Produkt (matematyka) - Product (mathematics)

Działania arytmetyczne v T mi

Dodatek (+) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ lewo. {\ zacząć {macierz} \ scriptstyle {\ tekst {termin}} \, + \, {\ tekst {termin}} \ \ \ scriptstyle {\ tekst {summand}} \, + \ ,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{dodaj}}\,+\,{\text{dodaj}}\\\scriptstyle {\text{dodaj}}\,+\,{\text {addend}}\end{macierz}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tekst{suma}}}$ Odejmowanie (-) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ lewo. {\ zacząć {macierz} \ scriptstyle {\ tekst {termin}} \, - \, {\ tekst {termin}} \ \ \ scriptstyle {\ tekst {minukon}} \, - \ ,{\text{subtrahend}}\end{macierz}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tekst{różnica}}}$ Mnożenie (×) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ lewo. {\ zacząć {macierz} \ scriptstyle {\ tekst {współczynnik}} \, \ razy \, {\ tekst {współczynnik}} \ \ \ scriptstyle {\ tekst {mnożnik}} \ \ razy \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{produkt}}}$ Dzielenie (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \lewo.{\początek{macierz}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dywidenda}}}{\scriptstyle {\tekst{dzielnik}}}}\\\scriptstyle {\tekst{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{licznik}}}{\scriptstyle {\text{mianownik}}}}\end{macierz}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\początek{matrycy}\scriptstyle {\tekst{ułamek}}\\\scriptstyle {\tekst{iloraz}}\\\scriptstyle {\tekst {stosunek}}\koniec {matryca}}}$ Potęgowanie ${\displaystyle \scriptstyle {\tekst{podstawa}}^{\tekst{wykładnik}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{moc}}}$ n- ty pierwiastek (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{stopień}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tekst{główny}}}$ Logarytm (log) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ tekst {baza}} ({\ tekst {antylogarytm}}) \, = \,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tekst{logarytm}}}$

W matematyce , A produkt jest wynikiem mnożenia , lub wyrażenie, które identyfikuje czynniki należy pomnożyć. Na przykład 30 jest iloczynem 6 i 5 (wynik mnożenia) i jest iloczynem i (wskazując, że oba czynniki powinny być pomnożone przez siebie). ${\displaystyle x\cdot (2+x)}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle (2 + x)}$

Kolejność mnożenia liczb rzeczywistych lub zespolonych nie ma wpływu na iloczyn; jest to znane jako przemienne prawo mnożenia. Gdy mnoży się macierze lub elementy różnych innych algebr asocjacyjnych , iloczyn zazwyczaj zależy od kolejności czynników. Na przykład mnożenie macierzy jest nieprzemienne, podobnie jak mnożenie w innych algebrach.

W matematyce istnieje wiele różnych rodzajów produktów: oprócz możliwości mnożenia samych liczb, wielomianów lub macierzy, można również definiować produkty na wielu różnych strukturach algebraicznych .

Iloczyn dwóch liczb

Iloczyn dwóch liczb naturalnych

Ułożenie kilku kamieni w prostokątny wzór z rzędami i kolumnami daje ${\ Displaystyle r}$${\displaystyle s}$

${\ Displaystyle r \ cdot s = \ suma _ {i = 1} ^ {s} r = \ underbrace {r + r + \ cdots + r} _ {s {\ tekst {razy}}} = \ suma _ {j =1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ razy}}}}$

kamienie.

Iloczyn dwóch liczb całkowitych

Liczby całkowite pozwalają na liczby dodatnie i ujemne. Ich iloczyn jest określany przez iloczyn ich dodatnich kwot, połączony ze znakiem wynikającym z następującej zasady:

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {| c | cc |} \ hline \ cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end {tablica}} }$

(Ta reguła jest konieczną konsekwencją żądania rozdzielności mnożenia nad dodawaniem i nie jest dodatkową regułą ).

Słowem mamy:

• Minus razy Minus daje Plus
• Minus razy Plus daje Minus
• Plus razy Minus daje Minus
• Plus razy Plus daje Plus

Produkt dwóch frakcji

Dwa ułamki można pomnożyć, mnożąc ich liczniki i mianowniki:

${\ Displaystyle {\ Frac {z} {n}} \ cdot {\ Frac {z}} {n}} = {\ Frac {z \ cdot z} {n \ cdot n}}}$

Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych

Dla ścisłej definicji iloczynu dwóch liczb rzeczywistych zobacz Konstrukcja liczb rzeczywistych .

