Produkt (matematyka) - Product (mathematics)
Działania arytmetyczne | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
W matematyce , A produkt jest wynikiem mnożenia , lub wyrażenie, które identyfikuje czynniki należy pomnożyć. Na przykład 30 jest iloczynem 6 i 5 (wynik mnożenia) i jest iloczynem i (wskazując, że oba czynniki powinny być pomnożone przez siebie).
Kolejność mnożenia liczb rzeczywistych lub zespolonych nie ma wpływu na iloczyn; jest to znane jako przemienne prawo mnożenia. Gdy mnoży się macierze lub elementy różnych innych algebr asocjacyjnych , iloczyn zazwyczaj zależy od kolejności czynników. Na przykład mnożenie macierzy jest nieprzemienne, podobnie jak mnożenie w innych algebrach.
W matematyce istnieje wiele różnych rodzajów produktów: oprócz możliwości mnożenia samych liczb, wielomianów lub macierzy, można również definiować produkty na wielu różnych strukturach algebraicznych .
Iloczyn dwóch liczb
Iloczyn dwóch liczb naturalnych
Ułożenie kilku kamieni w prostokątny wzór z rzędami i kolumnami daje
kamienie.
Iloczyn dwóch liczb całkowitych
Liczby całkowite pozwalają na liczby dodatnie i ujemne. Ich iloczyn jest określany przez iloczyn ich dodatnich kwot, połączony ze znakiem wynikającym z następującej zasady:
(Ta reguła jest konieczną konsekwencją żądania rozdzielności mnożenia nad dodawaniem i nie jest dodatkową regułą ).
Słowem mamy:
- Minus razy Minus daje Plus
- Minus razy Plus daje Minus
- Plus razy Minus daje Minus
- Plus razy Plus daje Plus
Produkt dwóch frakcji
Dwa ułamki można pomnożyć, mnożąc ich liczniki i mianowniki:
Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych
Dla ścisłej definicji iloczynu dwóch liczb rzeczywistych zobacz Konstrukcja liczb rzeczywistych .
- Formuły
Twierdzenie — Załóżmy a > 0 i b > 0 . Jeśli 1 < p < ∞ i q := P/p - 1 następnie
- ab = t P str/P + t - q b q/Q.
Zdefiniuj funkcję o wartościach rzeczywistych f na dodatnich liczbach rzeczywistych przez
- f ( t ) :=t P str/P + t − q b q/Q
dla każdego t > 0, a następnie obliczyć jego minimum.
Iloczyn dwóch liczb zespolonych
Dwie liczby zespolone można pomnożyć przez prawo rozdzielności i fakt, że , w następujący sposób:
Geometryczne znaczenie mnożenia złożonego
Liczby zespolone można zapisać we współrzędnych biegunowych :
Ponadto,
z którego się otrzymuje
Znaczenie geometryczne polega na tym, że wielkości są mnożone, a argumenty dodawane.
Iloczyn dwóch kwaternionów
Iloczyn dwóch kwaternionów można znaleźć w artykule na temat kwaternionów . Zwróć uwagę, że w tym przypadku i są na ogół różne.
Produkt ciągu
Operator iloczynu dla iloczynu ciągu jest oznaczony wielką grecką literą pi Π (analogicznie do użycia wielkiej Sigma Σ jako symbolu sumy ). Na przykład wyrażenie to inny sposób pisania .
Iloczynem ciągu składającego się tylko z jednej liczby jest właśnie ta liczba; iloczyn braku czynników jest nazywany iloczynem pustym i jest równy 1.
Pierścienie przemienne
Pierścienie przemienne mają działanie iloczynowe.
Klasy reszt liczb całkowitych
Klasy pozostałości w pierścieniach można dodać:
i pomnożone:
Skręt
Dwie funkcje od liczb rzeczywistych do siebie można mnożyć w inny sposób, zwany splotem .
Gdyby
wtedy całka
jest dobrze zdefiniowany i nazywa się splotem.
Zgodnie z transformatą Fouriera splot staje się mnożeniem funkcji punktowej.
