Paradoks kruka - Raven paradox

Kruk paradoks , znany również jako paradoks Hempla , kruki Hempla lub rzadko z paradoksu ornitologii krytym , jest paradoks wynikający z pytaniem, co stanowi dowód na oświadczeniu. Obserwowanie obiektów, które nie są ani czarne, ani kruków, może formalnie zwiększyć prawdopodobieństwo, że wszystkie kruki są czarne, chociaż intuicyjnie obserwacje te nie są ze sobą powiązane.

Problem ten został zaproponowany przez logika Carla Gustava Hempla w latach czterdziestych XX wieku, aby zilustrować sprzeczność między logiką indukcyjną a intuicją .

Paradoks

Hempel opisuje paradoks w kategoriach hipotezy :

(1) Wszystkie kruki są czarne . W formie implikacji można to wyrazić jako: Jeśli coś jest krukiem, to jest czarne.

W przeciwieństwie do tego zdanie to jest równoważne :

(2) Jeśli coś nie jest czarne, to nie jest kruk.

We wszystkich okolicznościach, w których (2) jest prawdziwe, (1) jest również prawdziwe — i podobnie we wszystkich okolicznościach, w których (2) jest fałszywe (tzn. jeśli wyobraża się świat, w którym coś, co nie było czarne, ale było krukiem, istniał), (1) jest również fałszywe.

Biorąc pod uwagę ogólne stwierdzenie, takie jak wszystkie kruki są czarne , forma tego samego stwierdzenia, która odnosi się do konkretnego obserwowalnego wystąpienia klasy ogólnej, będzie zazwyczaj uważana za dowód dla tego ogólnego stwierdzenia. Na przykład,

(3) Mój kruk jest czarny.

jest dowodem potwierdzającym hipotezę, że wszystkie kruki są czarne .

Paradoks pojawia się, gdy ten sam proces stosuje się do stwierdzenia (2). Widząc zielone jabłko można zaobserwować:

(4) To zielone jabłko nie jest czarne i nie jest krukiem.

Zgodnie z tym samym rozumowaniem, to stwierdzenie jest dowodem, że (2) jeśli coś nie jest czarne, to nie jest krukiem. Ale ponieważ (jak wyżej) to stwierdzenie jest logicznie równoważne z (1) wszystkie kruki są czarne , wynika z tego, że widok zielonego jabłka jest dowodem na poparcie poglądu, że wszystkie kruki są czarne. Ten wniosek wydaje się paradoksalny, ponieważ sugeruje, że informacje o krukach uzyskano dzięki patrzeniu na jabłko.

Proponowane uchwały

Kryterium Nicoda mówi, że tylko obserwacje kruków powinny wpływać na pogląd, czy wszystkie kruki są czarne. Obserwowanie większej liczby przypadków czarnych kruków powinno wspierać ten pogląd, obserwowanie białych lub kolorowych kruków powinno temu zaprzeczać, a obserwacje niekruków nie powinny mieć żadnego wpływu.

Warunek równoważności Hempla mówi, że gdy zdanie X dostarcza dowodów na korzyść innego zdania Y, to X dostarcza również dowodów na korzyść dowolnego zdania, które jest logicznie równoważne Y.

Realistycznie rzecz biorąc, zestaw kruków jest skończony. Zbiór rzeczy innych niż czarne jest albo nieskończony, albo niemożliwy do wyliczenia przez ludzi. Aby potwierdzić stwierdzenie „Wszystkie kruki są czarne”, należałoby obserwować wszystkie kruki. To trudne, ale możliwe. Aby potwierdzić stwierdzenie „Wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami”, należałoby zbadać wszystkie nieczarne rzeczy. To jest niemożliwe. Obserwacja czarnego kruka może być uważana za skończoną ilość potwierdzających dowodów, ale obserwowanie nie czarnego nie-kruka byłoby nieskończenie małą ilością dowodów.

Paradoks pokazuje, że kryterium Nicoda i warunek równoważności Hempla nie są wzajemnie spójne. Rezolucja na paradoks musi odrzucić co najmniej jedno z:

1. negatywne instancje nie mające wpływu (!PC),
2. warunek równoważności (WE) lub
3. walidacja przez pozytywne instancje (NC).

Zadowalające rozwiązanie powinno również wyjaśniać, dlaczego naiwnie wydaje się, że istnieje paradoks. Rozwiązania, które akceptują paradoksalny wniosek, mogą to zrobić, przedstawiając twierdzenie, o którym intuicyjnie wiemy, że jest fałszywe, ale które można łatwo pomylić z (PC), podczas gdy rozwiązania odrzucające (EC) lub (NC) powinny przedstawiać twierdzenie, o którym intuicyjnie wiemy być prawdą, ale można to łatwo pomylić z (EC) lub (NC).

Akceptowanie innych niż kruki jako istotne

Chociaż ten wniosek z paradoksu wydaje się sprzeczny z intuicją, niektóre podejścia przyjmują, że obserwacje (kolorowych) niekruków mogą w rzeczywistości stanowić ważny dowód na poparcie hipotez dotyczących (powszechnej czerni) kruków.

Rezolucja Hempla

Sam Hempel przyjął paradoksalny wniosek, argumentując, że powodem, dla którego wynik wydaje się paradoksalny, jest to, że posiadamy wcześniejsze informacje, bez których obserwacja nie-czarnego nie-kruka rzeczywiście dostarczyłaby dowodu, że wszystkie kruki są czarne.

Ilustruje to przykładem uogólnienia „Wszystkie sole sodowe palą się na żółto” i prosi nas o rozważenie obserwacji, która pojawia się, gdy ktoś trzyma kawałek czystego lodu w bezbarwnym płomieniu, który nie żółknie:

Wynik ten potwierdzałby twierdzenie: „Cokolwiek nie pali się na żółto, nie jest solą sodową”, a w konsekwencji, na mocy warunku równoważności, potwierdzałby oryginalną formułę. Dlaczego robi to na nas wrażenie paradoksalne? Przyczyna staje się jasna, gdy porównamy poprzednią sytuację z przypadkiem eksperymentu, w którym przedmiot, którego skład chemiczny jest nam jeszcze nieznany, trzymany jest w płomieniu i nie powoduje jego żółknięcia, a późniejsza analiza wykazała, że ​​nie zawiera on sodu. Sól. Ten wynik, bez wątpienia, jest tym, czego można się było spodziewać na podstawie hipotezy ... zatem uzyskane tutaj dane stanowią dowód potwierdzający hipotezę. ... W pozornie paradoksalnych przypadkach konfirmacji często nie oceniamy właściwie związku danego dowodu, tylko E z hipotezą H ... milcząco wprowadzamy porównanie H z zbiorem dowodów, który składa się z E w w połączeniu z dodatkową ilością informacji, którymi dysponujemy; na naszej ilustracji informacje te obejmują wiedzę (1), że substancja użyta w eksperymencie to lód, oraz (2), że lód nie zawiera soli sodowej. Jeśli przyjmiemy, że te dodatkowe informacje są podane, to oczywiście wynik eksperymentu nie może dodać siły do ​​rozważanej hipotezy. Ale jeśli będziemy uważać, aby uniknąć tego milczącego odniesienia do dodatkowej wiedzy… paradoksy znikają.

