniejsza niż 100. Dzieje się tak, ponieważ sumy częściowe szeregu mają wzrost logarytmiczny . W szczególności,
gdzie γ jest stałą Eulera-Mascheroniego i ε k ~1/2 tysktóra zbliża się do 0, gdy k zmierza do nieskończoności. Leonhard Euler udowodnił zarówno to, jak i jeszcze bardziej uderzający fakt, że suma zawierająca tylko odwrotności liczb pierwszych również jest rozbieżna, tj.
Sumy częściowe
n | Częściowa suma szeregu harmonicznego, H n | |||
---|---|---|---|---|
wyrażona jako ułamek | dziesiętny | względna wielkość | ||
1 | 1 | 1 |
|
|
2 | 3 | /2 | 1,5 |
|
3 | 11 | /6 | ~1.83333 |
|
4 | 25 | /12 | ~2.08333 |
|
5 | 137 | /60 | ~2.28333 |
|
6 | 49 | /20 | 2,45 |
|
7 | 363 | /140 | ~2,59286 |
|
8 | 761 | /280 | ~2,71786 |
|
9 | 7 129 | /2 520 | ~2.82897 |
|
10 | 7 381 | /2 520 | ~2.92897 |
|
11 | 83 711 | /27 720 | ~3.01988 |
|
12 | 86 021 | /27 720 | ~3.10321 |
|
13 | 1 145 993 | /360 360 | ~3.18013 |
|
14 | 1 171 733 | /360 360 | ~3,25156 |
|
15 | 1 195 757 | /360 360 | ~3.31823 |
|
16 | 2 436 559 | /720 720 | ~3.38073 |
|
17 | 42 142 223 | /12 252 240 | ~3.43955 |
|
18 | 14 274 301 | /4 084 080 | ~3.49511 |
|
19 | 275 295 799 | /77 597 520 | ~3,54774 |
|
20 | 55 835 135 | /15 519 504 | ~3,59774 |
|
21 | 18 858 053 | /5 173 168 | ~3.64536 |
|
22 | 19 093 197 | /5 173 168 | ~3.69081 |
|
23 | 444 316 699 | /118 982 864 | ~3,73429 |
|
24 | 1 347 822 955 | /356 948 592 | ~3,77596 |
|
25 | 34 052 522 467 | /8 923 714 800 | ~3.81596 |
|
26 | 34 395 742 267 | /8 923 714 800 | ~3,85442 |
|
27 | 312 536 252 003 | /80 313 433 200 | ~ 3,89146 |
|
28 | 315 404 588 903 | /80 313 433 200 | ~3.92717 |
|
29 | 9 227 046 511 387 | /2 329 089 562 800 | ~3.96165 |
|
30 | 9 304 682 830 147 | /2 329 089 562 800 | ~3.99499 |
|
Skończone częściowe sumy rozbieżnego szeregu harmonicznego,
nazywane są liczbami harmonicznymi .
Różnica między H n i ln n zbiega się do stałej Eulera-Mascheroni . Różnica między dowolnymi dwiema liczbami harmonicznymi nigdy nie jest liczbą całkowitą. Żadne liczby harmoniczne nie są liczbami całkowitymi, z wyjątkiem H 1 = 1 .
Powiązane serie
Naprzemienne szeregi harmoniczne
Serie
jest znany jako przemienny szereg harmoniczny . Szereg ten zbiega się w teście naprzemiennych szeregów . W szczególności suma jest równa logarytmowi naturalnemu 2 :
Przemienny szereg harmoniczny, chociaż warunkowo zbieżny , nie jest całkowicie zbieżny : jeśli wyrazy w szeregu są systematycznie przestawiane, suma staje się ogólnie różna i, w zależności od przegrupowania, może nawet nieskończona.
Przemienny wzór szereg harmonicznych jest szczególnym przypadkiem serii Mercator , w szeregu Taylora dla logarytmu naturalnego.
Pokrewny szereg można wyprowadzić z szeregu Taylora dla arcus tangens :
Jest to znane jako seria Leibniza .