Pierścienie wielomianowe
Iloczyn dwóch wielomianów ma postać:
z
Produkty w algebrze liniowej
W algebrze liniowej istnieje wiele różnych rodzajów produktów. Niektóre z nich mają łudząco podobne nazwy ( produktów zewnętrzny , produkt z zewnątrz ), z bardzo różnych znaczeń, podczas gdy inne mają bardzo różne nazwy (produkt zewnętrzną, tensor produktu, produkt Kroneckera), a jednak przekazać zasadniczo ten sam pomysł. Krótki przegląd tych zagadnień znajduje się w kolejnych sekcjach.
Mnożenie przez skalar
Z samej definicji przestrzeni wektorowej można utworzyć iloczyn dowolnego skalara z dowolnym wektorem, dając mapę .
Produkt skalarny
Skalarne produkt jest bi-liniowy mapa:
z następującymi warunkami, że dla wszystkich .
Z iloczynu skalarnego można zdefiniować normę , pozwalając .
Iloczyn skalarny pozwala również na zdefiniowanie kąta pomiędzy dwoma wektorami:
W wymiarowej przestrzeni euklidesowej, średnia iloczyn skalarny (zwany produkt kropka ) jest dane przez:
Produkt krzyżowy w przestrzeni trójwymiarowej
Iloczyn dwóch wektorów w 3 wymiarach jest wektor prostopadły do dwóch czynników, z których długość równa powierzchni równoległoboku trwającej od dwóch czynników.
Iloczyn krzyżowy może być również wyrażony jako wyznacznik formalny :
Kompozycja odwzorowań liniowych
Odwzorowanie liniowe można zdefiniować jako funkcję f między dwiema przestrzeniami wektorowymi V i W z bazowym polem F , spełniającą
Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe, wtedy
w którym b V i b W oznaczają zasad z V i W oraz V i oznacza składnik o v o b V ı i konwencja Einsteina podsumowanie jest stosowana.
Rozważmy teraz złożenie dwóch liniowych odwzorowań pomiędzy skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi. Niech odwzorowania liniowego f mapy V do W i pozwolić liniowego odwzorowania g mapę W do U . Wtedy można dostać
Lub w formie macierzowej:
w którym i -row, J elementem -column z F , oznaczony przez F ij jest f J I i G -ij = g j i .
Skład więcej niż dwóch liniowych odwzorowań może być podobnie reprezentowany przez łańcuch mnożenia macierzy.
Iloczyn dwóch macierzy
Biorąc pod uwagę dwie macierze
- oraz
ich produkt jest podawany przez
Składanie funkcji liniowych jako iloczyn macierzy
Istnieje zależność między złożeniem funkcji liniowych a iloczynem dwóch macierzy. Aby to zobaczyć, niech r = dim(U), s = dim(V) i t = dim(W) będą (skończonymi) wymiarami przestrzeni wektorowych U, V i W. Niech będzie bazą U, będzie bazą V i być bazą W. W kategoriach tej bazy niech będzie macierzą reprezentującą f : U → V i będzie macierzą reprezentującą g : V → W. Wtedy
jest macierzą reprezentującą .
Innymi słowy: iloczyn macierzowy to opis we współrzędnych złożenia funkcji liniowych.
Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych
Mając dwie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe V i W , ich iloczyn tensorowy można zdefiniować jako (2,0)-tensor spełniający:
gdzie V * i W * oznaczają podwójne przestrzenie z V i W .
Dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych mamy również:
Iloczyn tensorowy, iloczyn zewnętrzny i iloczyn Kroneckera przekazują tę samą ogólną ideę. Różnice między nimi polegają na tym, że iloczyn Kroneckera jest tylko iloczynem tensorowym macierzy w odniesieniu do wcześniej ustalonej bazy, podczas gdy iloczyn tensorowy jest zwykle podawany w jego wewnętrznej definicji . Produkt zewnętrzny to po prostu iloczyn Kroneckera, ograniczony do wektorów (zamiast macierzy).
