Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego - Fundamental theorem of calculus

Podstawowym twierdzenie rachunku jest twierdzenie , że wiąże się pojęcie różnicowania się funkcję (liczonej gradient) z koncepcją integracji funkcji (obliczenie powierzchni pod krzywą). Te dwie operacje są odwrotnością siebie, z wyjątkiem stałej wartości, która zależy od tego, gdzie zaczyna się obliczać powierzchnię.

Pierwsza część twierdzenia, czasami nazywana pierwszym podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego , stwierdza, że ​​jedną z funkcji pierwotnych (zwaną również całką nieoznaczoną ), powiedzmy F , pewnej funkcji f można otrzymać jako całkę z f ze zmienną powiązaną integracji. Oznacza to istnienie funkcji pierwotnych dla funkcji ciągłych .

I odwrotnie, druga część twierdzenia, czasami nazywana drugim podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego , stwierdza, że ​​całkę funkcji f po pewnym przedziale można obliczyć przy użyciu dowolnego, powiedzmy F , z jej nieskończenie wielu funkcji pierwotnych . Ta część twierdzenia ma kluczowe zastosowania praktyczne, ponieważ jawne znalezienie funkcji pierwotnej przez całkowanie symboliczne pozwala uniknąć całkowania numerycznego przy obliczaniu całek.

Historia

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego dotyczy różniczkowania i całkowania, pokazując, że te dwie operacje są zasadniczo odwrotnością siebie. Przed odkryciem tego twierdzenia nie było wiadomo, że te dwie operacje są ze sobą powiązane. Starożytni matematycy greccy wiedzieli, jak obliczyć powierzchnię za pomocą nieskończenie małych , operację, którą teraz nazwalibyśmy integracją. Początki różnicowania podobnie poprzedzają fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego o setki lat; na przykład w XIV wieku pojęcia ciągłości funkcji i ruchu były badane przez Oxford Calculators i innych uczonych. Historyczne znaczenie fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego nie polega na umiejętności obliczania tych operacji, ale na uświadomieniu sobie, że dwie pozornie różne operacje (obliczanie powierzchni geometrycznych i obliczanie gradientów) są w rzeczywistości ściśle powiązane.

Pierwszym opublikowanym twierdzeniem i dowodem szczątkowej formy podstawowego twierdzenia o silnie geometrycznym charakterze był James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow (1630–1677) okazał się bardziej uogólnioną wersją twierdzenia, podczas gdy jego uczeń Isaac Newton (1642–1727) zakończył rozwój otaczającej teorii matematycznej. Gottfried Leibniz (1646-1716) usystematyzował wiedzę w rachunku różniczkowym dla nieskończenie małych ilości i wprowadził stosowaną dziś notację .

Znaczenie geometryczne

Obszar zacieniony w czerwone paski jest zbliżony do h razy f ( x ). Alternatywnie, gdyby funkcja A ( x ) była znana, obszar ten byłby dokładnie A ( x + h ) − A ( x ). Te dwie wartości są w przybliżeniu równe, szczególnie dla małych h .

W przypadku funkcji ciągłej y = f ( x ), której wykres jest wykreślony jako krzywa, każdej wartości x odpowiada funkcja pola powierzchni A ( x ), reprezentująca obszar pod krzywą między 0 a x . Funkcja A ( x ) może nie być znana, ale podano, że reprezentuje ona obszar pod krzywą.

Pole pod krzywą między x i x + h można obliczyć, znajdując pole między 0 i x + h , a następnie odejmując pole między 0 i x . Innymi słowy, pole tego „paska” to A ( x + h ) − A ( x ) .

Istnieje inny sposób oszacowania powierzchni tego samego pasa. Jak pokazano na załączonym rysunku, h mnoży się przez f ( x ), aby znaleźć pole prostokąta, który ma w przybliżeniu taki sam rozmiar jak ten pasek. Więc:

${\ Displaystyle A (x + h) - A (x) \ w przybliżeniu f (x) \ cdot h}$

W rzeczywistości to oszacowanie staje się idealną równością, jeśli dodamy czerwoną część obszaru „nadmiaru” pokazanego na diagramie. Więc:

${\ Displaystyle A (x + h) - A (x) = f (x) \ cdot h + ({\ tekst {czerwony nadmiar}})}$

Terminy przearanżowania:

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {A (x + h) - A (x)} {h}} - {\ Frac {\ tekst {czerwony nadmiar}} {h}}}$.