Standardowe rozwiązanie Bayesa

Jedną z najpopularniejszych proponowanych rezolucji jest przyjęcie wniosku, że obserwacja zielonego jabłka dostarcza dowodu, że wszystkie kruki są czarne, ale argumentowanie, że ilość dostarczonych potwierdzeń jest bardzo mała, ze względu na dużą rozbieżność między liczbą kruków a liczba obiektów innych niż czarne. Zgodnie z tą rezolucją wniosek wydaje się paradoksalny, ponieważ intuicyjnie szacujemy ilość dowodów dostarczonych przez obserwację zielonego jabłka na zero, podczas gdy w rzeczywistości jest ona niezerowa, ale bardzo mała.

Przedstawienie tego argumentu przez IJ Gooda w 1960 r. jest chyba najbardziej znane i od tego czasu wariacje tego argumentu są popularne, chociaż został zaprezentowany w 1958 r., a wczesne formy argumentu pojawiły się już w 1940 r.

Argument Gooda polega na obliczeniu wagi dowodów dostarczonych przez obserwację czarnego kruka lub białego buta na korzyść hipotezy, że wszystkie kruki w kolekcji przedmiotów są czarne. Wagę dowodu stanowi logarytm czynnika Bayesa , który w tym przypadku jest po prostu czynnikiem, o który zmieniają się szanse hipotezy po dokonaniu obserwacji. Argument brzmi następująco:

... przypuśćmy, że istnieją obiekty, które można zobaczyć w dowolnym momencie, z których są kruki i są czarne, i że każdy z nich ma prawdopodobieństwo zobaczenia. Załóżmy hipotezę, że istnieją nieczarne kruki i załóżmy, że hipotezy te są początkowo równie prawdopodobne. Następnie, jeśli zdarzy nam się zobaczyć czarnego kruka, czynnik Bayesa na korzyść jest${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$${\ Displaystyle H_ {i}}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle H_ {1}, H_ {2}, ..., H_ {r}}$${\displaystyle H_{0}}$

${\ Displaystyle {\ tfrac {R} {N}} {\ Duży /} \ tekst {średnia}} \ lewo ({\ tfrac {R-1} {N}}, {\ tfrac {R-2}} N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$

tj. około 2, jeśli wiadomo, że liczba istniejących kruków jest duża. Ale czynnikiem, jeśli widzimy biały but, jest tylko

${\ Displaystyle {\ tfrac {Nb} {N}} \ Duży / {\ tekst {średnia}} \ lewo ({\ tfrac {Nb-1} {N}}, {\ tfrac {Nb-2} N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {Nbr}{N}})\right)}$

${\ Displaystyle \ = \ {\ Frac {Nb} {\ max \ lewo (Nb-{\ tfrac {R} {2}} - {\ tfrac {1} {2}} \ , \ {\ tfrac {1} {2}}(Nb-1)\prawo)}}}$

a to przekracza jedność tylko o jeśli jest duże w porównaniu do . Tak więc waga dowodów dostarczanych przez widok białego buta jest dodatnia, ale jest niewielka, jeśli wiadomo, że liczba kruków jest niewielka w porównaniu z liczbą obiektów innych niż czarne.${\ Displaystyle r/(2N-2b)}$${\ Displaystyle nb}$${\ Displaystyle r}$

Wielu zwolenników tej uchwały i warianty od niej były zwolennicy prawdopodobieństwa Bayesa i jest obecnie powszechnie nazywany Bayesa rozwiązanie, chociaż, jak Chihara zauważa, „nie ma czegoś takiego jak na Bayesa rozwiązania. Istnieje wiele różnych" rozwiązań”, które Bayesians przedstawili przy użyciu technik bayesowskich”. Godne uwagi podejścia wykorzystujące techniki bayesowskie (z których niektóre akceptują !PC i zamiast tego odrzucają NC) obejmują Earmana, Eellsa, Gibsona, Hosiassona-Lindenbauma , Howsona i Urbacha, Mackie i Hintikkę, który twierdzi, że jego podejście jest „bardziej bayesowskie niż nazwany „rozwiązaniem bayesowskim” tego samego paradoksu”. Podejścia bayesowskie, które wykorzystują teorię wnioskowania indukcyjnego Carnapa, obejmują Humburga, Mahera oraz Fitelsona i Hawthorne'a. Vranas wprowadził termin „standardowe rozwiązanie bayesowskie”, aby uniknąć nieporozumień.

Podejście Carnapa

Maher przyjmuje paradoksalny wniosek i udoskonala go:

Niekruk (dowolnego koloru) potwierdza, że ​​wszystkie kruki są czarne, ponieważ

(i) informacja, że ​​przedmiot ten nie jest krukiem, usuwa możliwość, że przedmiot ten jest kontrprzykładem dla uogólnienia, oraz

(ii) zmniejsza prawdopodobieństwo, że nieobserwowane obiekty są krukami, zmniejszając tym samym prawdopodobieństwo, że są kontrprzykładami dla uogólnienia.