Klasa wszystkich obiektów z iloczynem tensorowym
Na ogół, gdy jeden ma dwa matematycznych obiektów , które mogą być połączone w sposób, który zachowuje się jak Algebra liniowa tensora produktu, to mogą być najogólniej rozumiane jako produktu wewnętrznego z monoidal kategorii . Oznacza to, że kategoria monoidalna dokładnie oddaje znaczenie iloczynu tensorowego; oddaje dokładnie wyobrażenie o tym, dlaczego produkty tensorowe zachowują się w taki sposób. Dokładniej, kategoria monoidalna to klasa wszystkich rzeczy (danego typu ), które mają iloczyn tensorowy.
Inne produkty w algebrze liniowej
Inne rodzaje produktów w algebrze liniowej obejmują:
- Produkt Hadamarda
- Produkt Kroneckera
- Iloczyn tensorów :
Produkt kartezjański
W teorii zbiorów , A iloczyn jest matematycznym operacja , która zwraca zestaw (lub zestaw produktów ) z wielu zestawów. Oznacza to, że dla zbiorów A i B iloczyn kartezjański A × B jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par (a, b) — gdzie a A i b B .
Klasa wszystkich rzeczy (danego typu ), które mają iloczyny kartezjańskie, nazywana jest kategorią kartezjańską . Wiele z nich to zamknięte kategorie kartezjańskie . Przykładem takich obiektów są zestawy.
Pusty produkt
Pusty produkt na liczbach i większości algebraicznych struktur ma wartość 1 (element neutralny mnożenia), podobnie jak pusty suma ma wartość 0 (element neutralny dodawania). Jednak pojęcie pustego produktu jest bardziej ogólne i wymaga specjalnego traktowania w logice , teorii mnogości , programowaniu komputerowym i teorii kategorii .
Produkty nad innymi strukturami algebraicznymi
Produkty nad innymi rodzajami struktur algebraicznych obejmują:
- iloczyn kartezjański zbiorów
- bezpośrednim produktem grupy , a także produkt iloczynów , dzianiny produkt i produkt wieniec
- wolny produkt grup
- produkt z pierścieniami
- iloczyn ideałów
- produkt przestrzeni topologicznych
- produkt Wick od zmiennych losowych
- nasadki , kubek , Massey i skos produkt algebraicznej topologii
- produkt Smash i suma klin (czasami nazywany produkt klin) w homotopii
Kilka z powyższych produktów to przykłady ogólnego pojęcia produktu wewnętrznego w kategorii monoidów ; pozostałe można opisać ogólnym pojęciem produktu w teorii kategorii .
Produkty z kategorii Teoria
Wszystkie poprzednie przykłady są szczególnymi przypadkami lub przykładami ogólnego pojęcia produktu. Aby zapoznać się z ogólnym podejściem do pojęcia produktu, zobacz produkt (teoria kategorii) , która opisuje, jak połączyć dwa przedmioty pewnego rodzaju, aby stworzyć przedmiot, być może innego rodzaju. Ale także w teorii kategorii mamy:
- produkt włóknisty lub wycofywanie się banków,
- kategoria produktów , kategorii, która jest iloczynem kategoriach.
- ultraprodukt w teorii modeli .
- produkt wewnętrzny z monoidal kategorii , które oddaje istotę produktu tensor.
Inne produkty
- Całka iloczynowa funkcji (jako ciągły ekwiwalent iloczynu ciągu lub jako multiplikatywna wersja całki normalnej/standardowej/dodatkowej. Całka iloczynowa jest również znana jako „iloczyn ciągły” lub „wielokrotność”.
- Mnożenie zespolone , teoria krzywych eliptycznych.
Zobacz też
- Tensor Deligne iloczynu kategorii abelowych
- Produkt nieokreślony
- Nieskończony produkt
- Iterowana operacja binarna
- Mnożenie – operacje arytmetyczne
Uwagi
Bibliografia
Bibliografia
- Jarchów, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. Numer ISBN 978-3-519-02224-4. 8210342 OCLC .