Prawdziwe pole zamknięte - Real closed field

W matematyce , ą rzeczywistego pola zamknięte jest pole F , który ma te same pierwszej kolejności właściwości jak zakresie liczb rzeczywistych . Niektóre przykłady to pole liczb rzeczywistych, pole liczb rzeczywistych algebraicznych i pole liczb hiperrzeczywistych .

Definicje

Rzeczywiste pole zamknięte to pole F, w którym spełniony jest dowolny z poniższych warunków równoważnych:

1. F jest elementarnie równoważne liczbom rzeczywistym. Innymi słowy, ma te same własności pierwszego rzędu, co liczby rzeczywiste: każde zdanie w języku pól pierwszego rzędu jest prawdziwe w F wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe w liczbach rzeczywistych.
2. Istnieje całkowity porządek na F, co sprawia, że ​​jest to uporządkowane pole, tak że w tym porządku każdy dodatni element F ma pierwiastek kwadratowy w F, a każdy wielomian nieparzystego stopnia ze współczynnikami w F ma co najmniej jeden pierwiastek w F .
3. F jest formalnie rzeczywistym polem takim, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ze współczynnikami w F ma co najmniej jeden pierwiastek w F , a dla każdego elementu a z F istnieje b w F takie, że a  =  b ² lub a  = − b ² .
4. F nie jest algebraicznie domknięty , ale jego algebraiczne domknięcie jest rozszerzeniem skończonym .
5. F nie jest algebraicznie domknięty, ale rozszerzenie pola jest algebraicznie domknięte.${\ Displaystyle F ({\ sqrt {-1}})}$
6. Jest zamawianie na F , które nie rozciąga się do zamawiającego na każdym prawidłowego rozszerzenia algebraicznego z F .
7. F jest ciałem formalnie rzeczywistym takim, że żadne właściwe rozszerzenie algebraiczne F nie jest formalnie rzeczywiste. (Innymi słowy, pole jest maksymalne w domknięciu algebraicznym ze względu na własność bycia formalnie rzeczywistym).
8. Istnieje uporządkowanie na F, które sprawia, że ​​jest to uporządkowane pole, tak że w tym uporządkowaniu twierdzenie o wartości pośredniej obowiązuje dla wszystkich wielomianów nad F o stopniu ≥ 0.
9. F jest polem uporządkowanym słabo o-minimalnie .

Jeśli F jest uporządkowanym ciałem, twierdzenie Artina-Schreiera stwierdza, że F ma rozszerzenie algebraiczne, zwane rzeczywistym domknięciem K z F , takie, że K jest rzeczywistym domkniętym ciałem, którego uporządkowanie jest rozszerzeniem danego uporządkowania na F i jest unikalny aż do unikalnego izomorfizmu ciał identycznych na F (zauważ, że każdy homomorfizm pierścieni między rzeczywistymi ciałami domkniętymi automatycznie zachowuje porządek , ponieważ x  ≤  y wtedy i tylko wtedy, gdy ∃ z  y  =  x  +  z ² ). Na przykład domknięciem rzeczywistym uporządkowanego ciała liczb wymiernych jest ciało liczb rzeczywistych algebraicznych . Twierdzenie nosi imię Emila Artina i Otto Schreiera , którzy udowodnili je w 1926 roku. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ operatorname {alg}}}$

Jeśli ( F , P ) jest ciało uporządkowane i E jest rozszerzenie Galois z F , a następnie przez Zorna lematu jest ilość uporządkowane rozszerzenie ciała ( M , Q ) o M podpolem E zawierający F i kolejności w M powiększenia P . To M , wraz z jego uporządkowaniem Q , nazywamy względnym domknięciem rzeczywistym ( F , P ) w E . Nazywamy ( F , P ) rzeczywistą zamkniętą względem E , jeśli M jest po prostu F . Gdy E jest algebraiczne zamknięcie z F względna prawdziwy zamknięcie F w E jest rzeczywiście prawdziwy zamknięcie z F opisano wcześniej.

Jeśli F jest polem (nie zakłada się uporządkowania zgodnego z operacjami na polu, ani nie zakłada się, że F jest porządkowalna), to F nadal ma rzeczywiste domknięcie, które może nie być już polem, a tylko prawdziwym zamkniętym pierścieniem . Na przykład prawdziwym zamknięciem pola jest pierścień (dwie kopie odpowiadają dwóm porządkom ). Z drugiej strony, jeśli jest traktowane jako uporządkowane podpole , to jego rzeczywistym zamknięciem jest znowu pole . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ operatorname {alg}} \ razy \ mathbb {R} _ {\ operatorname {alg}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ operatorname {alg}}}$

Rozstrzygalność i eliminacja kwantyfikatora

Język realnych zamkniętych pól zawiera symbole dla operacji dodawania i mnożenia, stałe 0 i 1, a stosunek zlecenia ≤ (a także równości, jeśli ten nie jest uważany za symbol logiczny). W tym języku teoria (pierwszego rzędu) rzeczywistych ciał domkniętych składa się z następujących elementów: ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ tekst {rcf}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ tekst {rcf}}}$

• aksjomaty pól uporządkowanych ;
• aksjomat twierdzący, że każda liczba dodatnia ma pierwiastek kwadratowy;
• dla każdej liczby nieparzystej , aksjomat stwierdzający, że wszystkie wielomiany stopnia mają co najmniej jeden pierwiastek.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Wszystkie powyższe aksjomaty mogą być wyrażone w logice pierwszego rzędu (tj. zakresy kwantyfikacji tylko na elementach pola).

Tarski udowodnił ( ok.  1931 ), że jest zupełny , co oznacza, że ​​dla każdego zdania można dowieść jego prawdziwości lub fałszu na podstawie powyższych aksjomatów. Co więcej, jest rozstrzygalne , co oznacza, że ​​istnieje algorytm, który decyduje o prawdziwości lub fałszywości każdego takiego zdania. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ tekst {rcf}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ tekst {rcf}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ tekst {rcf}}}$

Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga rozszerza ten wynik na rozstrzygalną eliminację kwantyfikatora . Oznacza to, że istnieje algorytm, który dla dowolnej formuły -, która może zawierać wolne zmienne, daje równoważną formułę bez kwantyfikatora w tych samych wolnych zmiennych, gdzie równoważność oznacza, że ​​obie formuły są prawdziwe dla dokładnie tych samych wartości zmiennych . Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga jest rozszerzeniem twierdzenia o rozstrzygalności, ponieważ można łatwo sprawdzić, czy formuła bez kwantyfikatora bez wolnych zmiennych jest prawdziwa czy fałszywa . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ tekst {rcf}}}$

Twierdzenie to można dalej rozszerzyć do następującego twierdzenia o projekcji . Jeśli R jest rzeczywistym polem domkniętym, formuła z n wolnymi zmiennymi definiuje podzbiór R ⁿ , zbiór punktów, które spełniają formułę. Taki podzbiór nazywamy zbiorem semialgebraicznym . Biorąc pod uwagę podzbiór k zmiennych, rzutowanie od R ⁿ do R ^k jest funkcją, która odwzorowuje każdą n -krotkę na k -krotkę składników odpowiadających podzbiorowi zmiennych. Twierdzenie o projekcji zakłada, że ​​rzutowanie zbioru semialgebraicznego jest zbiorem semialgebraicznym i że istnieje algorytm, który, mając wolny kwantyfikatorowy wzór definiujący zbiór semialgebraiczny, tworzy dla jego rzutowania wzór bez kwantyfikatora.

