Pole uporządkowane - Ordered field

W matematyce , ciało uporządkowane to pole wraz z całkowitym zamawiającego z jego elementów, który jest kompatybilny z prac polowych. Podstawowym przykładem pola uporządkowanego jest pole liczb rzeczywistych , a każde pole uporządkowane z kompletem Dedekinda jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi.

Każde podpole uporządkowanego pola jest również polem uporządkowanym w kolejności odziedziczonej. Każde pole uporządkowane zawiera uporządkowane podpole, które jest izomorficzne z liczbami wymiernymi . Kwadraty są z konieczności nieujemne w uporządkowanym polu. Oznacza to, że liczby zespolone nie mogą być uporządkowane, ponieważ kwadrat jednostki urojonej i wynosi −1 . Pola skończone nie mogą być uporządkowane.

Historycznie rzecz biorąc , matematycy, w tym David Hilbert , Otto Hölder i Hans Hahn, stopniowo abstrahowali od liczb rzeczywistych aksjomatyzację uporządkowanego pola . To w końcu przekształciło się w teorię pól uporządkowanych i formalnie rzeczywistych pól Artina-Schreiera .

Definicje

Istnieją dwie równoważne wspólne definicje pola uporządkowanego. Definicja porządku całkowitego pojawiła się po raz pierwszy historycznie i jest aksjomatyzacją porządku pierwszego rzędu jako predykatu binarnego . Artin i Schreier podali definicję w kategoriach stożka pozytywnego w 1926 roku, który aksjomatyzuje podzbiór elementów nieujemnych. Chociaż ten ostatni jest wyższego rzędu, postrzeganie stożków dodatnich jako maksymalnych stożków przyimkowych zapewnia szerszy kontekst, w którym uporządkowania pól są ekstremalnymi uporządkowaniami częściowymi. ${\displaystyle \,\leq \,}$

Całkowite zamówienie

Pole wraz z ścisły (całkowitej), aby na to${\displaystyle (F,+,\cdot \,)}$ ${\displaystyle \,<\,}$${\ Displaystyle F}$ pole zamawiane, jeśli zamówienie spełnia następujące właściwości dla wszystkich${\displaystyle a,b,c\in f:}$

• jeśli wtedy i${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a+c<b+c,}$
• jeśli i wtedy${\displaystyle 0<a}$${\displaystyle 0<b}$${\displaystyle 0<a\cdot b.}$

Stożek dodatni

A stożek prepositive lubpreorderingpolatopodzbiór,który ma następujące właściwości: ${\ Displaystyle F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

• Dla i w obu i są w${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle x+y}$${\displaystyle x\cdot y}$${\ Displaystyle P.}$
• Jeśli to W szczególności${\displaystyle x\wf}$${\ Displaystyle x ^ {2} \ w P.}$${\ Displaystyle 1 ^ {2} = 1 \ w P.}$
• Element nie jest w${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle P.}$

A pole preordered to pole wyposażone w preorder. Jego niezerowe elementytworząpodgrupęmultiplikatywnej grupy${\ Displaystyle P.}$${\ Displaystyle P ^ {*}}$${\ Displaystyle F.}$

Jeśli dodatkowo zestaw jest sumą i wzywamy do pozytywnego stożek z niezerowych elementów nazywane są pozytywne elementy${\ Displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -P}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle F.}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle F.}$

Pole uporządkowane to pole wraz z stożkiem dodatnim${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P.}$

Preorderings na są dokładnie przecięciami rodzin pozytywnych czopków na Pozytywne czopki to maksymalne preorderings. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F.}$

Równoważność dwóch definicji

Niech będzie polem. Istnieje bijection między porządkami pól a pozytywnymi czopkami${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F.}$

Biorąc pod uwagę kolejność pole ≤ jak w pierwszej definicji, zestaw elementów, tak że tworzy pozytywny stożek odwrotnie, pozytywny stożek z jak w drugiej definicji, można skojarzyć całkowitego uporządkowania na ustawiając oznacza to całkowite zamawiania spełnia właściwości pierwszej definicji. ${\displaystyle x\geq 0}$${\ Displaystyle F.}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle \,\leq_{P}\,}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle x\leq_{P}y}$${\ Displaystyle yx \ w P.}$${\displaystyle \,\leq_{P}\,}$

Przykłady uporządkowanych pól

Przykładami uporządkowanych pól są:

• z liczbami wymiernymi
• z liczbami rzeczywistymi
• dowolne podpole uporządkowanego pola, takie jak liczby algebraiczne rzeczywiste lub liczby obliczalne
• pole rzeczywistych funkcji wymiernych , gdzie i są wielomianami o rzeczywistych współczynnikach , można przekształcić w uporządkowane ciało, w którym wielomian jest większy niż jakikolwiek stały wielomian, definiując, że kiedykolwiek , dla i . To uporządkowane pole nie jest archimedesowe .${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}\,}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle q(x)\neq 0\,}$${\ Displaystyle p (x) = x}$${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}>0\,}$${\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0\,}$${\ Displaystyle p (x) = p_ {0} \ cdot x ^ {n} + \ cdots}$${\ Displaystyle q (x) = q_ {0} \ cdot x ^ {m} + \ cdots \,}$
• Pole z formalnych szereg Laurenta o współczynnikach rzeczywistych, gdzie x przyjmuje się nieskończenie i pozytywne${\ Displaystyle \ mathbb {R} ((x))}$
• z transseries
• prawdziwe zamknięte pola
• z superreal numery
• te numery Hiperrzeczywista

Te numery surrealistyczne tworzą właściwą klasę zamiast do zestawu , ale poza tym przestrzegać aksjomaty polu zamówione. Każde uporządkowane pole można wpisać w liczby surrealistyczne.

Właściwości uporządkowanych pól

Dla każdego a , b , c , d w F :

• Albo - ≤ 0 ≤ lub ≤ 0 ≤ - .
• Można „dodać nierówności”: jeśli a ≤ b i c ≤ d , to a + c ≤ b + d .
• Można „pomnożyć nierówności z elementami dodatnimi”: jeśli a ≤ b i 0 ≤ c , to ac ≤ bc .
• Przechodniość nierówności: jeśli a < b i b < c , to a < c .
• Jeśli a < b i a , b > 0 , to 1/ b < 1/ a .
• Pole uporządkowane ma charakterystykę 0. (Ponieważ 1 > 0, to 1 + 1 > 0, a 1 + 1 + 1 > 0 itd. Jeśli pole ma charakterystykę p > 0, wtedy −1 będzie sumą p  − 1 jedynki, ale −1 nie jest dodatnie.) W szczególności nie można uporządkować skończonych pól.
• Kwadraty są nieujemne: 0 ≤ a ² dla wszystkich a w F .
• Każda nietrywialna suma kwadratów jest niezerowa. Równoważnie:${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} = 0 \; \ Longrightarrow \; \ forall k \; \ dwukropek a_ {k} = 0.}$

Każde podpole uporządkowanego pola jest również polem uporządkowanym (dziedziczy indukowaną kolejność). Najmniejsze podciało jest izomorficzne z wymiernymi (jak dla każdego innego ciała o charakterystyce 0), a porządek na tym podciale wymiernym jest taki sam jak porządek samych wymiernych. Jeżeli każdy element uporządkowanego pola leży między dwoma elementami jego wymiernego podciała, to mówimy, że pole to jest archimedesowe . W przeciwnym razie takie pole jest polem uporządkowanym niearchimedesowo i zawiera nieskończenie małe . Na przykład liczby rzeczywiste tworzą pole Archimedesa, ale liczby hiperrzeczywiste tworzą pole niearchimedesowe, ponieważ rozszerza liczby rzeczywiste o elementy większe niż jakakolwiek standardowa liczba naturalna .

Pole uporządkowane F jest izomorficzne z polem liczb rzeczywistych R, jeśli każdy niepusty podzbiór F z górnym ograniczeniem w F ma najmniejszą górną granicę w  F . Ta właściwość sugeruje, że pole jest Archimedesa.