Aby osiągnąć (ii), odwołuje się do teorii prawdopodobieństwa indukcyjnego Carnapa, która jest (z bayesowskiego punktu widzenia) sposobem przypisywania wcześniejszych prawdopodobieństw, który w naturalny sposób realizuje indukcję. Zgodnie z teorią Carnapa, prawdopodobieństwo a posteriori , że obiekt , będzie miał orzeczenie , po zaobserwowaniu dowodów wynosi: ${\ Displaystyle P (Fa | E)}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle P (Fa | E) \ = \ {\ Frac {n_ {F} + \ Lambda P (Fa)} {n + \ Lambda}}}$

gdzie jest początkowym prawdopodobieństwem, które ma predykat ; to liczba obiektów, które zostały zbadane (zgodnie z dostępnymi dowodami ); jest liczbą badanych obiektów, które okazały się posiadać predykat , i jest stałą mierzącą odporność na uogólnienia. ${\ Displaystyle P (Fa)}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle n_{F}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Jeżeli jest bliskie zeru, będzie bardzo bliskie jedności po pojedynczej obserwacji obiektu, który okazał się mieć predykat , natomiast jeżeli jest znacznie większe niż , będzie bardzo bliskie jedności niezależnie od tego, jaka część obserwowanych obiektów miała predykat . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle P (Fa | E)}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle P (Fa | E)}$${\ Displaystyle P (Fa)}$${\ Displaystyle F}$

Używając tego Carnapiowskiego podejścia, Maher identyfikuje twierdzenie, o którym intuicyjnie (i poprawnie) wiemy, że jest fałszywe, ale łatwo mylimy je z paradoksalnym wnioskiem. Chodzi o to, że obserwacja niekruków mówi nam o kolorze kruków. Chociaż jest to intuicyjnie fałszywe i jest również fałszywe zgodnie z teorią indukcji Carnapa, obserwowanie nie kruków (według tej samej teorii) powoduje, że zmniejszamy nasze oszacowanie całkowitej liczby kruków, a tym samym zmniejsza szacowaną liczbę możliwych kontrprzykładów do zasada, że ​​wszystkie kruki są czarne.

Stąd, z bayesowsko-karnapijskiego punktu widzenia, obserwacja niekruka nie mówi nam nic o ich maści, ale mówi nam o ich występowaniu i wspiera „wszystkie kruki są czarne” poprzez zmniejszenie naszego oszacowanie liczby kruków, które mogą nie być czarne.

Rola wiedzy podstawowej

Wiele dyskusji na temat paradoksu w ogólności, aw szczególności podejścia bayesowskiego, koncentrowało się na znaczeniu wiedzy podstawowej. Co zaskakujące, Maher pokazuje, że dla dużej klasy możliwych konfiguracji wiedzy tła, obserwacja nie-czarnego nie-kruka dostarcza dokładnie takiej samej ilości potwierdzenia, jak obserwacja czarnego kruka. Konfiguracje wiedzy podstawowej, które rozważa, to te, które są dostarczane przez przykładowe zdanie , a mianowicie zdanie będące koniunkcją zdań atomowych, z których każde przypisuje pojedynczy orzeczenie jednej osobie, bez dwóch zdań atomowych dotyczących tej samej osoby. . Tak więc zdanie postaci „A to czarny kruk, a B to biały but” można uznać za propozycję przykładową, biorąc za predykaty „czarny kruk” i „biały but”.

Dowód Mahera wydaje się zaprzeczać wynikowi argumentu bayesowskiego, który głosił, że obserwacja nie czarnego nie-kruka dostarcza znacznie mniej dowodów niż obserwacja czarnego kruka. Powodem jest to, że podstawowa wiedza, której używa Good i inni, nie może być wyrażona w formie przykładowej propozycji – w szczególności warianty standardowego podejścia bayesowskiego często zakładają (jak Good w cytowanym powyżej argumencie), że łączna liczba kruki, obiekty inne niż czarne i/lub całkowita liczba obiektów to znane ilości. Maher komentuje: „Powodem, dla którego uważamy, że jest więcej nieczarnych istot niż kruków, jest to, że dotyczy to rzeczy, które do tej pory zaobserwowaliśmy. Dowody tego rodzaju można przedstawić za pomocą przykładowej tezy. Ale… biorąc pod uwagę każda przykładowa propozycja jako dowód w tle, nieczarny nie-kruk potwierdza A tak samo mocno, jak czarny kruk… Tak więc moja analiza sugeruje, że ta odpowiedź na paradoks [tj. Standardowy Bayesowski] nie może być poprawna”.

Fitelson i Hawthorne zbadali warunki, w jakich obserwacja nie czarnego kruka dostarcza mniej dowodów niż obserwacja czarnego kruka. Pokazują, że jeśli jest to przedmiot wybrany losowo, to twierdzenie, że przedmiot jest czarny, i twierdzenie, że jest to kruk, to warunek: ${\displaystyle a}$${\ Displaystyle Ba}$${\ Displaystyle Ra}$

${\ Displaystyle {\ Frac {P ({\ overline {Ba}} | {\ overline {H}})} {P (Ra | {\ overline {H}})}} \ - \ P ({\ overline { Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P( Ra|H)}}}$

wystarczy, aby obserwacja nie czarnego kruka dostarczyła mniej dowodów niż obserwacja czarnego kruka. Tutaj linia nad zdaniem wskazuje na logiczną negację tego zdania.

Warunek ten nie mówi nam, jak duża jest różnica w dostarczonych dowodach, ale późniejsze obliczenia w tej samej pracy pokazują, że ciężar dowodu dostarczonego przez czarnego kruka przewyższa ten dostarczony przez innego nie-czarnego kruka o około . Jest to równe ilości dodatkowych informacji (w bitach, jeśli podstawą logarytmu jest 2), które są dostarczane, gdy kruk o nieznanym kolorze okazuje się być czarny, biorąc pod uwagę hipotezę, że nie wszystkie kruki są czarne. ${\ Displaystyle - \ log P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$

Fitelson & Hawthorne wyjaśniają, że:

W normalnych warunkach może wynosić około 0,9 lub 0,95; tak jest około 1,11 lub 1,05. Tak więc może się wydawać, że pojedynczy przypadek czarnego kruka nie daje o wiele większego wsparcia niż nie-czarny nie-kruk. Jednak w prawdopodobnych warunkach można wykazać, że sekwencja przypadków (tj. n czarnych kruków w porównaniu z n nieczarnymi nie-krukami) daje stosunek ilorazu prawdopodobieństwa rzędu , który w przypadku dużych kruków wybucha znacząco .${\ Displaystyle p = P (Ba | Ra {\ overline {H}})}$${\displaystyle 1/p}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle (1/p) ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Autorzy zwracają uwagę, że ich analiza jest całkowicie zgodna z przypuszczeniem, że inny niż czarny kruk dostarcza niezwykle małej ilości dowodów, chociaż nie próbują tego udowodnić; obliczają jedynie różnicę między ilością dowodów, które dostarcza czarny kruk, a ilością dowodów, które dostarcza nie-czarny nie-kruk.

