Radykalny ideał - Radical of an ideal

W teorii pierścieni przemiennych , gałęzi matematyki , radykał ideału jest takim ideałem , że pierwiastek jest w rodniku wtedy i tylko wtedy, gdy jest w nim jakaś siła (wzięcie rodnika nazywa się radykalizacją ). Rodnik idealne (lub Liczba Półpierwsza idealnie ) jest idealna, która jest równa własnej rodnika. Radykalny ideału pierwotnego jest ideałem pierwszym. ${\ Displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle I}$

Ta koncepcja jest uogólniona na nieprzemienne pierścienie w artykule o pierścieniach Semiprime .

Definicja

Rodnik ideału w przemiennej pierścienia , oznaczoną lub jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ operatorname {rad} (I)}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {ja}} = \ lewo \ {r \ w R \ średni r ^ {n} \ w I \ {\ hbox {dla niektórych}} \ n \ w \ mathbb {Z} ^ {+ }\!\dobrze\},}$

(zauważ, że ). Intuicyjnie, uzyskuje się poprzez pobranie wszystkich korzeni elementów wewnątrz pierścienia . Równoważnie jest to wstępny obraz ideału elementów nilpotentnych ( nilradical ) w pierścieniu ilorazowym (poprzez mapę naturalną ). Ten ostatni pokazuje sam w sobie ideał. ${\ Displaystyle I \ podzbiór {\ sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$ ${\ Displaystyle R/I}$${\ Displaystyle \ pi \ dwukropek R \ do R / I}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$

Jeśli rodnik of jest skończony, to pewna moc zawarta jest w . W szczególności, jeśli i są ideałami pierścienia noetherian , to i mają ten sam radykał wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewną moc i zawiera pewną moc . ${\ Displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle I}$

Jeśli ideał pokrywa się z własnym radykałem, nazywamy go ideałem radykalnym lub ideałem półpierwszym . ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I}$

Przykłady

• Rozważmy pierścień z liczb całkowitych . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
  1. Radykałem ideału całkowitych wielokrotności jest .${\ Displaystyle 4 \ mathbb {Z} }$${\ Displaystyle 4}$${\displaystyle 2\mathbb {Z}}$
  2. Radykalny jest .${\ Displaystyle 5 \ mathbb {Z} }$${\ Displaystyle 5 \ mathbb {Z} }$
  3. Radykalny jest .${\ Displaystyle 12 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle 6 \ mathbb {Z} }$
  4. W ogólności, grupy o to , w którym znajduje się produkt wszystkich różnych
  głównych czynników w największy kwadratowych wolny czynnik (patrz rodnik całkowitej ). W rzeczywistości prowadzi to do uogólnienia arbitralnego ideału (patrz sekcja Właściwości ).${\ Displaystyle m \ mathbb {Z} }$${\ Displaystyle r \ mathbb {Z} }$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$
• Rozważ ideał . Pokazanie tego jest trywialne (za pomocą podstawowej właściwości ), ale podajemy kilka alternatywnych metod. Rodnik odpowiada ni- rodnikowi pierścienia ilorazu , który jest przecięciem wszystkich ideałów pierwszych pierścienia ilorazu. Jest to zawarte w rodniku Jacobsona , który jest przecięciem wszystkich maksymalnych ideałów, które są jądrami homomorfizmów do pól. Każdy morfizm pierścienia musi mieć w jądrze, aby mieć dobrze zdefiniowany morfizm (gdybyśmy powiedzieli, na przykład, że jądro powinno mieć skład be, co jest tym samym, co próba wymuszenia ). Ponieważ jest algebraicznie domknięta, każdy morfizm musi uwzględniać przez , więc mamy tylko przecięcie , aby obliczyć pierwiastek z. Następnie znajdujemy, że${\ Displaystyle I = \ lewo (y ^ {4} \ prawo) \ podzbiór \ mathbb {C} [x, y]}$${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} = (y)}$${\ Displaystyle {\ sqrt {ja ^ {n}}} = {\ sqrt {ja}}}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y] / \ lewo (y ^ {4} \ prawo)}$${\ Displaystyle R \ do \ mathbb {C}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y-1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ do R \ do \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ po lewej (x, y ^ {4}, y-1 \ po prawej)}$${\ Displaystyle 1 = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle R \ do \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ {\ ker (\ Phi): \ Phi \ w \ operatorname {Hom} (R \ mathbb {C}) \}}$${\displaystyle (0).}$${\ Displaystyle {\ sqrt {0}} = (y) \ podzbiór R.}$

Nieruchomości

Ta sekcja będzie kontynuacją konwencji, że jestem ideałem pierścienia przemiennego : ${\ Displaystyle R}$