Przestrzenie wektorowe nad uporządkowanym polem

Przestrzenie wektorowe (w szczególności n -przestrzenie ) nad ciałem uporządkowanym wykazują pewne szczególne właściwości i mają określone struktury, a mianowicie: orientację , wypukłość , iloczyn skalarny dodatnio określony . Zobacz Rzeczywiste właściwości przestrzeni # Geometryczne i zastosowania do omówienia tych właściwości R ⁿ , które można uogólnić na przestrzenie wektorowe nad innymi uporządkowanymi polami.

Jakie pola można zamówić?

Każde pole uporządkowane jest formalnie rzeczywistym polem , tzn. 0 nie może być zapisane jako suma niezerowych kwadratów.

I odwrotnie, każde formalnie rzeczywiste pole może być wyposażone w zgodne zamówienie całkowite, które zmieni je w uporządkowane pole. (Ta kolejność nie musi być jednoznacznie określona.) Dowód wykorzystuje lemat Zorna .

Ciała skończone i ogólniej ciała o charakterystyce dodatniej nie mogą być zamienione na pola uporządkowane, ponieważ w charakterystyce p element −1 można zapisać jako sumę ( p − 1) kwadratów 1 ² . Te liczby zespolone też nie może stać się polem zamówionej -1 jest kwadratem to jednostka urojona ı . Również liczby p -adyczne nie mogą być uporządkowane, ponieważ zgodnie z lematem Hensela Q ₂ zawiera pierwiastek kwadratowy z -7, stąd 1 ² +1 ² +1 ² +2 ² +( √ −7 ) ² =0, a Q _p ( p  > 2) zawiera pierwiastek kwadratowy z 1− p , stąd ( p −1)⋅1 ² +( √ 1− p ) ² =0.

Topologia indukowana przez zamówienie

Jeżeli F jest wyposażony w topologię rzędu wynikającą z całkowitego rzędu ≤, to aksjomaty gwarantują, że operacje + i × są ciągłe , tak że F jest polem topologicznym .

Topologia Harrisona

Topologia Harrison jest topologia na zbiorze porządków X _F z formalnie rzeczywistym polu F . Każdy rząd można uznać za homomorfizm grup multiplikatywnych od F ^∗ do ±1. Nadanie ± 1 dyskretnych Topologia oraz ± 1 ^F Topologia produkt wywołuje topologii podprzestrzeni o X _F . Te zestawy Harrison tworzą subbasis dla topologii Harrison. Iloczyn jest przestrzenią Boole'a ( zwartą , Hausdorffa i całkowicie rozłączną ), a X _F jest podzbiorem domkniętym, stąd znowu Boolean. ${\ Displaystyle H (a) = \ {P \ w X_ {F}: a \ w P \}}$

Fani i superuporządkowane pola

Wentylatora na F jest preordering T w miejscu, które, gdy S jest podgrupa o indeksie 2 w F ^* zawierającą T  - {0} i zawierające -1, S porządkuje (czyli S jest zamknięty z dodatkiem). Pole nadrzędne to całkowicie rzeczywiste pole, w którym zbiór sum kwadratów tworzy wachlarz.

Zobacz też

• Grupa uporządkowana liniowo  – grupa o niezmiennym translacyjnym porządku całkowitym; tzn. jeśli a ≤ b, to ca ≤ cb
• Zamówiona grupa
• Zamówiony pierścionek
• Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa
• Uporządkowana przestrzeń wektorowa
• Częściowo uporządkowany pierścionek  – Pierścionek z kompatybilnym częściowym zamówieniem
• Przestrzeń częściowo uporządkowana  – Przestrzeń częściowo uporządkowana topologiczna
• Pole zamówienia w przedsprzedaży
• Przestrzeń Riesza  – częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako krata

Uwagi

Bibliografia

• Lam, TY (1983), Zamówienia, wyceny i formy kwadratowe , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl  0516.12001
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia magisterskie z matematyki . 67 . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023 .
• Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. trzecie), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001