Gdy h zbliża się do 0 w limicie , można pokazać, że ostatni ułamek zbliża się do zera. Dzieje się tak, ponieważ obszar czerwonej części obszaru nadmiarowego jest mniejszy lub równy obszarowi małego prostokąta z czarną obwódką. Dokładniej,

${\ Displaystyle \ lewo | f (x) - {\ Frac {A (x + h) - A (x)} {h}} \ prawo | = {\ Frac {| {\ tekst {czerwony nadmiar}} |} {h}}\leq {\frac {h(f(x+h_{1})-f(x+h_{2}))}{h}}=f(x+h_{1})-f( x+h_{2}),}$

gdzie i są punktami, w których f osiąga odpowiednio maksimum i minimum w przedziale [ x , x + h ] . Przez ciągłość f , to ostatnie wyrażenie dąży do zera, podobnie jak h . Dlatego lewa strona dąży do zera, tak jak h , co implikuje ${\displaystyle x+h_{1}}$${\displaystyle x+h_{2}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {A (x + h) - A (x)} {h}}.}$

To implikuje f ( x ) = A ′( x ) . Oznacza to, że pochodna funkcji powierzchni A ( x ) istnieje i jest pierwotną funkcją f ( x ); tak więc funkcja powierzchni jest po prostu funkcją pierwotną pierwotnej funkcji. Obliczenie pochodnej funkcji i znalezienie pola pod jej krzywą to operacje „przeciwne”. To jest sedno fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego.

Intuicja fizyczna

Intuicyjnie twierdzenie stwierdza, że ​​suma nieskończenie małych zmian w ilości w czasie (lub w stosunku do jakiejś innej zmiennej) sumuje się do zmiany netto ilości.

Wyobraź sobie na przykład użycie stopera do odmierzania niewielkich przyrostów czasu podczas jazdy samochodem autostradą. Wyobraź sobie również patrzenie na prędkościomierz samochodu podczas jazdy, dzięki czemu w każdej chwili znasz prędkość samochodu. Aby zrozumieć siłę tego twierdzenia, wyobraź sobie również, że nie wolno ci patrzeć przez okno samochodu, tak że nie masz bezpośrednich dowodów na to, jak daleko przejechał samochód.

Dla dowolnego krótkiego przedziału czasu w samochodzie można obliczyć, jak daleko samochód przebył w tym przedziale, mnożąc obecną prędkość samochodu przez długość tego krótkiego przedziału czasu. (To dlatego, że odległość = prędkość czas .) ${\displaystyle \times}$

A teraz wyobraź sobie, że robisz to chwila po chwili, aby w każdym malutkim przedziale czasu wiedzieć, jak daleko przejechał samochód. Zasadniczo możesz następnie obliczyć całkowitą odległość przebytą w samochodzie (nawet jeśli nigdy nie wyglądałeś przez okno), sumując wszystkie te małe odległości.

przebyta odległość = prędkość w dowolnym momencie w malutkim przedziale czasu${\ Displaystyle \ suma}$${\displaystyle \times}$

Innymi słowy,

przebyta odległość = ${\ Displaystyle \ suma v (t) \ razy \ delta t}$

Po prawej stronie tego równania, które staje się nieskończenie małe, operacja „sumowania” odpowiada całkowaniu . Pokazaliśmy więc, że całka z funkcji prędkości może być użyta do obliczenia, jak daleko przejechał samochód. ${\ Displaystyle \ Delta t}$

Teraz pamiętaj, że funkcja prędkości jest pochodną funkcji pozycji. Tak naprawdę pokazaliśmy, że całkowanie prędkości przywraca pierwotną funkcję położenia. To jest podstawowa idea twierdzenia: integracja i różniczkowanie są ściśle powiązanymi operacjami, z których każda jest zasadniczo odwrotnością drugiej.