Formuły

Iloczyn dwóch liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone można pomnożyć przez prawo rozdzielności i fakt, że , w następujący sposób: ${\ Displaystyle i ^ {2} = -1}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (a + b \, i) \ cdot (c + d \, i) i = a \ cdot c + a \ cdot d \, i + b \ cdot c \, i + b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{wyrównany}}}$

Geometryczne znaczenie mnożenia złożonego

Liczby zespolone można zapisać we współrzędnych biegunowych :

${\ Displaystyle a + b \, i = r \ cdot (\ cos (\ varphi ) + i \ sin (\ varphi )) = r \ cdot e ^ {i \ varphi }}$

Ponadto,

${\ Displaystyle c + d \, i = s \ cdot (\ cos (\ psi) + i \ sin (\ psi)} = s \ cdot e ^ {i \ psi}},}$

z którego się otrzymuje

${\ Displaystyle (a \ cdot cb \ cdot d) + (a \ cdot d + b \ cdot c) i = r \ cdot s \ cdot e ^ {i (\ varphi + \ psi)}.}$

Znaczenie geometryczne polega na tym, że wielkości są mnożone, a argumenty dodawane.

Iloczyn dwóch kwaternionów

Iloczyn dwóch kwaternionów można znaleźć w artykule na temat kwaternionów . Zwróć uwagę, że w tym przypadku i są na ogół różne. ${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle b\cdot a}$

Produkt ciągu

Operator iloczynu dla iloczynu ciągu jest oznaczony wielką grecką literą pi Π (analogicznie do użycia wielkiej Sigma Σ jako symbolu sumy ). Na przykład wyrażenie to inny sposób pisania . ${\ Displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {6} i ^ {2}}$${\ Displaystyle 1 \ cdot 4 \ cdot 9 \ cdot 16 \ cdot 25 \ cdot 36}$

Iloczynem ciągu składającego się tylko z jednej liczby jest właśnie ta liczba; iloczyn braku czynników jest nazywany iloczynem pustym i jest równy 1.

Pierścienie przemienne

Pierścienie przemienne mają działanie iloczynowe.

Klasy reszt liczb całkowitych

Klasy pozostałości w pierścieniach można dodać: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle (a + N \ mathbb {Z} ) + (b + N \ mathbb {Z} ) = a + b + N \ mathbb {Z}}$

i pomnożone:

${\ Displaystyle (a + N \ mathbb {Z}) \ cdot (b + N \ mathbb {Z}) = a \ cdot b + N \ mathbb {Z}}$

Skręt

Dwie funkcje od liczb rzeczywistych do siebie można mnożyć w inny sposób, zwany splotem .

Gdyby

${\ Displaystyle \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (t) | \ \ operatorname {d} t < \ infty \ qquad {\ mbox {i}} \ qquad \ int \ limity _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

wtedy całka

${\ Displaystyle (f * g) (t) \;: = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (\ tau) \ cdot g (t - \ tau) \ \ operatorname {d } \tau }$

jest dobrze zdefiniowany i nazywa się splotem.

Zgodnie z transformatą Fouriera splot staje się mnożeniem funkcji punktowej.

Pierścienie wielomianowe

Iloczyn dwóch wielomianów ma postać:

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i} \ prawej) \ cdot \ lewo (\ suma _ {j = 0} ^ {m} b_ {j }X^{j}\right)=\suma _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

z

${\ Displaystyle c_ {k} = \ suma _ {i + j = k} a_ {i} \ cdot b_ {j}}$

Produkty w algebrze liniowej

W algebrze liniowej istnieje wiele różnych rodzajów produktów. Niektóre z nich mają łudząco podobne nazwy ( produktów zewnętrzny , produkt z zewnątrz ), z bardzo różnych znaczeń, podczas gdy inne mają bardzo różne nazwy (produkt zewnętrzną, tensor produktu, produkt Kroneckera), a jednak przekazać zasadniczo ten sam pomysł. Krótki przegląd tych zagadnień znajduje się w kolejnych sekcjach.

Mnożenie przez skalar

Z samej definicji przestrzeni wektorowej można utworzyć iloczyn dowolnego skalara z dowolnym wektorem, dając mapę . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ razy V \ rightarrow V}$

Produkt skalarny

Skalarne produkt jest bi-liniowy mapa:

${\ Displaystyle \ cdot: V \ razy V \ rightarrow \ mathbb {R}}$

z następującymi warunkami, że dla wszystkich . ${\displaystyle v\cdot v>0}$${\ Displaystyle 0 \ nie = v \ w V}$

Z iloczynu skalarnego można zdefiniować normę , pozwalając . ${\ Displaystyle \ | v \ |: = {\ sqrt {v \ cdot v}}}$

Iloczyn skalarny pozwala również na zdefiniowanie kąta pomiędzy dwoma wektorami:

${\ Displaystyle \ cos \ kąt (v, w) = {\ Frac {v \ cdot w} {\ | v \ | \ cdot \ | w \ |}}}$

W wymiarowej przestrzeni euklidesowej, średnia iloczyn skalarny (zwany produkt kropka ) jest dane przez: ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} e_ {i} \ po prawej) \ cdot \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

Produkt krzyżowy w przestrzeni trójwymiarowej

Iloczyn dwóch wektorów w 3 wymiarach jest wektor prostopadły do dwóch czynników, z których długość równa powierzchni równoległoboku trwającej od dwóch czynników.

Iloczyn krzyżowy może być również wyrażony jako wyznacznik formalny :

${\ Displaystyle \ mathbf {u \ razy v} = {\ zacząć {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \ \ u_ {1} i u_ {2} i u_ {3}\ \v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Kompozycja odwzorowań liniowych

Odwzorowanie liniowe można zdefiniować jako funkcję f między dwiema przestrzeniami wektorowymi V i W z bazowym polem F , spełniającą

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe, wtedy

${\ Displaystyle f (\ mathbf {v} ) = f \ lewo (v_ {i} \ mathbf {b_ {V}} ^ {i} \ po prawej) = v_ {i} f \ lewo (\ mathbf {b_ {V }} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

w którym b _V i b _W oznaczają zasad z V i W oraz V _i oznacza składnik o v o b _V ^ı i konwencja Einsteina podsumowanie jest stosowana.

Rozważmy teraz złożenie dwóch liniowych odwzorowań pomiędzy skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi. Niech odwzorowania liniowego f mapy V do W i pozwolić liniowego odwzorowania g mapę W do U . Wtedy można dostać

${\ Displaystyle g \ circ f (\ mathbf {v} ) = g \ lewo ({f ^ {i}} _ {j} v_ {i} \ mathbf {b_ {W}} ^ {j} \ prawej) = {g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

Lub w formie macierzowej:

${\ Displaystyle g \ circ f (\ mathbf {v} ) = \ mathbf {G} \ mathbf {f} \ mathbf {v}}$

w którym i -row, J elementem -column z F , oznaczony przez F _ij jest f ^J _I i G _-ij = g ^j _i .

Skład więcej niż dwóch liniowych odwzorowań może być podobnie reprezentowany przez łańcuch mnożenia macierzy.

Iloczyn dwóch macierzy

Biorąc pod uwagę dwie macierze

${\ Displaystyle A = (a_ {i, j}) _ {i = 1 \ ldots s; j = 1 \ ldots r} \ w \ mathbb {R} ^ {s \ razy r}}$ oraz ${\ Displaystyle B = (b_ {j, k}) _ {j = 1 \ ldots r; k = 1 \ ldots t} \ w \ mathbb {R} ^ {r \ razy t}}$

ich produkt jest podawany przez

${\ Displaystyle B \ cdot A = \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {r} a_ {i, j} \ cdot b_ {j, k} \ po prawej) _ {i = 1 \ ldots s; k =1\ldots t}\;\in ​​\mathbb {R} ^{s\times t}}$

Składanie funkcji liniowych jako iloczyn macierzy

Istnieje zależność między złożeniem funkcji liniowych a iloczynem dwóch macierzy. Aby to zobaczyć, niech r = dim(U), s = dim(V) i t = dim(W) będą (skończonymi) wymiarami przestrzeni wektorowych U, V i W. Niech będzie bazą U, będzie bazą V i być bazą W. W kategoriach tej bazy niech będzie macierzą reprezentującą f : U → V i będzie macierzą reprezentującą g : V → W. Wtedy ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {u_ {1}, \ ldots, u_ {r} \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {s} \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} = \ {w_ {1}, \ ldots, w_ {t} \}}$${\ Displaystyle A = M_ {\ mathcal {V}} ^ {\ mathcal {U}} (f) \ w \ mathbb {R} ^ {s \ razy r}}$${\ Displaystyle B = M_ {\ mathcal {W}} ^ {\ mathcal {V}} (g) \ w \ mathbb {R} ^ {r \ razy t}}$

${\ Displaystyle B \ cdot A = M_ {\ mathcal {W}} ^ {\ mathcal {U}} (g \ circ f) \ w \ mathbb {R} ^ {s \ razy t}}$

jest macierzą reprezentującą . ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

Innymi słowy: iloczyn macierzowy to opis we współrzędnych złożenia funkcji liniowych.

Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych

Mając dwie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe V i W , ich iloczyn tensorowy można zdefiniować jako (2,0)-tensor spełniający:

${\ Displaystyle V \ czasami W (v, m) = V (v) W (w), \ forall v \ w V ^ {*} \ forall w \ w W ^ {*}}$

gdzie V ^* i W ^* oznaczają podwójne przestrzenie z V i W .

Dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych mamy również:

• Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
• Iloczyn tensora topologicznego .

Iloczyn tensorowy, iloczyn zewnętrzny i iloczyn Kroneckera przekazują tę samą ogólną ideę. Różnice między nimi polegają na tym, że iloczyn Kroneckera jest tylko iloczynem tensorowym macierzy w odniesieniu do wcześniej ustalonej bazy, podczas gdy iloczyn tensorowy jest zwykle podawany w jego wewnętrznej definicji . Produkt zewnętrzny to po prostu iloczyn Kroneckera, ograniczony do wektorów (zamiast macierzy).

Klasa wszystkich obiektów z iloczynem tensorowym

Na ogół, gdy jeden ma dwa matematycznych obiektów , które mogą być połączone w sposób, który zachowuje się jak Algebra liniowa tensora produktu, to mogą być najogólniej rozumiane jako produktu wewnętrznego z monoidal kategorii . Oznacza to, że kategoria monoidalna dokładnie oddaje znaczenie iloczynu tensorowego; oddaje dokładnie wyobrażenie o tym, dlaczego produkty tensorowe zachowują się w taki sposób. Dokładniej, kategoria monoidalna to klasa wszystkich rzeczy (danego typu ), które mają iloczyn tensorowy.

Inne produkty w algebrze liniowej

Inne rodzaje produktów w algebrze liniowej obejmują:

• Produkt Hadamarda
• Produkt Kroneckera
• Iloczyn tensorów :
  • Produkt klinowy lub produkt zewnętrzny
  • Produkt do wnętrz
  • Produkt zewnętrzny
  • Produkt tensorowy

Produkt kartezjański

W teorii zbiorów , A iloczyn jest matematycznym operacja , która zwraca zestaw (lub zestaw produktów ) z wielu zestawów. Oznacza to, że dla zbiorów A i B iloczyn kartezjański A × B jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par (a, b) — gdzie a A i b B .

Klasa wszystkich rzeczy (danego typu ), które mają iloczyny kartezjańskie, nazywana jest kategorią kartezjańską . Wiele z nich to zamknięte kategorie kartezjańskie . Przykładem takich obiektów są zestawy.

Pusty produkt

Pusty produkt na liczbach i większości algebraicznych struktur ma wartość 1 (element neutralny mnożenia), podobnie jak pusty suma ma wartość 0 (element neutralny dodawania). Jednak pojęcie pustego produktu jest bardziej ogólne i wymaga specjalnego traktowania w logice , teorii mnogości , programowaniu komputerowym i teorii kategorii .

Produkty nad innymi strukturami algebraicznymi

Produkty nad innymi rodzajami struktur algebraicznych obejmują:

• iloczyn kartezjański zbiorów
• bezpośrednim produktem grupy , a także produkt iloczynów , dzianiny produkt i produkt wieniec
• wolny produkt grup
• produkt z pierścieniami
• iloczyn ideałów
• produkt przestrzeni topologicznych
• produkt Wick od zmiennych losowych
• nasadki , kubek , Massey i skos produkt algebraicznej topologii
• produkt Smash i suma klin (czasami nazywany produkt klin) w homotopii

Kilka z powyższych produktów to przykłady ogólnego pojęcia produktu wewnętrznego w kategorii monoidów ; pozostałe można opisać ogólnym pojęciem produktu w teorii kategorii .

Produkty z kategorii Teoria

Wszystkie poprzednie przykłady są szczególnymi przypadkami lub przykładami ogólnego pojęcia produktu. Aby zapoznać się z ogólnym podejściem do pojęcia produktu, zobacz produkt (teoria kategorii) , która opisuje, jak połączyć dwa przedmioty pewnego rodzaju, aby stworzyć przedmiot, być może innego rodzaju. Ale także w teorii kategorii mamy:

• produkt włóknisty lub wycofywanie się banków,
• kategoria produktów , kategorii, która jest iloczynem kategoriach.
• ultraprodukt w teorii modeli .
• produkt wewnętrzny z monoidal kategorii , które oddaje istotę produktu tensor.

Inne produkty

• Całka iloczynowa funkcji (jako ciągły ekwiwalent iloczynu ciągu lub jako multiplikatywna wersja całki normalnej/standardowej/dodatkowej. Całka iloczynowa jest również znana jako „iloczyn ciągły” lub „wielokrotność”.
• Mnożenie zespolone , teoria krzywych eliptycznych.

Zobacz też

• Tensor Deligne iloczynu kategorii abelowych
• Produkt nieokreślony
• Nieskończony produkt
• Iterowana operacja binarna
• Mnożenie  – operacje arytmetyczne

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• Jarchów, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. Numer ISBN 978-3-519-02224-4. 8210342 OCLC  .