Ogólne szeregi harmoniczne
Ogólnie harmonicznych seria ma postać
gdzie a ≠ 0 i b są liczbami rzeczywistymi, ab/a nie jest zerem ani ujemną liczbą całkowitą.
W teście porównawczym granic z szeregiem harmonicznym wszystkie ogólne szeregi harmoniczne również się rozchodzą.
p -seria
Uogólnienie harmonicznej jest szereg p Serii (lub hyperharmonic serii ), zdefiniowane jako
dla dowolnej liczby rzeczywistej p . Gdy p = 1 , szereg p jest szeregiem harmonicznym, który jest rozbieżny. Albo test całkowy, albo test kondensacji Cauchy'ego pokazuje, że szereg p zbiega się dla wszystkich p > 1 (w tym przypadku nazywa się to szeregiem nadharmonicznym ) i rozchodzi się dla wszystkich p ≤ 1 . Jeśli p > 1 to suma serii p wynosi ζ ( p ) , tj. funkcja zeta Riemanna obliczona w p .
Problem znalezienia sumy dla p = 2 nazywa się problemem Bazylei ; Leonhard Euler pokazał, że tak jestπ 2/6. Wartość sumy dla p = 3 nazywamy stałą Apéry'ego , ponieważ Roger Apéry udowodnił, że jest to liczba niewymierna .
Seria ln
Z serią p powiązana jest seria ln , zdefiniowana jako
dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej p . Można to wykazać za pomocą testu całkowego rozbieżności dla p ≤ 1, ale zbieżności dla wszystkich p > 1 .
φ -seria
Dla dowolnej wypukłej funkcji o wartościach rzeczywistych φ takiej, że
Serie
jest zbieżny.
Losowe szeregi harmoniczne
Losowa seria harmoniczna
gdzie s n są niezależnymi , identycznie rozłożonymi zmiennymi losowymi przyjmującymi z równym prawdopodobieństwem wartości +1 i −11/2, jest dobrze znanym przykładem w teorii prawdopodobieństwa dla szeregu zmiennych losowych, które są zbieżne z prawdopodobieństwem 1 . Fakt tej zbieżności jest łatwą konsekwencją albo twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, albo blisko spokrewnionej maksymalnej nierówności Kołmogorowa . Byron Schmuland z University of Alberta zbadał dalej właściwości losowych szeregów harmonicznych i wykazał, że szereg zbieżny jest zmienną losową o pewnych interesujących właściwościach. W szczególności funkcja gęstości prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej oceniona na +2 lub na -2 przyjmuje wartość0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764 ..., różniące się od1/8o mniej niż 10-42 . Artykuł Schmulanda wyjaśnia, dlaczego prawdopodobieństwo to jest tak bliskie, choć nie do końca,1/8. Dokładna wartość tego prawdopodobieństwa jest podana przez nieskończoną całkę cosinus C 2 podzieloną przez π .
Zubożony szereg harmoniczny
Zubożonej szereg harmoniczny gdzie wszystkie warunki, w których pojawia się cyfra 9 Wszędzie w mianowniku są usuwane mogą być pokazane zbiegają do wartości 22,92067 66192 64150 34816 ... . W rzeczywistości, gdy wszystkie terminy zawierające określony ciąg cyfr (w dowolnej podstawie ) zostaną usunięte, szereg jest zbieżny.
Aplikacje
Szereg harmoniczny może być sprzeczny z intuicją dla uczniów, którzy po raz pierwszy go napotkają, ponieważ jest to szereg rozbieżny, mimo że granica n- tego członu, gdy n zmierza do nieskończoności, wynosi zero. Rozbieżność szeregu harmonicznego jest także źródłem pewnych pozornych paradoksów . Jednym z przykładów jest „ robak na gumce ”. Załóżmy, że robak pełza po nieskończenie elastycznej metrowej gumce w tym samym czasie, gdy gumka jest równomiernie naciągnięta. Jeśli robak porusza się 1 centymetr na minutę, a opaska rozciąga się o 1 metr na minutę, czy robak kiedykolwiek dotrze do końca gumki? Odpowiedź, wbrew intuicji, brzmi „tak”, ponieważ po n minutach stosunek odległości przebytej przez robaka do całkowitej długości gumki wynosi
(W rzeczywistości rzeczywisty stosunek jest nieco mniejszy niż ta suma, ponieważ pasmo stale się rozszerza).