W rzeczywistości twierdzenie o projekcji jest równoważne eliminacji kwantyfikatora, ponieważ projekcja zbioru semialgebraicznego określonego wzorem p ( x , y ) jest zdefiniowana przez

${\displaystyle (\istnieje x)P(x,y)}$

gdzie x i y reprezentują odpowiednio zbiór wyeliminowanych zmiennych i zbiór utrzymywanych zmiennych.

Rozstrzygalność teorii pierwszego rzędu liczb rzeczywistych zależy dramatycznie od branych pod uwagę operacji i funkcji pierwotnych (tu dodawanie i mnożenie). Dodanie innych symboli funkcji, na przykład sinusa lub funkcji wykładniczej , może dostarczyć nierozstrzygalnych teorii; zobacz twierdzenie Richardsona i Rozstrzygalność teorii pierwszego rzędu liczb rzeczywistych .

Złożoność decyzji ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ tekst {rcf}}}$

Oryginalny algorytm Tarskiego do eliminacji kwantyfikatora ma nieelementarną złożoność obliczeniową , co oznacza, że ​​nie ma wieży

${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {n}}}}}}$

może ograniczyć czas wykonania algorytmu, jeśli n jest wielkością formuły wejściowej. Cylindryczny algebraiczna rozkładu , wprowadzony przez George E. Collins , zapewnia o wiele bardziej praktycznym algorytm złożoności

${\ Displaystyle d ^ {2 ^ {O (n)}}}$

gdzie n to całkowita liczba zmiennych (wolnych i związanych), d to iloczyn stopni wielomianów występujących we wzorze, a O ( n ) to duża notacja O .

Davenport i Heintz (1988) udowodnili, że ta złożoność najgorszego przypadku jest prawie optymalna dla eliminacji kwantyfikatora, tworząc rodzinę Φ _n formuł o długości O ( n ) , z n kwantyfikatorami i obejmującą wielomiany o stałym stopniu, tak że każdy kwantyfikator- dowolna formuła równoważna Φ _n musi zawierać wielomiany stopnia i długości , gdzie jest to duża notacja Ω . Pokazuje to, że zarówno złożoność czasowa, jak i złożoność przestrzenna eliminacji kwantyfikatora są wewnętrznie podwójnie wykładnicze . ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (n)}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (n)}}}$${\ Displaystyle \ Omega (n)}$

W przypadku problemu decyzyjnego Ben-Or, Kozen i Reif (1986) twierdzili, że dowiedli, że teoria rzeczywistych ciał domkniętych jest rozstrzygalna w przestrzeni wykładniczej , a więc w czasie podwójnego wykładniczego, ale ich argumentacja (w przypadku więcej niż jedna zmienna) jest ogólnie uważana za wadliwą; patrz Renegar (1992) w celu omówienia.

Dla formuł czysto egzystencjalnych, czyli dla formuł o formie

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

gdzie ⋈ oznacza <, > lub  = , złożoność jest mniejsza. Basu i Roy (1996), pod warunkiem dobrze zachowujących się algorytm zdecydować prawdę takiego wzoru egzystencji z złożoności y ^{k +1} d ^{O ( K )} operacji arytmetycznych i wielomianu przestrzeni .

Zamów właściwości

Niezwykle ważną własnością liczb rzeczywistych jest to, że jest to pole Archimedesa , co oznacza, że ​​ma właściwość Archimedesa, że ​​dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba całkowita większa niż w wartości bezwzględnej . Równoważnym stwierdzeniem jest to, że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieją liczby całkowite zarówno większe, jak i mniejsze. Takie rzeczywiste pola zamknięte, które nie są archimedesowe, są polami uporządkowanymi niearchimedesowymi . Na przykład każde pole liczb hiperrzeczywistych jest zamknięte i niearchimedesowe.