Innymi słowy, chodzi o czyjejś intuicji fizycznej, stany twierdzenie, że suma zmian w ilości w czasie (takich jak położenie , jak oblicza się mnożąc prędkość razy czas ) dodaje się do całkowitej zmiany netto w ilość. Lub ujmując to bardziej ogólnie:

• Biorąc pod uwagę wielkość, która zmienia się w stosunku do pewnej zmiennej , a${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$
• Biorąc pod uwagę prędkość, z jaką ta wielkość zmienia się w stosunku do tej zmiennej${\displaystyle v(t)}$

wtedy idea, że ​​„odległość równa się prędkość razy czas” odpowiada stwierdzeniu

${\displaystyle dx=v(t)dt}$

co oznacza, że ​​można odzyskać pierwotną funkcję całkując jej pochodną, ​​prędkość , przez . ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle t}$

Oświadczenia formalne

Twierdzenie składa się z dwóch części. W pierwszej części z pochodna pierwotna , natomiast druga część dotyczy relacji pomiędzy funkcja pierwotna i całek .

Pierwsza część

Ta część jest czasami nazywana pierwszym podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego .

Niech f będzie ciągłą funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale domkniętym [ a , b ] . Niech F będzie określoną funkcją, dla wszystkich x w [ a , b ] , by

${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ dt.}$

Wtedy F jest jednostajnie ciągła na [ a , b ] i różniczkowalna na przedziale otwartym ( a , b ) oraz

${\ Displaystyle F '(x) = f (x)}$

dla wszystkich x w ( a , b ) .

Następstwo

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego (animacja)

Podstawowe twierdzenie jest często używane do obliczania całki oznaczonej funkcji, dla której znana jest funkcja pierwotna . W szczególności, jeśli jest funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych on i jest funkcją pierwotną od in then ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \ dt = F (b) - F (a).}$

W konsekwencji zakłada się ciągłość na całym przedziale. Wynik ten został nieco wzmocniony w dalszej części twierdzenia.

Druga część

Ta część jest czasami nazywana drugim fundamentalnym twierdzeniem rachunku różniczkowego lub aksjomatem Newtona-Leibniza .

Niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych na przedziale domkniętym i funkcją pierwotną in : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle (a, b)}$

${\ Displaystyle F '(x) = f (x).}$

Jeśli jest Riemann zabudowy na potem ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx = F (b) - F (a).}$

Druga część jest nieco silniejsza niż następstwo, ponieważ nie zakłada, że jest ciągła. ${\displaystyle f}$

Gdy istnieje funkcja pierwotna , to istnieje nieskończenie wiele funkcji pierwotnych dla , otrzymanych przez dodanie dowolnej stałej do . Ponadto, zgodnie z pierwszą częścią twierdzenia, funkcje pierwotne od zawsze istnieją, gdy jest ciągłe. ${\ Displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Dowód pierwszej części

Dla danego f ( t ) zdefiniuj funkcję F ( x ) jako

${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ dt.}$

Dla dowolnych dwóch liczb x ₁ i x ₁ + Δ x w [ a , b ] mamy

${\ Displaystyle F (x_ {1}) = \ int _ {a} ^ {x_ {1}} f (t) \ dt}$

oraz

${\ Displaystyle F (x_ {1} + \ Delta x) = \ int _ {a} ^ {x_ {1} + \ Delta x} f (t) \ dt.}$

Odjęcie dwóch równości daje

${\ Displaystyle F (x_ {1} + \ Delta x) - F (x_ {1}) = \ int _ {a} ^ {x_ {1} + \ Delta x} f (t) \ dt-\ int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)}$

Można wykazać, że

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {1}} f (t) \ dt + \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {1} + \ delta x} f (t) \ dt =\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

(Suma powierzchni dwóch sąsiednich regionów jest równa powierzchni obu regionów łącznie).