Zakwestionowanie indukcji z pozytywnych przypadków

Niektóre podejścia do rozwiązania paradoksu koncentrują się na kroku indukcyjnym. Spierają się, czy obserwacja konkretnego przypadku (takiego jak jeden czarny kruk) jest rodzajem dowodu, który z konieczności zwiększa zaufanie do ogólnej hipotezy (np. że kruki są zawsze czarne).

Czerwony śledź

Dobry podaje przykład podstawowej wiedzy, w odniesieniu do której obserwacja czarnego kruka zmniejsza prawdopodobieństwo, że wszystkie kruki są czarne:

Załóżmy, że wiemy, że znajdujemy się w jednym lub drugim z dwóch światów, a hipoteza H, którą rozważamy, jest taka, że ​​wszystkie kruki w naszym świecie są czarne. Wiemy z góry, że na jednym świecie jest sto czarnych kruków, żadnych innych niż czarne i milion innych ptaków; i że na tamtym świecie jest tysiąc czarnych kruków, jeden biały kruk i milion innych ptaków. Ptak jest wybierany równie prawdopodobnie losowo spośród wszystkich ptaków naszego świata. Okazuje się, że to czarny kruk. To mocny dowód... że jesteśmy w drugim świecie, w którym nie wszystkie kruki są czarne.

Good konkluduje, że biały but to „ czerwony śledź ”: Czasami nawet czarny kruk może stanowić dowód przeciwko hipotezie, że wszystkie kruki są czarne, więc fakt, że obserwacja białego buta może to potwierdzić, nie jest zaskakujący i nie wart uwagi . Kryterium Nicoda jest według Gooda fałszywe, a więc nie wynika z tego paradoksalny wniosek.

Hempel odrzucił to jako rozwiązanie paradoksu, twierdząc, że zdanie „c jest krukiem i jest czarne” należy rozpatrywać „samo w sobie i bez odniesienia do jakichkolwiek innych informacji” i wskazując, że „… zostało podkreślone w ustęp 5.2(b) mojego artykułu w Umyśle … że samo pojawienie się paradoksów w przypadkach takich jak biały but wynika po części z nieprzestrzegania tej maksymy.”

Pojawia się wówczas pytanie, czy paradoks należy rozumieć w kontekście absolutnie braku informacji tła (jak sugeruje Hempel), czy w kontekście informacji, które faktycznie posiadamy w odniesieniu do kruków i czarnych przedmiotów, czy też w odniesieniu do wszystkich możliwe konfiguracje informacji podstawowych.

Good wykazał, że w przypadku niektórych konfiguracji podstawowej wiedzy kryterium Nicoda jest fałszywe (pod warunkiem, że jesteśmy gotowi zrównać „wsparcie indukcyjne” ze „zwiększeniem prawdopodobieństwa” – patrz niżej). Pozostała możliwość, że w odniesieniu do naszej aktualnej konfiguracji wiedzy, która jest bardzo odmienna od przykładu Gooda, kryterium Nicoda może być nadal prawdziwe, a więc wciąż możemy dojść do paradoksalnego wniosku. Z drugiej strony Hempel upiera się, że nasza wiedza podstawowa sama w sobie jest czerwonym śledziem i że powinniśmy rozważyć indukcję w odniesieniu do stanu doskonałej ignorancji.

Kochanie dobra

W proponowanej rezolucji Maher pośrednio wykorzystał fakt, że zdanie „Wszystkie kruki są czarne” jest wysoce prawdopodobne, gdy jest wysoce prawdopodobne, że nie ma kruków. Good wykorzystał ten fakt już wcześniej, aby odpowiedzieć na naleganie Hempla, że ​​kryterium Nicoda należy rozumieć jako obowiązujące w przypadku braku dodatkowych informacji:

...wyobraź sobie nieskończenie inteligentne noworodek z wbudowanymi obwodami neuronowymi, które pozwalają mu radzić sobie z logiką formalną, angielską składnią i subiektywnym prawdopodobieństwem. Mógłby teraz argumentować, po szczegółowym zdefiniowaniu kruka, że ​​jest bardzo mało prawdopodobne, aby istniały jakiekolwiek kruki, a zatem jest bardzo prawdopodobne, że wszystkie kruki są czarne, to znaczy, że to prawda. „Z drugiej strony” – kontynuuje – „jeśli są kruki, to istnieje rozsądna szansa, że ​​mają różne kolory. Dlatego, gdybym odkrył, że istnieje nawet czarny kruk, uznałbym to za mniej prawdopodobne niż początkowo.${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$

Według Gooda jest to tak blisko, jak można racjonalnie oczekiwać, że dojdzie do stanu doskonałej ignorancji i wydaje się, że stan Nicoda jest nadal fałszywy. Maher doprecyzował argument Gooda, używając teorii indukcji Carnapa do sformalizowania poglądu, że jeśli jest jeden kruk, to prawdopodobnie jest ich wiele.

Argument Mahera rozważa wszechświat składający się dokładnie z dwóch obiektów, z których każdy jest bardzo mało prawdopodobny, aby był krukiem (szansa jeden na tysiąc) i dość mało prawdopodobnym, by był czarny (prawdopodobnie jeden na dziesięć). Używając wzoru Carnapa na indukcję, stwierdza, że ​​prawdopodobieństwo, że wszystkie kruki są czarne, zmniejsza się z 0,9985 do 0,8995, gdy odkryto, że jeden z dwóch obiektów jest czarnym krukiem.

Maher doszedł do wniosku, że nie tylko paradoksalny wniosek jest prawdziwy, ale że kryterium Nicoda jest fałszywe przy braku wiedzy podstawowej (z wyjątkiem wiedzy, że liczba obiektów we wszechświecie wynosi dwa i że kruki są mniej prawdopodobne niż czarne stworzenia).

Predykaty wyróżniające

Quine argumentował, że rozwiązanie paradoksu polega na uznaniu, że pewne predykaty , które nazwał rodzajami naturalnymi , mają wyróżniający się status w odniesieniu do indukcji. Można to zilustrować przykładem predykatu grue Nelsona Goodmana . Obiekt jest grue, jeśli jest niebieski przed (powiedzmy) 2021 r., a zielony po. Oczywiście spodziewamy się, że obiekty, które były niebieskie przed 2021 r., pozostaną niebieskie po tym czasie, ale nie oczekujemy, że obiekty, które były szare przed 2021 r., będą niebieskie po 2021 r., ponieważ po 2021 r. będą zielone. Wyjaśnienie Quine'a jest takie, że „niebieski” jest naturalnym rodzajem; uprzywilejowany orzeczenie, którego możemy użyć do indukcji, podczas gdy „grue” nie jest rodzajem naturalnym i używanie z nim indukcji prowadzi do błędu.

Sugeruje to rozwiązanie paradoksu – kryterium Nicoda jest prawdziwe dla rodzajów naturalnych, takich jak „niebieski” i „czarny”, ale jest fałszywe w przypadku sztucznie wymyślonych predykatów, takich jak „grue” lub „nie-kruk”. Paradoks powstaje, zgodnie z tą rezolucją, ponieważ implicite interpretujemy kryterium Nicoda jako mające zastosowanie do wszystkich predykatów, podczas gdy w rzeczywistości stosuje się ono tylko do rodzajów naturalnych.

Inne podejście, które faworyzuje określone predykaty nad innymi, przyjęła Hintikka. Hintikka była zmotywowana do znalezienia bayesowskiego podejścia do paradoksu, które nie wykorzystywałoby wiedzy o względnych częstotliwościach kruków i czarnych rzeczy. Twierdzi on, że argumenty dotyczące względnych częstości nie zawsze mogą wyjaśniać dostrzeganą nieistotność dowodów składających się z obserwacji obiektów typu A dla celów poznania obiektów typu nie-A.

Jego argumentację można zilustrować przeformułowaniem paradoksu przy użyciu predykatów innych niż „kruk” i „czarny”. Na przykład „Wszyscy mężczyźni są wysocy” jest odpowiednikiem „Wszyscy ludzie niskiego wzrostu to kobiety”, a więc obserwowanie, że losowo wybrana osoba jest niską kobietą, powinno dostarczyć dowodów, że wszyscy mężczyźni są wysocy. Pomimo faktu, że brakuje nam podstawowej wiedzy, która wskazywałaby, że jest znacznie mniej mężczyzn niż ludzi niskich, nadal jesteśmy skłonni odrzucić wniosek. Przykładem Hintikki jest: „... uogólnienie w rodzaju 'żadne materialne ciała nie są nieskończenie podzielne' wydaje się być całkowicie niezależne od pytań dotyczących bytów niematerialnych, niezależnie od tego, co myślimy o względnych częstotliwościach bytów materialnych i niematerialnych w czyimś wszechświecie dyskursu. "

Jego rozwiązaniem jest wprowadzenie porządku do zbioru predykatów. Gdy system logiczny jest wyposażony w ten rozkaz, możliwe jest ograniczenie zakresu uogólnienia typu „Wszystkie kruki są czarne” tak, aby dotyczyło tylko kruków, a nie rzeczy innych niż czarne, ponieważ rozkaz uprzywilejowuje kruki nad nieczarnymi. -czarne rzeczy. Jak to ujął:

„Jeżeli mamy rację zakładając, że zakres uogólnienia »Wszystkie kruki są czarne« można ograniczyć do kruków, to oznacza to, że dysponujemy pewnymi zewnętrznymi informacjami, na których możemy polegać w odniesieniu do stanu faktycznego. Paradoks wynika z faktu że ta informacja, która zabarwia nasz spontaniczny pogląd na sytuację, nie jest włączona w zwykłe traktowanie sytuacji indukcyjnej”.

Odrzucenie warunku równoważności Hempla

Niektóre podejścia do rozwiązania paradoksu odrzucają warunek równoważności Hempla. Oznacza to, że mogą nie brać pod uwagę dowodów na poparcie twierdzenia, że wszystkie nieczarne przedmioty nie są krukami, aby koniecznie wspierać logicznie równoważne twierdzenia, takie jak wszystkie kruki są czarne .

Selektywne potwierdzenie

Scheffler i Goodman podeszli do paradoksu, który zawiera pogląd Karla Poppera , że hipotezy naukowe nigdy nie są tak naprawdę potwierdzane, a jedynie fałszowane.

Podejście zaczyna się od odnotowania, że ​​obserwacja czarnego kruka nie dowodzi, że „Wszystkie kruki są czarne”, ale fałszuje przeciwną hipotezę: „Żadne kruki nie są czarne”. Z drugiej strony nie-czarny nie-kruk jest zgodny zarówno z „Wszystkie kruki są czarne”, jak iz „Żaden kruki nie są czarne”. Jak ujęli to autorzy:

... twierdzenie, że wszystkie kruki są czarne, nie jest jedynie usatysfakcjonowane dowodami istnienia czarnego kruka, ale jest faworyzowane przez takie dowody, ponieważ czarny kruk zaprzecza twierdzeniu przeciwnemu, że wszystkie kruki nie są czarne, tj. spełnia swoje zaprzeczenie. Innymi słowy, czarny kruk spełnia hipotezę, że wszystkie kruki są czarne, a nie nie: w ten sposób selektywnie potwierdza, że wszystkie kruki są czarne .

Selektywne potwierdzanie narusza warunek równoważności, ponieważ czarny kruk selektywnie potwierdza „Wszystkie kruki są czarne”, ale nie „Wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami”.

Indukcja probabilistyczna lub nieprobabilistyczna

Koncepcja konfirmacji selektywnej Schefflera i Goodmana jest przykładem interpretacji „dostarcza dowodów na korzyść…”, która nie pokrywa się z „zwiększeniem prawdopodobieństwa…”. Musi to być ogólna cecha wszystkich uchwał odrzucających warunek równoważności, ponieważ zdania równoważne logicznie muszą mieć zawsze to samo prawdopodobieństwo.

Obserwacja czarnego kruka nie może zwiększyć prawdopodobieństwa zdania „Wszystkie kruki są czarne” bez spowodowania dokładnie takiej samej zmiany prawdopodobieństwa, że ​​„Wszystkie nieczarne rzeczy są nie krukami”. Jeśli obserwacja indukcyjnie wspiera to pierwsze, ale nie drugie, to „podparcie indukcyjne” musi odnosić się do czegoś innego niż zmiany prawdopodobieństw zdań. Możliwą luką jest interpretowanie „Wszystkich” jako „Prawie wszystkie” – „Prawie wszystkie kruki są czarne” nie jest równoważne z „Prawie wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami”, a te propozycje mogą mieć bardzo różne prawdopodobieństwa.

Rodzi to szersze pytanie o stosunek teorii prawdopodobieństwa do rozumowania indukcyjnego. Karl Popper twierdził, że sama teoria prawdopodobieństwa nie może wyjaśnić indukcji. Jego argument polega na podzieleniu hipotezy, , na część, która jest dedukcyjnie związana z dowodami , i inną część. Można to zrobić na dwa sposoby. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$

Najpierw rozważ podział:

${\displaystyle H=A\ i\ B\ \ \ \ \ \ E = B\ i\ C}$

gdzie , i są probabilistycznie niezależne: i tak dalej. Warunkiem koniecznym, aby takie rozszczepienie H i E było możliwe , jest , czyli jest prawdopodobnie poparte przez . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle P (A\ i\ B) = P (A) P (B)}$${\ Displaystyle P (H | E)> P (H)}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$

Obserwacja Poppera jest to, że część, , na który otrzymuje wsparcie od faktycznie następuje z dedukcyjnie , natomiast część , która nie wynika dedukcyjnie od otrzymuje żadnego wsparcia w ogóle od - czyli . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle P (A | E) = P (A)}$

Po drugie, podział:

${\ Displaystyle H = (H\ lub\ E)\ i\ (H\ lub\ {\ overline {E}})}$

rozdziela się na , które, jak mówi Popper, „jest logicznie najsilniejszą częścią (lub zawartością ), która wynika [dedukcyjnie] z ” i , która, jak mówi, „zawiera wszystko, co wykracza poza ”. On kontynuuje: ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle (H\ lub\ E)}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (H\ lub\ {\ overline {E}})}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$

Czy w tym przypadku stanowi jakieś wsparcie dla czynnika , który w obecności jest sam potrzebny do uzyskania ? Odpowiedź brzmi: Nie. Nigdy. Rzeczywiście, kontrpodpory chyba albo lub (które są możliwościami bez zainteresowania). ...${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (H\ lub\ {\ overline {E}})}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (H\ lub\ {\ overline {E}})}$${\ Displaystyle P (H | E) = 1}$${\ Displaystyle P (E) = 1}$

Wynik ten jest całkowicie druzgocący dla indukcyjnej interpretacji rachunku prawdopodobieństwa. Całe poparcie probabilistyczne jest czysto dedukcyjne: ta część hipotezy, która nie jest dedukcyjnie powiązana z dowodami, jest zawsze silnie wspierana przez dowody… Istnieje coś takiego jak poparcie probabilistyczne; może nawet istnieć coś takiego jak wsparcie indukcyjne (choć raczej tak nie sądzimy). Ale rachunek prawdopodobieństwa pokazuje, że wsparcie probabilistyczne nie może być wsparciem indukcyjnym.

Podejście prawosławne

Ortodoksyjna teoria testowania hipotez Neymana-Pearsona rozważa, jak zdecydować, czy przyjąć lub odrzucić hipotezę, a nie jakie prawdopodobieństwo przypisać hipotezie. Z tego punktu widzenia hipoteza, że ​​„wszystkie kruki są czarne” nie jest akceptowana stopniowo , ponieważ jej prawdopodobieństwo wzrasta do jedności w miarę dokonywania coraz większej liczby obserwacji, ale jest akceptowana w jednym działaniu jako wynik oceny danych, które już zebrane. Jak ujęli to Neyman i Pearson:

Nie mając nadziei na dowiedzenie się, czy każda z hipotez jest prawdziwa, czy fałszywa, możemy szukać reguł rządzących naszym zachowaniem w odniesieniu do nich, zgodnie z którymi zapewniamy, że na dłuższą metę nie będziemy się zbyt często mylić.

Zgodnie z tym podejściem nie jest konieczne przypisywanie żadnej wartości prawdopodobieństwu hipotezy , chociaż z pewnością należy wziąć pod uwagę prawdopodobieństwo danych podanych hipotezie lub podanej hipotezie konkurencyjnej przy podejmowaniu decyzji o akceptacji lub odrzuceniu . Przyjęcie lub odrzucenie hipotezy niesie ze sobą ryzyko błędu .

Kontrastuje to z podejściem bayesowskim, które wymaga przypisania hipotezie prawdopodobieństwa a priori, które jest rewidowane w świetle zaobserwowanych danych w celu uzyskania ostatecznego prawdopodobieństwa hipotezy. W ramach bayesowskich nie ma ryzyka błędu, ponieważ hipotezy nie są akceptowane ani odrzucane; zamiast tego przypisuje się im prawdopodobieństwa.

Przeprowadzona została analiza paradoksu z ortodoksyjnego punktu widzenia, która prowadzi m.in. do odrzucenia warunku równoważności:

Wydaje się oczywiste, że nie można jednocześnie przyjąć hipotezy, że wszystkie P są Q, a także odrzucić przeciwieństwo, to znaczy, że wszystkie inne niż Q są nie-P. Jednak to łatwo zauważyć, że na Neyman-Pearson teorii testowania, test „all P są Q” to nie koniecznie test „Wszyscy na non-Q są non-P” lub odwrotnie. Test „all P są P” wymaga w odniesieniu do pewnych alternatywnych hipotezy statystycznej postaci wszystkich P są Q , natomiast test „all niewyłącznych q są nie-P” należy powołać się na kilka alternatywnych statystycznej formy z wszystkie nie-Q są nie-P, . Ale te dwa zestawy możliwych alternatyw są różne... Można więc przeprowadzić test bez testu przeciwstawności.${\ Displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\ Displaystyle H}$

Odrzucenie implikacji materialnej

Wszystkie następujące zdania implikują się nawzajem: „Każdy przedmiot jest albo czarny, albo nie jest krukiem”, „Każdy kruk jest czarny” i „Każdy nieczarny przedmiot jest nie-krukiem”. Są zatem z definicji logicznie równoważne. Jednak te trzy zdania mają różne dziedziny: pierwsze zdanie mówi coś o „każdym przedmiocie”, drugie zaś mówi coś o „każdym kruku”.

Pierwsza propozycja jest jedyną, której dziedzina kwantyfikacji jest nieograniczona („wszystkie obiekty”), więc jest jedyną, którą można wyrazić w logice pierwszego rzędu . Jest to logicznie równoważne:

${\ Displaystyle \ forall \ x, Rx \ \rightarrow \ Bx}$

a także do

${\ Displaystyle \ forall \ x {\ overline {Bx}} \ \ rightarrow \ {\ overline {Rx}}}$

gdzie wskazuje warunek warunkowy materialny , zgodnie z którym „Jeśli to ” można rozumieć jako „ lub ”.${\displaystyle \rightarrow}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

Kilku autorów twierdziło, że implikacja materialna nie oddaje w pełni znaczenia „jeśli to ” (patrz paradoksy implikacji materialnej ). „Każdy przedmiot, , jest albo czarny, albo nie jest krukiem” jest prawdą, gdy nie ma kruków. Z tego powodu "Wszystkie kruki są czarne" jest uważane za prawdziwe, gdy nie ma kruków. Co więcej, argumenty, których Good i Maher użyli do krytykowania kryterium Nicoda (patrz § Dziecko Gooda powyżej) opierały się na tym fakcie – że „wszystkie kruki są czarne” jest wysoce prawdopodobne, gdy jest wysoce prawdopodobne, że nie ma kruków. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Stwierdzenie, że wszystkie kruki są czarne przy braku kruków, jest pustym stwierdzeniem. Nie odnosi się do niczego. „Wszystkie kruki są białe” jest równie istotne i prawdziwe, jeśli uważa się, że to stwierdzenie ma jakąkolwiek prawdę lub znaczenie.

Niektóre podejścia do paradoksu miały na celu znalezienie innych sposobów interpretacji „Jeśli wtedy ” i „Wszystko są ”, które wyeliminowałyby postrzeganą równoważność między „Wszystkie kruki są czarne” i „Wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami”. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Jedno z takich podejść polega na wprowadzeniu wielowartościowej logiki, zgodnie z którą „Jeśli to ” ma wartość logiczną , co oznacza „Nieokreślony” lub „Niewłaściwy”, gdy jest fałszywe. W takim systemie przeciwstawienie nie jest automatycznie dozwolone: ​​„Jeżeli to ” nie jest równoznaczne z „Jeżeli to ”. W związku z tym „Wszystkie kruki są czarne” nie jest równoznaczne z „Wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami”. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

W tym systemie, gdy występuje przeciwstawienie, tryb warunkowy zmienia się z orientacyjnego („Jeżeli ten kawałek masła został podgrzany do 32 °C, to się roztopił”) na alternatywny („Gdyby ten kawałek masła był ogrzewa się do 32 ° C, to byłoby stopiony "). Zgodnie z tym argumentem, usuwa to rzekomą równoważność, która jest konieczna, aby stwierdzić, że żółte krowy mogą nas informować o krukach:

We właściwym użyciu gramatycznym argument przeciwstawny nie powinien być podawany w całości w trybie oznajmującym. A zatem:

Z tego, że jeśli ta zapałka jest porysowana to się zapali, wynika z tego, że jeśli nie zapaliła się to nie była porysowana.

jest niezręczne. Powinniśmy powiedzieć:

Z faktu, że jeśli ten mecz jest porysowana będzie świecić, wynika, że gdyby to było nie do światła to by nie zostały porysowane. ...

Można by się zastanawiać, jaki wpływ ma ta interpretacja Prawa Kontrapozycji na paradoks konfirmacji Hempla. „Jeśli jest krukiem, to jest czarny” jest odpowiednikiem „Gdyby nie był czarny , nie byłby krukiem”. Zatem cokolwiek potwierdza to drugie, powinno również, przez Warunek Równoważności, potwierdzać to pierwsze. To prawda, ale żółte krowy nadal nie mogą wchodzić w skład potwierdzenia „Wszystkie kruki są czarne”, ponieważ w nauce potwierdzanie dokonuje się przez przepowiednię, a przepowiednie są właściwie sformułowane w trybie oznajmującym. Nie ma sensu pytać, co potwierdza kontrfakt.${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Odmienne wyniki przyjmowania hipotez

Kilku komentatorów zauważyło, że twierdzenia „Wszystkie kruki są czarne” i „Wszystkie nieczarne rzeczy są nie krukami” sugerują różne procedury testowania hipotez. Np. Dobry pisze:

Jako twierdzenia te dwa stwierdzenia są logicznie równoważne. Ale mają inny psychologiczny wpływ na eksperymentatora. Jeśli zostanie poproszony o sprawdzenie, czy wszystkie kruki są czarne, poszuka kruka, a następnie zdecyduje, czy jest czarny. Ale jeśli zostanie poproszony o sprawdzenie, czy wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami, może poszukać nieczarnego obiektu, a następnie zdecydować, czy jest to kruk.

Ostatnio zasugerowano, że „Wszystkie kruki są czarne” i „Wszystkie nieczarne rzeczy są nie-krukami” mogą mieć różne skutki, jeśli zostaną zaakceptowane . Argument dotyczy sytuacji, w których całkowita liczba lub częstość występowania kruków i czarnych przedmiotów jest nieznana, ale szacowana. Przy przyjęciu hipotezy „Wszystkie kruki są czarne”, zgodnie z argumentem, szacowana liczba czarnych przedmiotów wzrasta, podczas gdy szacowana liczba kruków nie zmienia się.

Można to zilustrować, rozpatrując sytuację dwóch osób, które mają identyczne informacje dotyczące kruków i czarnych przedmiotów oraz które mają identyczne szacunki liczby kruków i czarnych przedmiotów. Dla konkretności załóżmy, że w sumie jest 100 przedmiotów, a zgodnie z informacjami dostępnymi dla zaangażowanych osób, każdy przedmiot prawdopodobnie nie będzie krukiem, tak jak kruk, i tak samo prawdopodobnie będzie czarny. jak ma być nieczarny:

${\ Displaystyle P (Ra) = {\ Frac {1} {2}} \ \ \ \ \ \ \ \ P (Ba) = {\ Frac {1} {2}}}$

i propozycje są niezależne dla różnych obiektów , i tak dalej. Wtedy szacowana liczba kruków wynosi 50; szacowana liczba czarnych rzeczy to 50; szacunkowa liczba czarnych kruków to 25, a szacunkowa liczba kruków innych niż czarne (kontrprzykłady hipotez) to 25. ${\ Displaystyle Ra \ Rb}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Jedna z osób przeprowadza test statystyczny (np. test Neymana-Pearsona lub porównanie skumulowanej wagi dowodów z progiem) hipotezy, że „Wszystkie kruki są czarne”, natomiast druga testuje hipotezę, że „Wszystkie nie- czarne przedmioty nie są krukami”. Dla uproszczenia załóżmy, że dowody użyte w teście nie mają nic wspólnego ze zbiorem 100 obiektów, którymi się tutaj zajmujemy. Jeśli pierwsza osoba zaakceptuje hipotezę, że „wszystkie kruki są czarne”, to zgodnie z argumentem około 50 przedmiotów, których kolory były wcześniej wątpliwe (kruki), uważa się teraz za czarne, podczas gdy o pozostałych przedmiotach nie myśli się inaczej. (nie kruki). W związku z tym powinien oszacować liczbę czarnych kruków na 50, liczbę czarnych niekruków na 25 i liczbę nieczarnych niekruków na 25. Określając te zmiany, argument ten wyraźnie ogranicza domenę „Wszystkie kruki są czarne” dla kruków.

Z drugiej strony, jeśli druga osoba zaakceptuje hipotezę, że "Wszystkie nieczarne obiekty są nie krukami", to około 50 nieczarnych obiektów, co do których nie było pewności, czy każdy z nich był krukiem, będzie uważane za nie -kruki. Jednocześnie nic innego nie zostanie pomyślane o około 50 pozostałych obiektach (czarnych obiektach). W związku z tym powinien oszacować liczbę czarnych kruków na 25, liczbę czarnych niekruków na 25 i liczbę nieczarnych niekruków na 50. Zgodnie z tym argumentem, ponieważ obie osoby nie zgadzają się co do swoich szacunków po tym, jak zaakceptowali różne hipotezy, akceptując "Wszystkie kruki są czarne" nie jest równoznaczne z akceptacją "Wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami"; zaakceptowanie tego pierwszego oznacza oszacowanie większej liczby rzeczy jako czarnych, podczas gdy zaakceptowanie drugiego oznacza oszacowanie większej liczby rzeczy jako niekruków. Zgodnie z argumentacją pierwsza wymaga jako dowodu kruków, które okazują się czarne, a druga wymaga nieczarnych rzeczy, które okazują się niekrukami.

Założenia egzystencjalne

Wielu autorów argumentowało, że twierdzenia w formie „Wszyscy są ” zakładają, że istnieją obiekty, które są . Ta analiza została zastosowana do paradoksu kruka: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

... : "Wszystkie kruki są czarne" i : "Wszystkie nieczarne rzeczy nie są krukami" nie są ściśle równoważne ... z powodu ich różnych egzystencjalnych założeń. Co więcej, chociaż i opisują tę samą prawidłowość – nieistnienie nieczarnych kruków – mają różne formy logiczne. Te dwie hipotezy mają różne sensy i zawierają różne procedury testowania opisywanej przez nie prawidłowości.${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Zmodyfikowana logika może uwzględniać założenia egzystencjalne za pomocą operatora presupozycyjnego „*”. Na przykład,

${\ Displaystyle \ forall \ x \ * Rx \ rightarrow Bx}$

może oznaczać „Wszystkie kruki są czarne”, wskazując jednocześnie, że w tym przykładzie z założenia istnieją kruki, a nie inne przedmioty.

... logiczna forma każdej hipotezy odróżnia ją w odniesieniu do zalecanego typu dowodów potwierdzających: możliwe prawdziwe przypadki podstawienia każdej hipotezy odnoszą się do różnych typów obiektów. Fakt, że te dwie hipotezy zawierają różne rodzaje procedur testowych, jest wyrażany w języku formalnym przez dodanie operatora „*” do innego predykatu. Operator presupozycji służy zatem również jako operator istotności. Jest on poprzedzony predykatem „ jest krukiem”, ponieważ obiekty związane z procedurą badania zawartą w „Wszystkie kruki są czarne” obejmują tylko kruki; jest on poprzedzony predykatem ' jest nieczarny', w , ponieważ obiekty odnoszące się do procedury testowej zawartej w „Wszystkie nieczarne rzeczy są niekrukami” obejmują tylko nieczarne rzeczy. ... Używając terminów Frege'a : ilekroć ich założenia się utrzymują, obie hipotezy mają ten sam desygnat (wartość prawdy), ale różne sensy ; to znaczy wyrażają dwa różne sposoby określania tej wartości prawdziwości.${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{2}}$

Zobacz też

• Błąd skojarzenia
• epistemologia bayesowska
• Teoria czarnego łabędzia
• Lista paradoksów

Uwagi

Dalsza lektura

• Chang, Hasok ; Fisher, Grant (2011). „Czego naprawdę uczą nas kruki: wewnętrznej kontekstualności dowodów” . W Dawidzie Filip; Wiązanie, William L.; Vasilaki, Mimi (wyd.). Dowody, wnioskowanie i dochodzenie . Materiały Akademii Brytyjskiej. 171 . Oksford; Nowy Jork: Oxford University Press. doi : 10.5871/bacad/9780197264843.003.0013 . Numer ISBN 9780197264843. OCLC  709682874 .
• Franceschi, Paweł (2011-02-04). „Spór o koniec świata i problem Hempla” . paulfranceschi.com . Źródło 2020-04-27 .Angielskie tłumaczenie artykułu opublikowanego początkowo w języku francuskim jako: Franceschi, Paul (marzec 1999). „Komentarz l'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel”. Kanadyjski Dziennik Filozofii . 29 (1): 139–156. doi : 10.1080/00455091.1999.10717508 . JSTOR  40232048 .
• Hempel, Carl G. (grudzień 1943). „Czysto syntaktyczna definicja potwierdzenia” (PDF) . Dziennik Logiki Symbolicznej . 8 (4): 122–143. doi : 10.2307/2271053 . JSTOR  2271053 .
• Hempel, Carl G. (1966). „Badania w logice konfirmacji”. W Foster, Małgorzata H.; Martin, Michael (red.). Prawdopodobieństwo, potwierdzenie i prostota: odczyty w filozofii logiki indukcyjnej . Nowy Jork: Odyssey Press. s. 145–183. 284885 OCLC  .
• Whiteley, CH (kwiecień 1945). „Paradoksy bierzmowania Hempla”. Umysł . 54 (214): 156-158. doi : 10.1093/mind/liv.214.156 . JSTOR  2250951 .