Własność Archimedesa wiąże się z pojęciem kofinalności . Zbiór X zawarty w uporządkowanym zbiorze F jest kofinalny w F, jeśli dla każdego y w F jest x w X takie, że y < x . Innymi słowy, X jest ciągiem nieograniczonym w F . Kofinalność F jest rozmiarem najmniejszego zbioru kofinalnego, to znaczy rozmiarem najmniejszej liczności dającej ciąg nieograniczony. Na przykład liczby naturalne są kofinalne w liczbach rzeczywistych, a zatem kofinalność liczb rzeczywistych wynosi . ${\displaystyle \aleph_{0}}$

Mamy więc następujące niezmienniki określające naturę rzeczywistego ciała domkniętego F :

• Kardynalność F .
• Kofinalność F .

Do tego możemy dodać

• Waga F , która jest minimalnym rozmiarem gęstego podzbioru F .

Te trzy liczby kardynalne mówią nam wiele o własnościach porządku każdego rzeczywistego ciała zamkniętego, chociaż odkrycie, czym one są, może być trudne, zwłaszcza jeśli nie chcemy powoływać się na uogólnioną hipotezę continuum . Istnieją również szczególne właściwości, które mogą lub nie mogą posiadać:

• Pole F jest kompletne, jeśli nie ma uporządkowanego pola K prawidłowo zawierającego F takie, że F jest gęste w K . Jeśli kofinalność F wynosi κ , jest to równoważne stwierdzeniu, że sekwencje Cauchy'ego indeksowane przez κ są zbieżne w F .
• Pole uporządkowane F ma własność zbioru eta η _α , dla liczby porządkowej α , jeśli dla dowolnych dwóch podzbiorów L i U z F o liczności mniejszej niż taka , że każdy element L jest mniejszy niż każdy element U , istnieje element x w F z x większym niż każdy element L i mniejszym niż każdy element U . Jest to ściśle związane z teoretyczną właściwością modelu bycia modelem nasyconym ; dowolne dwa ciała rzeczywiste domknięte są η _α wtedy i tylko wtedy, gdy są -nasycone, a ponadto dwa ciała rzeczywiste domknięte η _α obydwa o liczności są izomorficzne rzędów.${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alfa}}$

Uogólniona hipoteza kontinuum

Charakterystyki rzeczywistych ciał zamkniętych stają się znacznie prostsze, jeśli zechcemy przyjąć uogólnioną hipotezę continuum . Jeżeli hipoteza continuum jest słuszna, wszystkie rzeczywiste ciała domknięte o liczności w kontinuum i posiadające własność η ₁ są izomorficzne. To unikalne pole Ϝ można zdefiniować za pomocą ultramocy , jako , gdzie M jest maksymalnym ideałem nie prowadzącym do pola rzędu izomorficznego do . Jest to najczęściej używane pole liczb hiperrzeczywistych w analizie niestandardowej , a jego unikalność jest równoważna hipotezie continuum. (Nawet bez hipotezy continuum mamy, że jeśli liczność continuum wynosi, to mamy unikalne pole η _β o rozmiarze η _β .) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} / {\ mathbf {M}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ beta}}$

Co więcej, nie potrzebujemy ultramocy do skonstruowania Ϝ , możemy zrobić o wiele bardziej konstruktywnie, niż podciało szeregu z policzalną liczbą niezerowych członów ciała formalnych szeregów potęgowych na całkowicie uporządkowanej podzielnej grupie abelowej G , czyli η ₁ grupa kardynalności ( Alling 1962 ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ((G))}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

Ϝ jednak nie jest pełnym polem; jeśli weźmiemy pod uwagę jego dopełnienie, otrzymamy pole Κ o większej kardynalności. Ϝ ma moc continuum, która według hipotezy to , Κ ma moc , i zawiera a jako gęste podciało. Nie jest to ultramoc, ale jest to pole hiperrealne, a zatem odpowiednie do zastosowań niestandardowych analiz. Można go postrzegać jako analogię liczb rzeczywistych z wyższych wymiarów; z kardynalnością zamiast , kofinalnością zamiast , wagą zamiast , oraz z własnością η ₁ w miejsce własności η ₀ (co oznacza jedynie, że pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi możemy znaleźć inną). ${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