• Zawsze jest prawdą, że radykalizacja jest operacją idempotentną . Ponadto jest najmniejszym radykalnym ideałem zawierającym .${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$${\ Displaystyle I}$
• ${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$jest przecięcie wszystkich ideał pierwszy o które zawierają${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$
  $${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{prim}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{ \mathfrak {p}},}$$

  
  tak więc radykał ideału pierwotnego jest sobie równy. Dowód: Z jednej strony każdy ideał pierwszy jest radykalny, więc to przecięcie zawiera . Załóżmy, że jest to element, którego nie ma w , i niech będzie zbiorem . Zgodnie z definicją , musi być rozłączne od . jest również multiplikatywnie domknięta . Tak więc, według wariantu twierdzenia Krulla , istnieje ideał pierwszy, który zawiera i nadal jest od siebie oddzielony (patrz ideał pierwszy ). Ponieważ zawiera , ale nie , pokazuje to , że nie znajduje się na przecięciu ideałów pierwszych zawierających . To kończy dowód. Stwierdzenie można nieco wzmocnić: radykałem z jest przecięciem wszystkich ideałów pierwotnych, które są minimalne wśród tych zawierających .${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ lewo \ {r ^ {n} \ mid n = 0,1, 2 \ ldots \ prawo \}}$${\displaystyle {\sqrt {ja}}}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$
• Specjalizując się w ostatnim punkcie, nilradical (zbiór wszystkich nilpotentnych elementów) jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych${\ Displaystyle R}$
  $${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{prim}}}{\mathfrak {p }}.}$$

  
  Ta właściwość jest postrzegana jako równoważna z poprzednią dzięki naturalnej mapie, która daje bijekcję :${\ Displaystyle \ pi \ dwukropek R \ do R / I}$${\ Displaystyle u}$
  $${\ Displaystyle \ lewo \ lbrace {\ tekst {ideały}} J \ mid R \ supseteq J \ supseteq ja \ prawo \ r nawias \ quad {\ przesłonięty {u} \ prawy lewy harpuny}} \ czwór \ lewy \ l nawias {\ tekst {ideały }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$

  
  określony przez ${\ Displaystyle u \ dwukropek J \ mapsto J / I = \ lbrace r + ja \ mid r \ w J \ r nawias.}$
• Ideał w pierścieniu jest radykalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest zredukowany .${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R/I}$
• Rodnik jednorodnego ideału jest jednorodny.
• Radykał przecięcia ideałów jest równy przecięciu ich radykałów: .${\ Displaystyle {\ sqrt {ja \ cap J}} = {\ sqrt {ja}} \ cap {\ sqrt {J}}}$
• Radykalny ideału pierwotnego jest pierwszy. Jeśli radykalność ideału jest maksymalna, to jest ona pierwotna.${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I}$
• Jeśli jest ideałem, . Ponieważ ideały pierwsze są ideałami radykalnymi, dla każdego ideału pierwszego .${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle {\ sqrt {ja ^ {n}}} = {\ sqrt {ja}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {{\ mathfrak {p}} ^ {n}}} = {\ mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Niech będą ideałami pierścienia . Jeśli są przecinkami , to są przecinkami.${\ Displaystyle I, J}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ sqrt {ja}}, {\ sqrt {J}}}$${\ Displaystyle I, J}$
• Niech będzie skończenie wygenerowanym modułem nad pierścieniem noetherian . Następnie${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle R}$
  $${\ Displaystyle {\ sqrt {\ operatorname {ann} _ {R} (M)}} = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} \ w \ operatorname {supp} M} {\ mathfrak {p}} = \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$

  
  gdzie jest wsparcie od i jest zbiorem powiązanych liczb pierwszych o .${\ Displaystyle \ Operatorname {Supp} M}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {dupa} M}$${\ Displaystyle M}$

Aplikacje

Główną motywacją do badania rodników jest Nullstellensatz Hilberta w algebrze przemiennej . Jedna z wersji tego obchodzony twierdzenie stwierdza, że dla każdego ideału w pierścień wielomianów nad ciało algebraicznie domknięte , trzeba ${\ Displaystyle J}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {k} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {k}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {I} (\ Operator {V} (J)) = {\ sqrt {J}}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Operatorname {V} (J) = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {k} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ mbox {dla wszystkich}} f \ w J \ prawej \}}$

oraz

${\ Displaystyle \ Operatorname {I} (V) = \ {f \ w \ mathbb {k} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ mbox{ dla wszystkich }}x\in V\}.}$

Geometrycznie oznacza to, że jeśli rozmaitość jest wycinana przez równania wielomianowe , to jedynymi innymi wielomianami, które znikają, są te z pierwiastka ideału . ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle f_ {1} = 0 \ ldots, f_ {r} = 0}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle (f_{1},\ldots,f_{r})}$

Inaczej mówiąc: kompozycja jest operatorem domknięcia na zbiorze ideałów pierścienia. ${\ Displaystyle \ operatorname {I} (\ operatorname {V} (-)) = {\ sqrt {-}}}$

Zobacz też

• Radykał Jacobsona
• Nilradical pierścienia
• Prawdziwy radykalny

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

• Atiyah, Michael Franciszek ; Macdonald, Ian G. (1994). Wprowadzenie do algebry przemiennej . Czytanie, MA: Addison-Wesley . Numer ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, Dawid (1995). Algebra przemienna z uwzględnieniem geometrii algebraicznej . Teksty magisterskie z matematyki . 150 . Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 0-387-94268-8. MR  1322960 .
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Poprawione trzecie wyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001