Prosta grupa - Simple group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W matematyce , ą grupa prosta jest nietrywialna grupa , której tylko normalne podgrupy są grupa trywialne i samą grupę. Grupę, która nie jest prosta, można podzielić na dwie mniejsze grupy, a mianowicie nietrywialną podgrupę normalną i odpowiednią grupę ilorazową . Proces ten można powtórzyć i dla grup skończonych można w końcu dojść do jednoznacznie określonych grup prostych, na podstawie twierdzenia Jordana-Höldera .

Pełna klasyfikacja skończonych grup prostych , ukończona w 2004 roku, jest kamieniem milowym w historii matematyki.

Przykłady

Grupy proste skończone

Cykliczną grupę G = ( Z / 3 Z +) = Z ₃ z klas kongruencji modulo 3 (patrz modułową arytmetyczne ) jest prosta. Jeśli H jest podgrupą tej grupy, jej porządek (liczba elementów) musi być dzielnikiem rzędu G, który wynosi 3. Ponieważ 3 jest liczbą pierwszą, jej jedynymi dzielnikami są 1 i 3, więc albo H jest G , albo H to trywialna grupa. Z drugiej strony grupa G = ( Z /12 Z , +) = Z ₁₂ nie jest prosta. Zbiór H klas kongruencji 0, 4 i 8 modulo 12 jest podgrupą rzędu 3 i jest to podgrupa normalna, ponieważ każda podgrupa grupy abelowej jest normalna. Podobnie grupa addytywna liczb całkowitych ( Z , +) nie jest prosta; zbiór parzystych liczb całkowitych jest nietrywialną właściwą podgrupą normalną.

Można użyć tego samego rodzaju rozumowania dla każdej grupy abelowej, aby wywnioskować, że jedynymi prostymi grupami abelowymi są grupy cykliczne pierwszego rzędu. Klasyfikacja nieabelowych grup prostych jest znacznie mniej trywialna. Najmniejszą nieabelową grupą prostą jest grupa przemienna A ₅ rzędu 60, a każda prosta grupa rzędu 60 jest izomorficzna z A ₅ . Drugą najmniejszą nieabelową grupą prostą jest projekcyjna specjalna grupa liniowa PSL(2,7) rzędu 168, a każda prosta grupa rzędu 168 jest izomorficzna z PSL(2,7) .

Nieskończone proste grupy

Nieskończona grupa przemienna, czyli grupa nawet skończenie obsługiwanych permutacji liczb całkowitych, A _∞ jest prosta. Grupę tę można zapisać jako sumę rosnącą skończonych grup prostych A _n względem standardowych zanurzeń A _n → A _{n +1} . Inną rodzinę przykładów nieskończonych grup prostych podaje PSL _n ( F ), gdzie F jest nieskończonym polem i n ≥ 2 .

Dużo trudniej jest skonstruować skończenie generowane nieskończenie proste grupy. Pierwszy wynik istnienia nie jest jednoznaczny; to zasługa Grahama Higmana i składa się z prostych ilorazów grupy Higmana . Wyraźne przykłady, które okazują się być skończone, obejmują nieskończone grupy Thompsona T i V . Skończenie przedstawione nieskończenie wolne od skręcania nieskończenie proste grupy zostały skonstruowane przez Burgera i Mozesa.

Klasyfikacja

Jak dotąd nie jest znana klasyfikacja ogólnych (nieskończonych) grup prostych i nie oczekuje się takiej klasyfikacji.

Grupy proste skończone

Do skończonych grup prostych są ważne, ponieważ w pewnym sensie są „podstawowe cegiełki” wszystkich grup skończonych, nieco podobny do sposobu liczbami pierwszymi są podstawowym budulcem tych liczb . Wyraża to twierdzenie Jordana-Höldera, które mówi, że dowolne dwie serie złożeń danej grupy mają tę samą długość i te same czynniki, aż do permutacji i izomorfizmu . W wyniku ogromnego wspólnego wysiłku, klasyfikację skończonych grup prostych ogłoszono dokonaną w 1983 roku przez Daniela Gorensteina , chociaż pojawiły się pewne problemy (szczególnie w klasyfikacji grup quasithin , które zostały zakorkowane w 2004 roku).

W skrócie, skończone grupy proste są klasyfikowane jako należące do jednej z 18 rodzin lub będące jednym z 26 wyjątków:

• Z _p – cykliczna grupa rzędu pierwszego
• A _n – grupa naprzemienna dla n ≥ 5

  Grupy naprzemienne można uznać za grupy typu Lie nad polem z jednym elementem , który łączy tę rodzinę z następnym, a zatem wszystkie rodziny nieabelowych skończonych grup prostych można uznać za grupy typu Lie.

• Jedna z 16 rodzin grup typu Lie

  Grupa Tits jest ogólnie uważana za tę formę, chociaż ściśle mówiąc nie jest ona typu Lie, ale raczej indeks 2 w grupie typu Lie.

• Jeden z 26 wyjątkami, w grupach sporadycznie , z których 20 są podgrupy lub subquotients z grupy potworów i są określane jako „Happy Family”, podczas gdy pozostałe 6 są określane jako pariasów .

Struktura skończonych grup prostych

Słynne twierdzenie o Feit i Thompson twierdzi, że każda grupa nieparzystego porządku jest rozwiązywalne . Dlatego każda skończona prosta grupa ma porządek parzysty, chyba że jest cykliczna rzędu pierwszego.

Schreier przypuszczenia potwierdza, że grupa zewnętrznych automorfizmy każdej skończonej prostej grupy jest rozpuszczalny. Można to udowodnić za pomocą twierdzenia klasyfikacyjnego.

Historia dla skończonych grup prostych

W historii skończonych grup prostych istnieją dwa wątki – odkrycie i skonstruowanie określonych grup prostych i rodzin, które miały miejsce od twórczości Galois w latach 20. XIX wieku do budowy Potwora w 1981 roku; i dowód, że ta lista była kompletna, która rozpoczęła się w XIX wieku, najbardziej miała miejsce w latach 1955-1983 (kiedy początkowo ogłoszono zwycięstwo), ale ogólnie uzgodniono, że zostanie ukończona w 2004 roku. Począwszy od 2010 roku, prace nad poprawą dowodów i zrozumienie trwa; patrz ( Silvestri 1979 ) dla XIX-wiecznej historii prostych grup.

Budowa

Proste grupy były badane przynajmniej od wczesnej teorii Galois , gdzie Évariste Galois zdał sobie sprawę, że fakt, że przemienne grupy na pięciu lub więcej punktach są proste (a więc nierozwiązalne), co udowodnił w 1831 roku, był powodem, dla którego nie można było rozwiązać kwintyk w rodnikach. Galois skonstruował również rzutową specjalną grupę liniową płaszczyzny nad pierwszym polem skończonym, PSL(2, p ) , i zauważył, że są one proste dla p, a nie 2 lub 3. Jest to zawarte w jego ostatnim liście do Chevaliera i są następny przykład skończonych grup prostych.

Następne odkrycia dokonał Camille Jordan w 1870 roku. Jordan znalazł 4 rodziny prostych grup macierzowych nad skończonymi polami pierwszego rzędu, które są obecnie znane jako grupy klasyczne .

Mniej więcej w tym samym czasie wykazano, że rodzina składająca się z pięciu grup, zwana grupami Mathieu i po raz pierwszy opisana przez Émile'a Léonarda Mathieu w 1861 i 1873 roku, również była prosta. Ponieważ te pięć grup zostało skonstruowanych metodami, które nie dawały nieskończenie wielu możliwości, William Burnside nazwał je „ sporadycznymi ” w jego podręczniku z 1897 roku.

Później wyniki Jordana dotyczące grup klasycznych zostały uogólnione na arbitralne ciała skończone przez Leonarda Dicksona , po dokonaniu klasyfikacji złożonych prostych algebr Liego przez Wilhelma Killinga . Dickson skonstruował również grupy wyjątków typu G ₂ i E ₆ , ale nie typu F ₄ , E ₇ ani E ₈ ( Wilson 2009 , s. 2). W latach 50. kontynuowano prace nad grupami typu Liego, a Claude Chevalley nadał w pracy z 1955 r. jednolitą konstrukcję grup klasycznych i grup typu wyjątkowego. Pominęło to pewne znane grupy (projektowe grupy unitarne), które uzyskano przez „skręcenie” konstrukcji Chevalley. Pozostałe grupy typu Lie wyprodukowali Steinberg, Tits i Herzig (którzy wyprodukowali ³ D ₄ ( q ) i ² E ₆ ( q )) oraz Suzuki i Ree (grupy Suzuki-Ree ).

Uważano, że te grupy (grupy typu Lie, wraz z grupami cyklicznymi, grupami naprzemiennymi i pięcioma wyjątkowymi grupami Mathieu) stanowią pełną listę, ale po prawie stuletniej przerwie od pracy Mathieu, w 1964 roku pierwsza grupa Janko została odkryta, a pozostałych 20 sporadycznych grup odkryto lub przypuszczano w latach 1965-1975, co zakończyło się w 1981 roku, kiedy Robert Griess ogłosił, że skonstruował „ Monster group ” Bernda Fischera . Monster jest największą sporadyczną prostą grupą o liczbie 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Potwór ma wierną reprezentację 196883-wymiarową w 196884-wymiarowej algebrze Griessa , co oznacza, że ​​każdy element Potwora może być wyrażony jako macierz 196883 na 196 883.

Klasyfikacja

Pełna klasyfikacja jest ogólnie akceptowana jako rozpoczynająca się od twierdzenia Feita-Thompsona z lat 1962-63, trwającego w dużej mierze do 1983 roku, ale ukończonego dopiero w 2004 roku.

Niedługo po zbudowaniu Potwora w 1981 roku dostarczono ponad 10 000 stron dowodu na to, że teoretycy grup pomyślnie wymienili wszystkie skończone grupy proste , z zwycięstwem ogłoszonym w 1983 roku przez Daniela Gorensteina. Było to przedwczesne – później odkryto pewne luki, w szczególności w klasyfikacji grup quasithin , które ostatecznie zostały zastąpione w 2004 roku przez liczącą 1300 stron klasyfikację grup quashin, która jest obecnie ogólnie akceptowana jako kompletna.

Testy na brak prostoty

Test Sylowa : Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, która nie jest liczbą pierwszą, i niech p będzie dzielnikiem liczby pierwszej n . Jeśli 1 jest jedynym dzielnikiem n przystającym do 1 modulo p , to nie istnieje prosta grupa rzędu n .

Dowód: Jeśli n jest potęgą pierwszą, to grupa rzędu n ma nietrywialne centrum, a zatem nie jest prosta. Jeśli n nie jest potęgą pierwszą, to każda podgrupa Sylowa jest właściwa, az Trzeciego Twierdzenia Sylowa wiemy, że liczba p- podgrup Sylowa w grupie rzędu n jest równa 1 modulo p i dzieli n . Ponieważ 1 jest jedyną taką liczbą, podgrupa p Sylowa jest unikalna i dlatego jest normalna. Ponieważ jest to właściwa podgrupa bez tożsamości, grupa ta nie jest prosta.

Burnside : Nieabelowa skończona prosta grupa ma rząd podzielny przez co najmniej trzy różne liczby pierwsze. Wynika to z twierdzenia Burnside'a .

Zobacz też

• Prawie prosta grupa
• Grupa charakterystycznie prosta
• Grupa quasi-prosta
• Grupa półprosta
• Lista skończonych grup prostych

Bibliografia

Uwagi

Podręczniki

• Knapp, Anthony W. (2006), Podstawowa algebra , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), Wprowadzenie do teorii grup , Teksty magisterskie z matematyki, 148 , Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Tematy w teorii grup , Springer licencjacka seria matematyki (2 wyd.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Dokumenty tożsamości