Przykłady prawdziwych pól zamkniętych

• prawdziwe liczby algebraiczne
• na obliczalne numery
• gdy definiowane numery
• z liczbami rzeczywistymi
• liczby nadrzeczywiste
• liczby hiperrzeczywiste
• serii Puiseux o współczynnikach rzeczywistych
• to surrealistyczne numery

Uwagi

Bibliografia

• Alling, Norman L. (1962), „O istnieniu pól rzeczywistych zamkniętych, które są _α -zestawami mocy ℵ _α ”., Trans. Amer. Matematyka. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR  0146089
• Basu, Saugata, Richard Pollack i Marie-Françoise Roy (2003) „Algorytmy w rzeczywistej geometrii algebraicznej” w Algorytmach i obliczeniach w matematyce . Skoczek. ISBN  3-540-33098-4 ( wersja online )
• Michael Ben-Or, Dexter Kozen i John Reif, Złożoność elementarnej algebry i geometrii , Journal of Computer and Systems Sciences 32 (1986), nr. 2, s. 251-264.
• Caviness, BF i Jeremy R. Johnson, wyd. (1998) Eliminacja kwantyfikatora i cylindryczny rozkład algebraiczny . Skoczek. ISBN  3-211-82794-3
• Chen Chung Chang i Howard Jerome Keisler (1989) Teoria modeli . Północna Holandia.
• Dales, HG i W. Hugh Woodin (1996) Super-Real Fields . Uniwersytet Oksfordzki Naciśnij.
• Davenport, James H .; Heintza, Joosa (1988). „Prawdziwa eliminacja kwantyfikatora jest podwójnie wykładnicza” . J. Symb. Oblicz . 5 (1–2): 29–35. doi : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Zbl  0663.03015 .
• Efrat, Ido (2006). Wyceny, zamówienia i teoria Milnor K . Ankiety matematyczne i monografie. 124 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002 .
• Macpherson D., Marker D. i Steinhorn C., Słabe struktury o-minimalne i rzeczywiste pola zamknięte , Przeł. amerykańskiej matematyki. Soc., tom. 352, nr 12, 1998.
• Mishra, Bhubaneswar (1997) „ Computational Real Algebraic Geometry ” w Handbook of Discrete and Computational Geometry . CRC Prasa. wydanie 2004, s. 743. ISBN  1-58488-301-4
• Rajwade, AR (1993). Kwadraty . London Mathematical Society Wykład Uwaga Seria. 171 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022 .
• Renegar, James (1992). „O złożoności obliczeniowej i geometrii teorii liczb rzeczywistych pierwszego rzędu. Część I: Wprowadzenie. Wstępy. Geometria zbiorów półalgebraicznych. Problem decyzyjny dla egzystencjalnej teorii liczb rzeczywistych” . Dziennik Obliczeń Symbolicznych . 13 (3): 255–299. doi : 10.1016/S0747-7171(10)80003-3 .
• Passmore, Grant (2011). Połączone procedury decyzyjne dla arytmetyki nieliniowej, rzeczywistej i złożonej (PDF) (PhD). Uniwersytet w Edynburgu .
• Alfred Tarski (1951) Metoda decyzyjna dla elementarnej algebry i geometrii . Uniw. z Kalifornii Press.
• Erdös, P.; Gillman L.; Henriksen, M. (1955), „Twierdzenie o izomorfizmie dla pól rzeczywistych zamkniętych” , Ann. Matematyki. , 2, 61 (3): 542–554, doi : 10.2307/1969812 , JSTOR  1969812 , MR  0069161

Linki zewnętrzne

• Serwer wstępnego wydruku rzeczywistej geometrii algebraicznej i analitycznej
• Serwer preprintu Model Theory