Ponieważ szereg staje się dowolnie duży wraz ze wzrostem n , w końcu stosunek ten musi przekroczyć 1, co oznacza, że robak dociera do końca gumki. Jednak wartość n, przy której to następuje, musi być niezwykle duża: około e 100 , liczba przekraczająca 10 43 minuty (10 37 lat). Chociaż szeregi harmoniczne rozchodzą się, dzieje się to bardzo powoli.
Innym problemem związanym z szeregiem harmonicznym jest problem Jeepa , który (w jednej formie) pyta, ile całkowitego paliwa jest wymagane, aby jeep o ograniczonej zdolności przewożenia paliwa przejechał przez pustynię, prawdopodobnie pozostawiając krople paliwa na trasie. Dystans, który można przebyć przy danej ilości paliwa, jest powiązany z sumami cząstkowymi szeregu harmonicznego, które rosną logarytmicznie. I tak wymagane paliwo rośnie wykładniczo wraz z pożądaną odległością.
Innym przykładem jest problem ze stosami bloków : mając kolekcję identycznych kostek domina, jest oczywiste, że można je ułożyć na krawędzi stołu tak, aby zwisały nad krawędzią stołu bez upadku. Skutkiem sprzecznym z intuicją jest to, że można je układać w taki sposób, aby nawis był dowolnie duży, pod warunkiem, że jest wystarczająco dużo kostek domina.
Z drugiej strony prostszym przykładem jest pływak, który stale zwiększa prędkość, dotykając ścian basenu. Pływak zaczyna pokonywać 10-metrowy basen z prędkością 2 m/s, a przy każdym przejściu do prędkości doliczane są kolejne 2 m/s. Teoretycznie prędkość pływaka jest nieograniczona, ale liczba przepraw w basenie potrzebnych do osiągnięcia tej prędkości staje się bardzo duża; na przykład, aby osiągnąć prędkość światła (ignorując szczególną teorię względności ), pływak musi przepłynąć basen 150 milionów razy. W przeciwieństwie do tej dużej liczby, czas potrzebny do osiągnięcia danej prędkości zależy od sumy serii przy dowolnej liczbie krzyży (iteracji) puli:
Obliczenie sumy (iteracyjnie) pokazuje, że aby osiągnąć prędkość światła potrzeba tylko 97 sekund. Kontynuując przekraczanie tego punktu (przekraczając prędkość światła, ponownie ignorując szczególną teorię względności ), czas potrzebny na przekroczenie basenu w rzeczywistości zbliża się do zera, ponieważ liczba iteracji staje się bardzo duża i chociaż czas potrzebny na przekroczenie basenu wydaje się mają tendencję do zera (przy nieskończonej liczbie iteracji), suma iteracji (czasu potrzebnego na przekroczenie wszystkich puli) nadal będzie się zmieniać w bardzo wolnym tempie.
Zobacz też
Bibliografia
Zewnętrzne linki
- "Seria harmoniczna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- „Seria Harmonic odbiega raz za razem” (PDF) . Przegląd AMATYC . 27 : 31–43. 2006.
- Weisstein, Eric W. „Seria harmoniczna” . MatematykaŚwiat .
- Weisstein, Eric W. „Problem układania książek” . MatematykaŚwiat .
- Hudelson, Matt (1 października 2010). „Dowód bez słów: naprzemienna seria harmoniczna sumuje się do ln 2” (PDF) . Magazyn Matematyka . 83 (4): 294. doi : 10.4169/002557010X521831 . S2CID 119484945 .