Apeirogon - Apeirogon

Powieść, patrz Apeirogon (powieść) .
Zwykły apeirogon
Zwykły apeirogon.png
Krawędzie i wierzchołki ∞
Symbol Schläfli {∞}
Schemat Coxetera Węzeł CDel 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Kąt wewnętrzny ( stopnie ) 180°
Podwójny wielokąt Samodzielność
Apeirogon można zdefiniować jako podział linii euklidesowej na nieskończenie wiele równych odcinków.

W geometrii , apeirogon (od greckich słów „ἄπειρος” apeiros : „nieskończony, bezkresny” i „γωνία” gonia : „kąt”) lub nieskończony wielokąt jest uogólnionym wielokątem o przeliczalnie nieskończonej liczbie boków. Apeirogony są dwuwymiarowym przypadkiem nieskończonych politopów .

W niektórych literaturze termin „apeirogon” może odnosić się tylko do regularnego apeirogon, z nieskończoną dwuściennej grupy o symetrii .

Definicje

Klasyczna definicja konstruktywna

Biorąc pod uwagę punkt A 0 w przestrzeni euklidesowej i translacji S , określa się punkt A i do uzyskanego z punktem ı zastosowań translacji z S z A 0 , to A i = S I (A, 0 ) . Zbiór wierzchołków A i z i dowolną liczbą całkowitą, wraz z krawędziami łączącymi sąsiednie wierzchołki, jest ciągiem równych odcinków linii i jest nazywany apeirogonem regularnym, zgodnie z definicją HSM Coxetera .

Regularne apeirogon można zdefiniować jako partycja euklidesowa linii E 1 w nieskończenie wiele segmentów o jednakowej długości, uogólniając regularne n gon , który może być zdefiniowany jako strefa koła S 1 do skończenie wielu segmentów o jednakowej długości.

Nowoczesna abstrakcyjna definicja

Streszczenie Polytope jest częściowy porządek P (którego elementy są nazywane twarze ) o właściwościach modelujących tych wtrąceń o powierzchniach wypukłych polytopes . Stopień (albo wymiar) abstrakcyjnego Polytope zależy od długości maksymalnej uporządkowane łańcuchy jej powierzchni, oraz streszczenie Polytope rangi n nazywa streszczenie n -polytope.

Dla abstrakcyjnych polytopes rangi 2 oznacza to, że: A) elementy częściowo uporządkowanego zbioru są zestawami wierzchołków z wierzchołkiem zerowym ( zbiór pusty ), jednym wierzchołkiem, dwoma wierzchołkami ( krawędź ) lub całym zbiorem wierzchołków ( twarz dwuwymiarowa), uporządkowana przez włączenie zestawów; B) każdy wierzchołek należy do dokładnie dwóch krawędzi; C) graf nieskierowany utworzony przez wierzchołki i krawędzie jest połączony.

Abstrakcyjny polytope nazywa się abstrakcyjnym apeirotope, jeśli ma nieskończenie wiele elementów; abstrakcyjny 2-apeirotope nazywa się abstrakcyjnym apeirogon .

W abstrakcyjnym polytope flaga jest zbiorem jednej twarzy każdego wymiaru, wszystkie ze sobą powiązane (czyli porównywalne w porządku częściowym); abstrakcyjny wielotop jest nazywany regularnym, jeśli ma symetrie (zachowujące strukturę permutacje jego elementów), które przenoszą dowolną flagę do dowolnej innej flagi. W przypadku dwuwymiarowego abstrakcyjnego politopu jest to automatycznie prawdziwe; symetrie apeirogon tworzą nieskończoną grupę dwuścienną .

Pseudogon

Regularne pseudogon jest partycja o hiperbolicznej linii H 1 (zamiast euklidesowej linia) na segmenty o długości 2A jako analog regularnego apeirogon.

Realizacje

Definicja

Realizacja abstrakcyjnego apeirogon jest zdefiniowany jako mapowania z jego wierzchołków o skończonej-wymiarowej przestrzeni geometryczne (zwykle przestrzeni euklidesowej ) w taki sposób, że każdy symetrii abstrakcyjnych odpowiada apeirogon do izometrii obrazów z mapowaniem. Dwie realizacje nazywane są kongruentnymi, jeśli naturalna bijektacja między ich zestawami wierzchołków jest indukowana przez izometrię ich otoczenia przestrzeni euklidesowych. W tym sensie realizacją jest klasyczna definicja apeirogonu jako równo rozmieszczonego podpodziału linii euklidesowej, podobnie jak podzbiór wypukły w płaszczyźnie hiperbolicznej utworzony przez wypukłą powłokę równo rozmieszczonych punktów na horocyklu . Możliwe są inne realizacje w przestrzeniach wyższych wymiarów.

Symetrie realizacji

Nieskończona dwuścienna grupa symetrii G realizacji V abstrakcyjnego apeirogonu P jest generowana przez dwa odbicia, których iloczyn przekłada każdy wierzchołek P na następny. Iloczyn dwóch odbić można rozłożyć na iloczyn niezerowego przemieszczenia, skończenie wielu obrotów i możliwie trywialnego odbicia.

Modułowa przestrzeń realizacji

Generalnie przestrzeń moduli realizacji abstrakcyjnego wielotopu jest wypukłym stożkiem o nieskończonym wymiarze. Stożek realizacji abstrakcyjnego apeirogonu ma nieskończony wymiar algebraiczny i nie może być zamknięty w topologii euklidesowej .

Klasyfikacja apeirogonów euklidesowych

Realizacje dwuwymiarowych abstrakcyjnych wielokątów (obejmujących zarówno wielokąty, jak i apeirogony), w przestrzeniach euklidesowych o co najwyżej trzech wymiarach, można podzielić na sześć typów:

Apeirogony abstrakcyjne mogą być realizowane na wszystkie te sposoby, w niektórych przypadkach odwzorowując nieskończenie wiele różnych wierzchołków apeirogonu abstrakcyjnego na skończenie wiele punktów realizacji. Apeirogon dopuszcza również realizacje wielokątów gwiaździstych i realizacje antypryzmatyczne z niedyskretnym zbiorem nieskończenie wielu punktów.

Uogólnienia

Wyższy wymiar

Główne artykuły: Apeirotope i Apeirohedron

Apeirohedra to trójwymiarowe analogi apeirogonów i nieskończone analogi wielościanów . Mówiąc ogólniej, n - apeirotopes lub nieskończone N -polytopes są n -wymiarowych analogi apeirogons i są nieskończone analogi N - polytopes .

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne