Koniunkcja logiczna - Logical conjunction

Koniunkcja logiczna

ORAZ
Definicja	${\displaystyle xy}$
Tabela prawdy	${\ Displaystyle (0001)}$
Bramka logiczna
Normalne formy
Dysjunktywny	${\displaystyle xy}$
Łączący	${\displaystyle xy}$
Wielomian Żegalkina	${\displaystyle xy}$
Kraty posta
0-zachowanie	tak
1-konserwujący	tak
Monotonia	nie
Affine	nie
v T mi

W logice , matematyce i językoznawstwie , A ( ) jest operatorem prawdziwościowym koniunkcji logicznej ; i stanowi zbiór argumentów jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego argumenty są prawdziwe. Logiczne łącznej , która reprezentuje ten operator jest zazwyczaj zapisana jako lub ⋅ . ${\ Displaystyle \ klin}$${\ Displaystyle \ klin}$

${\displaystyle A\land B}$jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe i jest prawdziwe. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Operand spójnika jest koniunkcją .

Poza logiką termin „koniunkcja” odnosi się również do podobnych pojęć w innych dziedzinach:

• W języku naturalnym , oznaczenie wyrażeń takich jak angielski „i”.
• W językach programowania , zwarcie i struktura sterowania .
• W teorii mnogości , przecięcie .
• W teorii sieci , koniunkcja logiczna ( największa dolna granica ).
• W logice predykatów , uniwersalna kwantyfikacja .

Notacja

I jest zwykle oznaczany przez operator wrostkowy: w matematyce i logice jest oznaczany przez , & lub × ; w elektronice, ⋅ ; oraz w językach programowania , , lub . W Jana Łukasiewicza jest prefiks notacja dla logiki , operator jest K , dla polskiego koniunkcja . ${\ Displaystyle \ klin}$&&&and

Definicja

Koniunkcja logiczna to operacja na dwóch wartościach logicznych , zazwyczaj wartościach dwóch zdań , która daje wartość true wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty są prawdziwe.

Tożsamość koniunkcyjna jest prawdziwa, co oznacza, że ​​AND-podanie wyrażenia z prawdą nigdy nie zmieni wartości wyrażenia. Zgodnie z koncepcją bezsensownej prawdy , gdy koniunkcja jest definiowana jako operator lub funkcja arbitralnej arności , pusta koniunkcja (AND-ing nad pustym zbiorem argumentów) jest często definiowana jako mająca wynik prawdziwy.

Tabela prawdy

Tabela prawdy od : ${\displaystyle A\land B}$

${\ Displaystyle A}$	${\ Displaystyle B}$	${\ Displaystyle A \ klin B}$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Zdefiniowane przez innych operatorów

W systemach, w których koniunkcja logiczna nie jest pierwotną, można ją zdefiniować jako

${\ Displaystyle A \ ziemia B = \ neg (A \ do \ neg B)}$

lub

${\ Displaystyle A \ ziemia B = \ neg (\ neg A \ lub \ neg B).}$

Wprowadzenie i zasady eliminacji

Z reguły wprowadzenie koniunkcji jest klasycznie ważną , prostą formą argumentacji . Forma argumentu ma dwie przesłanki, A i B . Intuicyjnie pozwala wnioskować o ich koniunkcji.

,

B .

Dlatego A i B .

lub w notacji operatorów logicznych :

${\displaystyle A}$

${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ vdash A \ ziemia B}$

Oto przykład argumentu, który pasuje do wstępu do spójników formularza :

Bob lubi jabłka.

Bob lubi pomarańcze.

Dlatego Bob lubi jabłka, a Bob lubi pomarańcze.

Eliminacja koniunkcji to kolejna klasycznie poprawna , prosta forma argumentu . Intuicyjnie pozwala na wnioskowanie z dowolnej koniunkcji dowolnego elementu tej koniunkcji.

A i B .

Dlatego A .

...lub alternatywnie,

A i B .

Dlatego B .

W notacji operatorów logicznych :

${\displaystyle A\land B}$

${\ Displaystyle \ vdash A}$

...lub alternatywnie,

${\displaystyle A\land B}$

${\ Displaystyle \ vdash B}$

Negacja

Definicja

Koniunkcji jest być fałszywe poprzez ustanowienie albo albo . Jeśli chodzi o język obiektowy, brzmi to ${\displaystyle A\land B}$${\ Displaystyle \ neg A}$${\ Displaystyle \ neg B}$

${\ Displaystyle \ neg A \ do \ neg (A \ ziemia B)}$

Ta formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek

${\ Displaystyle (A\do C)\do ((A\land B)\do C)}$

kiedy jest to fałszywa propozycja. ${\displaystyle C}$

Inne strategie dowodowe

Jeśli implikuje , to zarówno, jak i udowodnij, że spójnik jest fałszywy: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ neg B}$${\ Displaystyle \ neg A}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle (A \ do \ neg {} B) \ do \ neg (A \ ziemia B)}$

Innymi słowy, można udowodnić, że koniunkcja jest fałszywa po prostu wiedząc o relacji jego koniunkcji, a nie koniecznie o ich wartościach prawdziwości.

Ta formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek

${\ Displaystyle (A\do (B\do C))\do ((A\land B)\do C)}$

kiedy jest to fałszywa propozycja. ${\displaystyle C}$

Każdy z powyższych jest konstruktywnie ważnymi dowodami przez sprzeczność.

Nieruchomości

przemienność : tak

${\displaystyle A\land B}$	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\displaystyle B\land A}$
	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$

asocjatywność : tak

${\ Displaystyle ~ A}$	${\displaystyle ~~~\ziemia ~~~}$	${\displaystyle (B\land C)}$	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle ~~~\ziemia ~~~}$	${\ Displaystyle ~ C}$
	${\displaystyle ~~~\ziemia ~~~}$		${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\displaystyle ~~~\ziemia ~~~}$

dystrybucyjność : z różnymi operacjami, zwłaszcza z or

${\ Displaystyle ~ A}$	${\displaystyle \land}$	${\ Displaystyle (B\lub C)}$	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle \lor}$	${\displaystyle (A\land C)}$
	${\displaystyle \land}$		${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\displaystyle \lor}$

inni

z wyłącznym lub : ${\ Displaystyle ~ A}$ ${\displaystyle \land}$ ${\ Displaystyle (B\oplus C)}$     ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\ Displaystyle \ oplus}$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land}$     ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$         ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\ Displaystyle \ oplus}$ z materialnym brakiem implikacji : ${\ Displaystyle ~ A}$ ${\displaystyle \land}$ ${\displaystyle (B\nrightarrow C)}$     ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \nrightarrow}$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land}$     ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$         ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\displaystyle \nrightarrow}$ ze sobą: ${\ Displaystyle ~ A}$ ${\displaystyle \land}$ ${\displaystyle (B\land C)}$     ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \land}$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land}$     ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$         ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$     ${\displaystyle \land}$

idempotencja : tak

${\ Displaystyle ~ A ~}$	${\displaystyle ~\ziemia ~}$	${\ Displaystyle ~ A ~}$	${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ Displaystyle A ~}$
	${\displaystyle ~\ziemia ~}$		${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$

monotoniczność : tak

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$			${\displaystyle (A\land C)}$	${\displaystyle \rightarrow}$	${\displaystyle (B\land C)}$
	${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$		${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\displaystyle \rightarrow}$

zachowywanie prawdy: tak
Gdy wszystkie dane wejściowe są prawdziwe, dane wyjściowe są prawdziwe.

${\displaystyle A\land B}$	${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$	${\displaystyle A\land B}$
	${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$
		(być testowanym)

zachowywanie fałszu: tak
Gdy wszystkie dane wejściowe są fałszywe, wyjście jest fałszywe.

${\displaystyle A\land B}$	${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$	${\ Displaystyle A\ lub B}$
	${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$
(być testowanym)

Widmo Walsha : (1,-1,-1,1)

Dla liniowości : 1 (funkcja jest wygięty )

Jeśli używasz wartości binarnych dla prawdy (1) i fałszu (0), to koniunkcja logiczna działa dokładnie tak, jak normalne mnożenie arytmetyczne .

Zastosowania w inżynierii komputerowej

W programowaniu komputerowym wysokiego poziomu i elektronice cyfrowej koniunkcja logiczna jest powszechnie reprezentowana przez operator wrostkowy, zwykle jako słowo kluczowe, takie jak „ AND”, mnożenie algebraiczne lub symbol ampersand &(czasami podwojony jak w &&). Wiele języków zapewnia również struktury kontroli zwarcia odpowiadające koniunkcjom logicznym.

Sprzężenie logiczne jest często używane do operacji bitowych, gdzie 0odpowiada fałsz i 1prawda:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Operacja może być również zastosowana do dwóch binarnych słów postrzeganych jako ciągi bitów o równej długości, biorąc bitowe AND każdej pary bitów w odpowiednich pozycjach. Na przykład:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Można to wykorzystać do wybrania części ciągu bitów za pomocą maski bitowej . Na przykład  =  wyodrębnia piąty bit z 8-bitowego ciągu bitów. 10011101 AND 0000100000001000

W sieciach komputerowych maski bitowe są używane do uzyskania adresu sieciowego podsieci w istniejącej sieci z danego adresu IP poprzez połączenie adresu IP i maski podsieci AND .

Sprzężenie logiczne „ AND” jest również używane w operacjach SQL do tworzenia zapytań do bazy danych .

Korespondencja Curry-Howard dotyczy logiczną koniunkcję do typów produktów .

Korespondencja mnogościowa

Przynależność elementu zbioru przecięcia w teorii mnogości jest definiowana za pomocą koniunkcji logicznej: x ∈ A ∩ B wtedy i tylko wtedy, gdy ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). Dzięki tej korespondencji przecięcie teorii mnogości dzieli kilka własności z logiczną koniunkcją, takich jak asocjatywność , przemienność i idempotencja .

Język naturalny

Podobnie jak w przypadku innych pojęć sformalizowanych w logice matematycznej, koniunkcja logiczna i jest powiązana z koniunkcją gramatyczną i w językach naturalnych , ale nie to samo .

Angielskie „i” ma właściwości, które nie są uchwycone przez spójnik logiczny. Na przykład „i” czasami oznacza porządek mający sens „wtedy”. Na przykład „Pobrali się i mieli dziecko” we wspólnym dyskursie oznacza, że ​​małżeństwo było przed dzieckiem.

Słowo „i” może również oznaczać podział rzeczy na części, ponieważ „Amerykańska flaga jest czerwona, biała i niebieska”. Tutaj nie chodzi o to, że flaga jest jednocześnie czerwona, biała i niebieska, ale raczej o to, że ma część każdego koloru.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• "Koniunkcja" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Koniunkcja
• "Tabela własności i prawdy twierdzeń AND" . Zarchiwizowane z oryginału 6 maja 2017 r.