Manipulowanie tym równaniem daje

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {1} + \ Delta x} f (t) \ dt- \ int _ {a} ^ {x_ {1}} f (t) \ dt = \ int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.}$

Zastąpienie powyższego w (1) daje w wyniku

${\ Displaystyle F (x_ {1} + \ Delta x) - F (x_ {1}) = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {1} + \ Delta x} f (t) \ dt .\qquad (2)}$

Zgodnie z twierdzeniem o wartości średniej dla całkowania istnieje liczba rzeczywista taka, że ${\displaystyle c\w [x_{1},x_{1}+\delta x]}$

${\ Displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {1} + \ delta x} f (t) \ dt = f (c) \ cdot \ delta x.}$

Aby zachować prostą notację, piszemy właśnie , ale należy pamiętać, że dla danej funkcji wartość zależy od i od , ale zawsze jest ograniczona do przedziału . Zastępując powyższe w (2) otrzymujemy ${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x_{1}}$${\ Displaystyle \ Delta x}$${\displaystyle [x_{1},x_{1}+\delta x]}$

${\ Displaystyle F (x_ {1} + \ Delta x) - F (x_ {1}) = f (c) \ cdot \ Delta x.}$

Dzieląc obie strony przez daje ${\ Displaystyle \ Delta x}$

${\ Displaystyle {\ Frac {F (x_ {1} + \ Delta x)-F (x_ {1})} {\ Delta x}} = f (c).}$

Wyrażenie po lewej stronie równania to iloraz różnicy Newtona dla F przy x ₁ .

Weź granicę jako → 0 po obu stronach równania. ${\ Displaystyle \ Delta x}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ do 0} {\ Frac {F (x_ {1} + \ Delta x) - F (x_ {1})} {\ Delta x}} = \ Lim _ {\ Delta x\do 0}f(c).}$

Wyrażenie po lewej stronie równania jest definicją pochodnej F przy x ₁ .

${\ Displaystyle F '(x_ {1}) = \ lim _ {\ Delta x \ do 0} f (c). \ qquad (3)}$

Aby znaleźć drugą granicę, użyjemy twierdzenia o ściśnięciu . Liczba c znajduje się w przedziale [ x ₁ , x ₁  + Δ x ], więc x ₁ ≤ c ≤ x ₁  + Δ x .

Również i${\ Displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ do 0} x_ {1} = x_ {1}}$${\ Displaystyle \ Lim _ {\ Delta x \ do 0} x_ {1} + \ Delta x = x_ {1}.}$

Dlatego zgodnie z twierdzeniem o ściśnięciu

${\ Displaystyle \ Lim _ {\ Delta x \ do 0} c = x_ {1}.}$

Funkcja f jest ciągła w x ₁ , granicę można przyjąć wewnątrz funkcji:

${\ Displaystyle \ Lim _ {\ Delta x \ do 0} f (c) = f (x_ {1}).}$

Podstawiając do (3), otrzymujemy

${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}).}$

co uzupełnia dowód.

Dowód następstw

Załóżmy, że F jest funkcją pierwotną f , gdzie f jest ciągłe na [ a , b ]. Pozwolić

${\ Displaystyle G (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ dt}$.

Z pierwszej części twierdzenia wiemy, że G jest również funkcją pierwotną f . Ponieważ F ′ − G ′ = 0 z twierdzenia o wartości średniej wynika, że F − G jest funkcją stałą , to znaczy istnieje liczba c taka, że G ( x ) = F ( x ) +  c dla wszystkich x w [ a , b ] . Niech x  =  a , mamy

${\ Displaystyle F (a) + c = G (a) = \ int _ {a} ^ {a} f (t) \ dt = 0,}$

co oznacza c = − F ( a ). Innymi słowy, G ( x ) = F ( x ) − F ( a ) i tak

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx = G (b) = F (b) - F (a).}$

Dowód drugiej części

To jest dowód graniczny przez sumy Riemanna . Niech f będzie (Riemann) całkowalny na przedziale [ a , b ] i niech f dopuszcza funkcję pierwotną F na [ a , b ]. Zacznij od wielkości F ( b ) − F ( a ) . Niech będą liczby x ₁ , ..., x _n takie, że

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.}$

Wynika, że

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = F (x_ {n}) - F (x_ {0}).}$

Teraz dodajemy każde F ( x _i ) wraz z jego odwrotnością addytywną, aby wynikowa ilość była równa:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F (b) - F (a) i = F (x_ {n}) + [-F (x_ {n-1}) + F (x_ {n-1})]] +\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1 })]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F( x_{1})-F(x_{0})].\end{wyrównany}}}$

Powyższą ilość można zapisać jako sumę:

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} [F (x_ {i}) - F (x_ {i-1})]. \ qquad (1) }$

Następnie posługujemy się twierdzeniem o wartości średniej . Stwierdził krótko,

Niech F będzie ciągła na przedziale domkniętym [ a , b ] i różniczkowalna na przedziale otwartym ( a , b ). Wtedy istnieje jakieś c w ( a , b ) takie, że

${\ Displaystyle F '(c) = {\ Frac {F (b) - F (a)} {ba}}.}$

Wynika, że

${\ Displaystyle F'(c)(ba)=F(b)-F(a).}$

Funkcja F jest różniczkowalna na przedziale [ a , b ]; dlatego jest również różniczkowalna i ciągła na każdym przedziale [ x _{i −1} , x _i ] . Zgodnie z twierdzeniem o wartości średniej (powyżej),

${\ Displaystyle F (x_ {i}) -F (x_ {i-1}) = F '(c_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1}).}$

Podstawiając powyższe do (1), otrzymujemy

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} [F '(c_ {i}) (x_ {i} -x_ {i-1})].}$

Założenie implikuje również, może być wyrażone jako partycja . ${\ Displaystyle F '(c_ {i}) = f (c_ {i}).}$${\ Displaystyle x_ {i}-x_ {i-1}}$${\ Displaystyle \ Delta x}$${\displaystyle i}$

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} [f (c_ {i}) (\ Delta x_ {i})]. \ qquad (2)}$

Zbieżny ciąg sum Riemanna. Liczba w lewym górnym rogu to całkowita powierzchnia niebieskich prostokątów. Zbiegają się do całki oznaczonej funkcji.

Opisujemy obszar prostokąta szerokością razy wysokość i dodajemy te obszary do siebie. Każdy prostokąt, na mocy twierdzenia o wartości średniej , opisuje przybliżenie odcinka krzywej, nad którym jest narysowany. Nie musi też być taka sama dla wszystkich wartości i , czyli innymi słowy, że szerokość prostokątów może się różnić. To, co musimy zrobić, to przybliżyć krzywą n prostokątów. Teraz, gdy rozmiar partycji zmniejsza się i rośnie n , co skutkuje większą liczbą partycji pokrywających przestrzeń, coraz bardziej zbliżamy się do rzeczywistego obszaru krzywej. ${\ Displaystyle \ Delta X_ {i}}$

Przyjmując granicę wyrażenia, gdy norma podziałów zbliża się do zera, dochodzimy do całki Riemanna . Wiemy, że ta granica istnieje, ponieważ założono, że f jest całkowalna. Oznacza to, że przyjmujemy limit, gdy największa partycja zbliża się do zera, więc wszystkie inne partycje są mniejsze, a liczba partycji zbliża się do nieskończoności.

Tak więc przyjmujemy granicę po obu stronach (2). To daje nam

${\ Displaystyle \ lim _ {\ | \ Delta x_ {i} \ | \ do 0} F (b)-F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta x_ {i} \ | \ do 0} \ suma _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$

Ani F ( b ) ani F ( a ) nie są zależne od , więc granica po lewej stronie pozostaje F ( b ) − F ( a ).${\ Displaystyle \ | \ Delta X_ {i} \ |}$

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = \ Lim _ {\ | \ Delta x_ {i} \ | \ do 0} \ suma _ {i = 1} ^ {n} [f (c_ {i}} )(\Delta x_{i})].}$

Wyrażenie po prawej stronie równania definiuje całkę po f od a do b . Dlatego otrzymujemy

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx,}$

co uzupełnia dowód.

Wygląda na to, że pierwsza część twierdzenia wynika bezpośrednio z drugiej. To znaczy, załóżmy, że G jest funkcją pierwotną f . Następnie przez drugie twierdzenie, . Załóżmy teraz . Wtedy F ma taką samą pochodną jak G , a zatem F ′ = f . Ten argument działa jednak tylko wtedy, gdy wiemy już, że f ma funkcję pierwotną, a jedynym sposobem, w jaki wiemy, że wszystkie funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne, jest pierwsza część Twierdzenia Fundamentalnego. Na przykład, jeśli f ( x ) = e ^{− x 2} , to f ma funkcję pierwotną, mianowicie ${\ Displaystyle G (x) -G (a) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ dt}$${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ dt = G (x) -G (a)}$

${\ Displaystyle G (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \ dt}$

i nie ma prostszego wyrażenia dla tej funkcji. Dlatego ważne jest, aby nie interpretować drugiej części twierdzenia jako definicji całki. Rzeczywiście, istnieje wiele funkcji, które są całkowalne, ale nie mają elementarnych funkcji pierwotnych, a funkcje nieciągłe mogą być całkowalne, ale w ogóle nie mają żadnych funkcji pierwotnych. I odwrotnie, wiele funkcji, które mają funkcje pierwotne, nie jest całkowalnych Riemanna (patrz funkcja Volterry ).

Przykłady

Jako przykład załóżmy, że należy obliczyć:

${\ Displaystyle \ int _ {2} ^ {5} x ^ {2} \ dx.}$

Tutaj i możemy użyć jako pierwotną. W związku z tym: ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {x ^ {3}} {3}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {2} ^ {5} x ^ {2} \ dx = F (5) - F (2) = {\ Frac {5 ^ {3}} {3}} - {\ Frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$

Albo ogólniej załóżmy, że…

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ int _ {0} ^ {x} t ^ {3} \ dt}$

należy obliczyć. Tutaj i może być użyty jako pierwotna. W związku z tym: ${\ Displaystyle f (t) = t ^ {3}}$${\ Displaystyle F (t) = {\ Frac {t ^ {4}} {4}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ int _ {0} ^ {x} t ^ {3} \, dt = {\ Frac {d} {dx}} F (x) - {\ Frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$

Lub, równoważnie,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ int _ {0} ^ {x} t ^ {3} \, dt = f (x) {\ Frac {dx} {dx}}-f (0 ){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.}$

Jako przykład teoretyczny twierdzenie można wykorzystać do udowodnienia, że

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {b} f (x) dx. }$

Od,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx i = F (b) - F (a) \ \ \ int _ {a} ^ {c} f (x )dx&=F(c)-F(a),{\text{ i }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end {wyrównany}}}$

wynik wynika z,

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = F (c) - F (a) + F (b) - F (c).}$

Uogólnienia

Funkcja f nie musi być ciągła w całym przedziale. Część I twierdzenia mówi zatem: jeśli f jest dowolną całkowalną funkcją Lebesgue'a na [ a , b ] a x ₀ jest liczbą w [ a , b ] taką, że f jest ciągła w x ₀ , to

${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ dt}$

jest różniczkowalna dla x = x ₀ z F ′( x ₀ ) = f ( x ₀ ). Możemy jeszcze bardziej złagodzić warunki na f i założyć, że jest ona jedynie całkowalna lokalnie. W takim przypadku możemy wywnioskować, że funkcja F jest prawie wszędzie różniczkowalna, a F ′( x ) = f ( x ) prawie wszędzie. W rzeczywistości twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu o różniczkowaniu Lebesgue'a . Wyniki te pozostają prawdziwe dla całki Henstocka-Kurzweila , która pozwala na większą klasę funkcji całkowalnych.

W wyższych wymiarach twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu uogólnia fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego, stwierdzając, że dla prawie każdego x , średnia wartość funkcji f nad kulą o promieniu r wyśrodkowanym w punkcie x dąży do f ( x ), ponieważ r dąży do 0.

Część II twierdzenia jest prawdziwa dla każdej funkcji całkowalnej Lebesgue'a f , która ma funkcję pierwotną F (jednak nie wszystkie funkcje całkowalne mają). Innymi słowy, jeśli funkcja rzeczywista F na [ a , b ] dopuszcza pochodną f ( x ) w każdym punkcie x z [ a , b ] i jeśli ta pochodna f jest całkowalna Lebesgue'a na [ a , b ], to

${\ Displaystyle F (b) - F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (t) \ dt.}$

Ten wynik może się nie powieść dla funkcji ciągłych F, które dopuszczają pochodną f ( x ) w prawie każdym punkcie x , jak pokazuje przykład funkcji Cantora . Jednakże, jeśli F jest absolutnie ciągła , dopuszcza pochodną F′ ( x ) w prawie każdym punkcie x , a ponadto F′ jest całkowalna, gdzie F ( b ) − F ( a ) jest równe całce F′ z [ a , b ]. I odwrotnie, jeśli f jest jakąkolwiek funkcją całkowalną, to F podane w pierwszym wzorze będzie absolutnie ciągłe z F′ = f ae

Warunki tego twierdzenia można ponownie złagodzić, biorąc pod uwagę całki jako całki Henstocka–Kurzweila . W szczególności, jeśli funkcja ciągła F ( x ) dopuszcza pochodną f ( x ) w wszystkich, ale przeliczalnie wielu punktach, wtedy f ( x ) jest całkowalną Henstocka-Kurzweila i F ( b ) - F ( a ) jest równe całce z f na [ a , b ]. Różnica polega na tym, że nie trzeba zakładać całkowalności f .

Wersję twierdzenia Taylora , wyrażającą składnik błędu jako całkę, można uznać za uogólnienie twierdzenia podstawowego.

Istnieje wersja twierdzenia dla funkcji złożonych : załóżmy, że U jest zbiorem otwartym w C i f  : U → C jest funkcją, która ma holomorficzną pierwotną F na U . Następnie dla każdej krzywej y [ , b ] → U , integralną krzywą można obliczyć

${\ Displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \ dz = F (\ gamma (b)) - F (\ gamma (a)).}$

Podstawowe twierdzenie można uogólnić na całki krzywe i powierzchniowe w wyższych wymiarach i na rozmaitościach . Jednym z takich uogólnień oferowanych przez rachunek ruchomych powierzchni jest ewolucja w czasie całek . Najbardziej znanymi rozszerzeniami fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego w wyższych wymiarach są twierdzenie o dywergencji i twierdzenie gradientowe .

Jeden z najbardziej wydajnych uogólnień w tym kierunku jest Stokesa twierdzenie (znany też jako podstawowy twierdzenia wielowymiarowego rachunku) Niech K będzie nastawiony na odcinkowo gładkie kolektora od wymiaru n i pozwolić być gładkim zwartym nośniku ( n  - 1) -a- na M . Jeśli ∂ M oznacza granicę z M ze względu na jej wywołanego orientacji , a następnie ${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ częściowy M} \ omega.}$

Tutaj d jest pochodną zewnętrzną , która jest definiowana tylko przy użyciu struktury rozmaitości.

Twierdzenie to często stosowane w sytuacjach, w których M jest osadzony zorientowane podrozmaitość jakiegoś większego kolektora (np R ^k ), w którym forma jest określona. ${\ Displaystyle \ omega}$

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego pozwala nam postawić całkę oznaczoną jako równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu.

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx}$

można ułożyć jako

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$

z wartością całki. ${\ Displaystyle y (b)}$

Zobacz też

• Różniczkowanie pod znakiem całkowym
• Seria teleskopowa

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne

• "Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Dowód euklidesowy Jamesa Gregory'ego fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego o zbieżności
• Dowód Izaaka Barrowa na podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego
• Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego na imomath.com
• Alternatywny dowód podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego
• Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego MIT .
• Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego Mathworld .